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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

わんこらメルマガ サンプル号
▼わんこらメルマガNo.0
2020/03/22
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【今週の目次】
1.今週の一言
2.わんこら式『問題を解くのではなく、解答をいきなり見て覚えろ』
・限られた時間内に学習する
・限られた時間内に問題解決できるように仕上げる
3.数学・物理コラム『循環小数』
4.ふにゅ
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1.【今週の一言】

どうも、わんこらです。これはサンプル号になりますが、本編のわんこら式を書いてるので読んで欲しいです。
今は動画の時代ですがメルマガぐらいが勉強しやすいであろうということと
有料にすることで緊張感持ってわんこら式を書いていきます。読者の方はぜひメッセージや質問や相談などメルマガに返信などでメールください。

─────────────────────────

2.【わんこら式】
『問題を解くのではなく、解答をいきなり見て覚えろ』

問題を解く前に解答を見て書き写しなどしていると、考える力が育たないのではないかとよく言われます。
しかしそもそも
「考える力」
とは何なのか非常に曖昧な言葉で何も解決になっていません。

そこで勉強することには次の意味もあります。
 
限られた時間内に学習する
限られた時間内に問題解決できるように仕上げる

・限られた時間内に学習する
まず、限られた時間内に学習するとは?
例えば中学数学を公式の証明も教科書に載っているものを見ずに、じっくり自分で証明を考えに考えて10年かかって独学でやりきったとします。
しかし人は限られた時間しか与えられておらず、その時の年齢によってやらないといけないことがあります。
25歳ともなれば多くの人は社会人として働きはじめています。
だから中学生で習うことは中学生でやる必要性があります。
限られた時間内に勉強する、そういう世界しか存在していません。

限られた時間内に勉強するには今までの人たちが考えて証明してくれたものや解き方を見て、その真似をすることで本来文明がなかったら到達できなかった早さでスキルが身に付きます。
先人のノウハウ使って
「ショートカットをする」
これが勉強することの一つの大きな意味です。

・限られた時間内に問題解決できるように仕上げる

次に限られた時間内に問題解決できるように仕上げるとは?
すべての問題には制限時間があります。テストには制限時間があります。特に会社で働けば全てに制限時間がつきます。
例え大学のセミナー発表でも期限があります。
そこで時間内に問題を解けるような頭の構造を作る必要があります。

時間内に問題を解けるような頭の構造を作るには、今までの人が考えてくれた解法を見て、何度も真似して当たり前のようにパッと出るようにする必要があります。

もちろん考えてはいけないわけではありません。
例えば入試問題など色々試してみたりすることが大切な場合もあります。
しかしたくさんの問題を覚えてるからこそ自分で色々試すことに意味があります。
更には考えて解いたつもりでも実際にはどこかで似たようなことを見たことがあったから解けていたりするのが現実です。
解答を見て覚えるというのは単に暗記という単純な話ではなく、思考を育てる具体的な方法の一つであると思ってください。

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3.【数学、物理コラム】
『循環小数』

今回は循環小数について書きます。
1を7で割ると0.142857142…
と循環小数になります。

循環小数になる理由は筆算を思い出してください。
0をおろして1を10にして7で割ると10÷7=1余り3です。
次に0をおろして30を7で割ると30÷7=4余り2です。
次も0をおろして40を7で割ると40÷7=5余り5
同様にして
50÷7=7余り1
すると次は
10÷7=1余り3
で最初の計算に戻り繰り返しになることがわかります。

循環小数になる理由を説明します。
7で割ると割り切れない場合は余りは1か2か3か4か5か6の6つしかないので筆算をしていくと、いつかは余りが同じものが表れます。
すると以降は同じ計算の繰り返しになるわけです。
余りが6つしかないので7回以下で必ず同じ余りがあらわれます。
これを鳩の巣原理といい、整数問題でよく使う論法です。
鳩の巣が6つあるところに鳩が7匹入るとどれかの巣が必ず2匹以上入るというわけです。

また2を7で割ると循環小数はどうなるかというと
0.285714285…
3わ7で割ると
0.428571428…
4を7で割ると
0.571428571…
と循環がはじまる場所は違うけど1→4→2→8→5→7→1の順番はかわらないことも確かめられます。
これは2を7で割る場合は、余りが2になったときに7で割る場合と同じ計算になるので繰り返しの順番は同じになります。

この142857を前3つと後ろ3つに分けて足すと
142+857=999
と言うのは知ってますか?
(※これは偶然ではありません。
1は7で割ると商0余り1
1000は7で割ると商142余り6
となる。つまり1+1000=7×143で7で割り切れるので3桁ずらして足すと小数は全部9になります。)

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4.【ふにゅ】
ふにゅ柿のタネのピーナッツだけ全部捨ててきた

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ペヤングを高い、もやしを安いと思ってるやつは、1カロリー当たりの値段を計算したことがない
あの美容院でシャンプーしてもらったときに髪の毛をタオルで

グアァアアー!!!

やられてから、耳の中を6秒くらいグリグリやられるやん。

それでそのまま、また髪の毛を

グアアァアーー!!

やられるのはタオルについた耳くそが髪の毛に練りこまれたとしか思えんねん。

これは何回も言うてることやけどな。



それはいいとして、あっとのイベントでイベントドリンク、略してイベドリがあって一杯飲むと1枚ラミカをひくことが出来て全部で何種類あるかわかったら、

だいたい平均的に何杯飲めばいいか,いつも期待値を出すのがわんこら族の仕事になってしまってるねん。

それはどういう計算の仕方かというと、かなり昔に書いた
おまけを全て当てるのに買わなければならない商品の個数の期待値に書いてるねんけど

n種ある場合は全部揃えるのに買う回数の期待値は
Σ(k=0~n-1)n/(n-k)
で計算できるねん。


今回はくるみちゃんが30種類出すとか意味わからんこと言うてるねんけど、
Σ(k=0~29)30/(30-k)
を計算してだいたい120杯飲めばええねん。



この計算の仕方はまた別の説明をすると期待値の加法性を使ってるねんな。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
やな。


全部でn種類あるときに

k種類持ってるときに,持っていないn-k種類のどれかを初めて当てるのに買った枚数をX_kとするやろ。

そしたら全部あてる期待値は

E(X_0+X_1+…+X_(n-1))=E(X_0)+E(X_1)+…+E(X_(n-1))

を計算したらええって言うことやねん。

それでE(X_k)=n/(n-k)はさっきの昔の記事で感覚的に説明したけどちゃんと計算も出来て
m回目に始めて持ってないものを当てる確率はP(X_k=m)=(k/n)^(m-1)・(n-k)/nより
Σ(m=1~∞)mP(X_k=m)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n
を計算したらええねん。

これは等比×等差のやつやな。

東京大学2013年度理系第3問の確率、数列の問題の解説
で計算してるから結果を使って

S_n=Σ(k=1~n)r^k、T_n=Σ(k=1~n)kr^kのとき
S_n→r/(1-r)
T_n→1/(1-r)・r/(1-r)
を使って
E(X_k)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n=n/(n-k)
で実際になってますね。


そしたら、ここまで来たら前にも偏差値の意味の記事に書いたように標準偏差を出せば

(期待値)-(標準偏差)

(期待値)+(標準偏差)

の間に7割ぐらいの人がいるから、どの程度飲めばだいたいの人が揃うかわかるねん。

これも分散を出すときに,事象が独立ならば相関性がないことになって加法性が成り立つねん

V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))

だからV(X_k)=E(X_k^2)-E(X_k)^2
を計算したらいいことがわかって

E(X_k^2)=Σ(m=1~∞)m^2・(k/n)^(m-1)・(n-k)/nは

さっきの東大の過去問の記事でも求めたように
U_n=Σ(k=1~n)k^2r^kとすると
U_n→2r/(1-r)^3 -r/(1-r)^2=r(1+r)/(1-r)^3
より
E(X_k^2)=(1+k/n)/(1-k/n)^2=n(n+k)/(n-k)^2

V(X_k)=n(n+k)/(n-k)^2-(n/(n-k))^2
=kn/(n-k)^2
=n^2/(n-k)^2-n/(n-k)

だから
V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))
=Σ(k=0~n-1)(n^2/(n-k)^2-n/(n-k))

を計算したらいいことがわかるねん。

これでn=30のとき標準偏差=√(分散)は36くらいで

30種類ラミカを揃えるには
120-36=84杯くらいで揃いだす人がいて
120+36=156杯でだいたいの人が揃う感じになるねん。


これは数学がかなりわかりやすく社会に役立つシーンなのがええかもな。

数学、物理

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臭いトイレに入らないといけないときは、あらかじめソースのいい匂いを嗅いでおくことで相殺できる
皆さん50円切手と80円切手しかないとか570円とか微妙な値段上手いこと組み合わせあるんかって思ったことありましたよね

話をもっと簡単にすると5円玉と8円玉があるとして
5円玉と8円玉と組み合わせて57円が作れるかって話やな。

それは例えば
5円玉5枚と8円玉4枚で57円になるな。

そしたら56円は言われると
8円玉7枚でええやろ。

59円は5円玉7枚、8円玉3枚やな。

と言うよりだいたい全部いけるんちゃうかってわかってくるやろ。


それはどう考えたらいいかと言うと5で割った余りで分類するねん。

8円が0枚のときは5で割った余りが0
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
5,10,15,20,25,30,35,…
って5の倍数全部あらわせるやろ。

8円が1枚のときは8円で5で割った余りが3やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
8,13,18,23,28,33,38,…
って8以上の5で割った余りが3の整数があらわせるやろ。

8円が2枚のときは16円で5で割った余りが1やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
16,21,26,31,36,41…
って16以上の5で割った余りが1の整数があらわせるやろ。

8円が3枚のときは24円で5で割った余りが4やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
24,29,34,39,44…
って24以上の5で割った余りが4の整数があらわせるやろ。

8円が4枚のときは32円で5で割った余りが2やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
32,37,42,47…
って32以上の5で割った余りが2の整数があらわせるやろ。

8円玉が5枚のときは40円でこれは8円玉を0枚使うときにあらわせる数
5,10,15,20,25,30,35,40,…
に含まれますね。


まとめると
5,10,15,20,25,30,35,…
8,13,18,23,28,33,38,…
16,21,26,31,36,41…
24,29,34,39,44…
32,37,42,47…
これ27はないけど28以上の整数は全部入ってるから28円以上は全部払えるねん。

有名な算数の問題でもあるな。

でもこれは実は瞬殺で答えがだせて

(5-1)(8-1)=4×7=28以上

一般的に書くと

a,bを互いな素な自然数とすると,x,yに適当な0以上の整数を入れると
ax+by
は(a-1)(b-1)以上の整数があらせるやな。

更にもっと話を簡単にすると
ax+by=(a-1)(b-1)以上
の両辺をa+bをたして
a(x+1)+b(y+1)=ab+1
になってx+1≧1,y+1≧1より結局

ax+byはx,yに適当な1以上の整数を入れるとab+1以上の整数があらわせる
ということになりますね。
(ax+by=abとするとax=b(a-y)よりxはbの倍数やけどaxがabの倍数になってbyは0以下になるから矛盾
つまりab+1以上はあらわせるけど、abはあらわせない)

更にはab+1,ab+2,…,ab+(a-1),ab+aまであらわせたら、後はxを1増やせばa大きくなるから全部あらわせることになりますね。
ただab+aはx=1,y=aで簡単にあらわせるから問題は
ab+1,ab+2,…,ab+(a-1)
をあらわせるかやな。

これを直感的に理解したいな思っていてん。

そこでa,bは互いに素な整数としてb>aとしよか

すると
b,2b,3b,4b,…,(a-1)bをaで割った余りは1,2,3,4,…,a-1が1つずつあらわれるという定理あるやん。
これを割り算の式でかけば
nb=aq+r
n=1,2,…,a-1
r=1,2,…,a-1
nb<abやからabをaで割ると商はbよりnbをaで割ると商qはbより小さいねん。

このとことから
a(-q)+bn=r
となりますね。

これはxとyにx=-q,y=nと代入すれば1,2,3,…,a-1まで全てあらわせるということになるけど
-qが負やねん。
xとyは正の整数にしたいわけやん。

だから正になるように-qに正の整数を足してあげるねん
q<bやから-qにbをたしてあげたいとこやな。
a(-q)+b(n)=r
a(b)+b(0)=ab
両辺たして

a(b-q)+b(n)=ab+r

これでab+1,ab+2,…,ab+(a-1)
まであらわせましたね。

要するにnbをaで割った式
a(-q)+bn=r
でn=1,2,3,…,a-1と入れていくとr=1,2,3,…,a-1が全部あらわれるけど
xのところを正にしないといけないか-qにbを足しただけやったわけやな。


まあこれは集合
{ax+by|x,y∈Z}
の元同士を足しても整数倍してもこの集合に属するベクトル空間になっているということから元を適当に足して
{ax+by|x,y∈N}
の元にすることが出来るというわけやな。


これで安心して切手を貼ることができますね。
何も恐くありません。

数学、物理

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√(二次式)の積分
今日は√(ax^2+bx+c)の積分に罪を背負っていたのでまとめたいと思います。


東大理系、回転体を平面で切ってできた立体図形の体積
積分と極限の問題…東京大学2011年度理系第三問の解説
京大理系乙、∫[0,2]{(2x+1)/√(x^2+4)}dxと15段の階段を昇る昇り方

こうやって10年くらい前から√(ax^2+bx+c)型の積分を解説してきたけど、納得がいかなくて昨日寝れられくて書きました。


それ全然気にしてないやろ。


そしたらax^2+bx+c=0の判別式をDとします。
aの正負で場合分けしてDで場合わけするねん。

20181005023351ad3.jpg
○a<0の時
・D>0の時
√(1-x^2)の積分はx=sinθと置くと言う有名な話のやねん。
平方完成して
ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
で(4ac-b^2)/4aは正になるからな。
それでsinθやcosθに置換したらええねん。

・D≦0の時
これは√(ax^2+bx+c)の√の中が常に0以下やから積分する区間なくてそんな問題出ないねん。

つまりa<0では平方完成してsinθ,cosθやな。

○a>0の時
・D=0の時は
√(ax^2+bx+c)=√(a(x-α)^2)
=(√a)|x-α|
でただの一次の積分になるけど√はずすときに絶対値になることは注意やな。

・D≠0の時
これはなD>0であろうがD<0であろうが
√(ax^2+bx+d)+(√a)x=tと置換するねん。
もうこれだけでええねん。
もうこれがやな!


他には√の中は簡単な場合だけ書きますが
a>0として
√(x^2+a^2)はx=a(e^t-e^(-t))/2
√(x^2-a^2)はx=a(e^t+e^(-t))/2とか置換しても結構うまくいきます。

ただx=atanθやx=a/sinθも出来るけど、計算は厳しくなることが多いわ。

それと√(x-α)(β-x)はx^2はt=√(x-α)/(β-x)と置換する方法もあるけど、理論上
(tの整式)/(tの整式)つまり有理関数やけど、これは分母が0になるような置換やったり、計算が複雑になったりとかもして大学受験では使いにくいわ。

まあこれはx^2の係数が負やから、平方完成してsinθとかcosθやな。


と言うことで練習問題を用意してみました。
もうおっさんになってきて、練習問題を用意するねちっこい性格になってきてん。

もう10年前のわんこらはいないねん。

20181005011917833.jpg
やってみてください

解説も書いてるから見てください。

20181005011919cc7.jpg
(1)はよくやるかもしれんけど、一応√cos^2θ=|cosθ|で積分区間からcosθの正負は考えて絶対はずすのは注意ですね。
ただこの問題は実際にはグラフを描いて、円の面積を使って求めてくれたらええわ。

(2)これはグラフを描いても円の面積とかではできないから
まさにsinθとかに置換することで求められる感じやな。

(sinθ)^2の積分は2倍角使って(1-cos2θ)/2と変形して積分したらええけど
∫(sinθ)^2dθ=θ/2-(sin2θ)/4
∫(cosθ)^2dθ=θ/2+(sin2θ)/4
と覚えてパっと使えば積分レベル7くらいですね。

(3)これはx^2の係数が負やから平方完成してsinθやcosθに置換です。
ただ実際にはこの場合はグラフ書いて、半円の面積ってことですぐに出してください。

201810050119204f8.jpg
(4)これはD=0で√(x^2-2x+1)dx=√(x-1)^2=|x-1|
で絶対値を忘れないようにな。

(5),(6)これはx^2の係数が正やから√(x^2+1)+x=tに置換です。
ただ結構この後の流れも重要で
√(x^2+1)=t-xで両辺二乗してxについて解きます
x=(t^2-1)/2t
これでdx=(t^2+1)/2t^2dtと求めて、被積分関数√(x^2+1)=t-x=t-(t^2-1)/2t=(t^2+1)/2tと言うこの流れやな。
この流れは練習してください。

2018100501192248b.jpg
ここでx=(e^t-e^(-t))/2とおいた置換やx=tanθの置換も書いておきます

2018100501194643b.jpg
(7)√(x^2-2x)もx^2の係数が正やから
√(x^2-2x)+x=tと置換ですね。

後は同じようにやりますが、xの項があるだけに少し大変やな。

ただ最初から平方完成して
√((x-1)^2-1)となるからx-1=sといったん置換しておけば
√(s^2-1)になってこれで
√(s^2-1)+s=tと置換したらもっとさっきと同じような感じになるわ。


ここからはまたおっさんが何か言うてるなって感じで適当に読んでくれたらええねんけどa>0のとき
√(x^2+a^2)はx=a(e^t-e^(-t))/2
√(x^2-a^2)はx=a(e^t+e^(-t))/2とか置換しても結構うまくいく話は

sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2,cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2
(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1
の関係を使ってるという意味ではa<0ではsinθ,a>0ではsinhθに置換とも整理出来るねん。

さらに言うとsint=(e^(it)-e^(-it))/2i,cost=(e^(it)+e^(-it))/2iの関係から複素数まで拡張して
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i,cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2i
としても
(cosz)^2+(sinz)^2=1になってるやろ。
これで
isinh(t)=sin(it),conh(t)=cos(it)となってるから
(cost)^2+(sint)^2=1から(cos(it))^2+(sin(it))^2=1で(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1と言う関係にもなっていて色々見えてきましたね。


高校数学の公式や問題の解説


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世界を敵に回すより、電車でその辺のおっさんに痰吐いて敵に回した方が死亡率が高い
20180909141520cc0.jpg
これから2年間閉じ込めた生姜の封印を解きたいと思います。

20180909121400413.jpg
メンマになってました。


とりあえずトイレに流すしかないやろ。

うんこが流れるんやったら、メンマも流れるやろ。



と言うことで2年寝かせた麦茶を解禁することにした。

そうやな、ティーバックが熟成されて液体に溶け合ってカビが生えてますね。


とりあえずトイレに流すしかないようやな。

うんこが流れるなら、ティーバックも流れるやろ。



これで冷蔵庫の中にオレンジジュースを入れることが出来ますね。

最近、オレンジジュースだけが欲しいねん。



そこで思うねんけどε-δ論法とかではなくて高校数学では

f(x)がx=aで微分可能は

極限値 lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/hが存在することで

f(x)がx=aで連続とは

lim(x→a) f(x) = f(a)となることやん。


微分可能が覚えにくい人が多いから

導関数が連続みたいなもんと思うとイメージがつきやすくて整理されやすいかもしれませんね。

y=|x|とか導関数はx=0のところで-1から1にかわって不連続になっていて微分不可能やろ。


x=aで連続はxをaにどう近づけても、x=aでとる値に近づく

x=aで微分可能はxをaにどう近づけても、ある値になってそれをf'(a)とする



でも注意しなあかんのは

x=aで導関数が連続⇒x=aで微分可能

でも

x=aで微分可能⇒x=aで導関数が連続

は成立しないところが恐いとこやねんな。


その有名な例が

f(x)=
x^2sin(1/x) (x≠0
0 (x=0)

って関数で

f'(0)=lim(h→0) (f(0+h)-f(0))/h
=lim(h→0) (h^2sin(1/h)-0/h)
=lim(h→0) hsin(1/h)
=0

でf'(0)は存在するねんけど

x≠0において
f'(x)=2xsin(1/x)+x^2(cos(1/x))(-1/x^2)
=2xsin(1/x)-cos(1/x)

x→0で振動でf'(0)=0に等しくないから不連続ですね。


これは何故不思議な感じがするのかと言うと連続は

グラフがつながってる

と言うイメージを持ってしまう誤解が多いからやねん。

これは連続じゃなくて、連結のイメージやねん。


そしたら連続はどういうイメージなのかと言うと

歩いていけば、前より更に目標に近づける

と言う感じやねん。



山と谷が繰り返される道があるとするやん。

それで水平距離が100kmぐらい先に可愛い犬がいたとするやろ。


それが犬までの道は繋がってはいても、山と谷が間に無限にあれば

いくら歩いて近づいても間に山と谷が無限にあるから、犬に近づいたとは言えないやろ。
犬に道のり的に100m以内に近づいて欲しいと言われて、水平距離が70mくらいのところまで行ったとしても間に山と谷が無限にあるから上下運動しまくって道のりが長くなって永遠と100m以内に近づかないやろ。

だから自分と犬の間の道は繋がってはいるねんけど連続ではないねん。



でも、普通の平坦な道やったら、歩けば歩くほど犬に近づくやん。

80km歩くより90km歩いたらより近づくやろ。

犬まで10m以内に近づこうと思えば、それだけ歩いて犬まで道のり5mくらいのところまでこればええやん。

これが連続のイメージやねん。



体調が悪いと、こういうことばっか書いてしまうわ。


数学、物理


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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
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