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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

ペヤングを高い、もやしを安いと思ってるやつは、1カロリー当たりの値段を計算したことがない
あの美容院でシャンプーしてもらったときに髪の毛をタオルで

グアァアアー!!!

やられてから、耳の中を6秒くらいグリグリやられるやん。

それでそのまま、また髪の毛を

グアアァアーー!!

やられるのはタオルについた耳くそが髪の毛に練りこまれたとしか思えんねん。

これは何回も言うてることやけどな。



それはいいとして、あっとのイベントでイベントドリンク、略してイベドリがあって一杯飲むと1枚ラミカをひくことが出来て全部で何種類あるかわかったら、

だいたい平均的に何杯飲めばいいか,いつも期待値を出すのがわんこら族の仕事になってしまってるねん。

それはどういう計算の仕方かというと、かなり昔に書いた
おまけを全て当てるのに買わなければならない商品の個数の期待値に書いてるねんけど

n種ある場合は全部揃えるのに買う回数の期待値は
Σ(k=0~n-1)n/(n-k)
で計算できるねん。


今回はくるみちゃんが30種類出すとか意味わからんこと言うてるねんけど、
Σ(k=0~29)30/(30-k)
を計算してだいたい120杯飲めばええねん。



この計算の仕方はまた別の説明をすると期待値の加法性を使ってるねんな。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
やな。


全部でn種類あるときに

k種類持ってるときに,持っていないn-k種類のどれかを初めて当てるのに買った枚数をX_kとするやろ。

そしたら全部あてる期待値は

E(X_0+X_1+…+X_(n-1))=E(X_0)+E(X_1)+…+E(X_(n-1))

を計算したらええって言うことやねん。

それでE(X_k)=n/(n-k)はさっきの昔の記事で感覚的に説明したけどちゃんと計算も出来て
m回目に始めて持ってないものを当てる確率はP(X_k=m)=(k/n)^(m-1)・(n-k)/nより
Σ(m=1~∞)mP(X_k=m)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n
を計算したらええねん。

これは等比×等差のやつやな。

東京大学2013年度理系第3問の確率、数列の問題の解説
で計算してるから結果を使って

S_n=Σ(k=1~n)r^k、T_n=Σ(k=1~n)kr^kのとき
S_n→r/(1-r)
T_n→1/(1-r)・r/(1-r)
を使って
E(X_k)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n=n/(n-k)
で実際になってますね。


そしたら、ここまで来たら前にも偏差値の意味の記事に書いたように標準偏差を出せば

(期待値)-(標準偏差)

(期待値)+(標準偏差)

の間に7割ぐらいの人がいるから、どの程度飲めばだいたいの人が揃うかわかるねん。

これも分散を出すときに,事象が独立ならば相関性がないことになって加法性が成り立つねん

V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))

だからV(X_k)=E(X_k^2)-E(X_k)^2
を計算したらいいことがわかって

E(X_k^2)=Σ(m=1~∞)m^2・(k/n)^(m-1)・(n-k)/nは

さっきの東大の過去問の記事でも求めたように
U_n=Σ(k=1~n)k^2r^kとすると
U_n→2r/(1-r)^3 -r/(1-r)^2=r(1+r)/(1-r)^3
より
E(X_k^2)=(1+k/n)/(1-k/n)^2=n(n+k)/(n-k)^2

V(X_k)=n(n+k)/(n-k)^2-(n/(n-k))^2
=kn/(n-k)^2
=n^2/(n-k)^2-n/(n-k)

だから
V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))
=Σ(k=0~n-1)(n^2/(n-k)^2-n/(n-k))

を計算したらいいことがわかるねん。

これでn=30のとき標準偏差=√(分散)は36くらいで

30種類ラミカを揃えるには
120-36=84杯くらいで揃いだす人がいて
120+36=156杯でだいたいの人が揃う感じになるねん。


これは数学がかなりわかりやすく社会に役立つシーンなのがええかもな。

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臭いトイレに入らないといけないときは、あらかじめソースのいい匂いを嗅いでおくことで相殺できる
皆さん50円切手と80円切手しかないとか570円とか微妙な値段上手いこと組み合わせあるんかって思ったことありましたよね

話をもっと簡単にすると5円玉と8円玉があるとして
5円玉と8円玉と組み合わせて57円が作れるかって話やな。

それは例えば
5円玉5枚と8円玉4枚で57円になるな。

そしたら56円は言われると
8円玉7枚でええやろ。

59円は5円玉7枚、8円玉3枚やな。

と言うよりだいたい全部いけるんちゃうかってわかってくるやろ。


それはどう考えたらいいかと言うと5で割った余りで分類するねん。

8円が0枚のときは5で割った余りが0
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
5,10,15,20,25,30,35,…
って5の倍数全部あらわせるやろ。

8円が1枚のときは8円で5で割った余りが3やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
8,13,18,23,28,33,38,…
って8以上の5で割った余りが3の整数があらわせるやろ。

8円が2枚のときは16円で5で割った余りが1やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
16,21,26,31,36,41…
って16以上の5で割った余りが1の整数があらわせるやろ。

8円が3枚のときは24円で5で割った余りが4やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
24,29,34,39,44…
って24以上の5で割った余りが4の整数があらわせるやろ。

8円が4枚のときは32円で5で割った余りが2やろ
5円玉を1枚,2枚,3枚…って使っていけば
32,37,42,47…
って32以上の5で割った余りが2の整数があらわせるやろ。

8円玉が5枚のときは40円でこれは8円玉を0枚使うときにあらわせる数
5,10,15,20,25,30,35,40,…
に含まれますね。


まとめると
5,10,15,20,25,30,35,…
8,13,18,23,28,33,38,…
16,21,26,31,36,41…
24,29,34,39,44…
32,37,42,47…
これ27はないけど28以上の整数は全部入ってるから28円以上は全部払えるねん。

有名な算数の問題でもあるな。

でもこれは実は瞬殺で答えがだせて

(5-1)(8-1)=4×7=28以上

一般的に書くと

a,bを互いな素な自然数とすると,x,yに適当な0以上の整数を入れると
ax+by
は(a-1)(b-1)以上の整数があらせるやな。

更にもっと話を簡単にすると
ax+by=(a-1)(b-1)以上
の両辺をa+bをたして
a(x+1)+b(y+1)=ab+1
になってx+1≧1,y+1≧1より結局

ax+byはx,yに適当な1以上の整数を入れるとab+1以上の整数があらわせる
ということになりますね。
(ax+by=abとするとax=b(a-y)よりxはbの倍数やけどaxがabの倍数になってbyは0以下になるから矛盾
つまりab+1以上はあらわせるけど、abはあらわせない)

更にはab+1,ab+2,…,ab+(a-1),ab+aまであらわせたら、後はxを1増やせばa大きくなるから全部あらわせることになりますね。
ただab+aはx=1,y=aで簡単にあらわせるから問題は
ab+1,ab+2,…,ab+(a-1)
をあらわせるかやな。

これを直感的に理解したいな思っていてん。

そこでa,bは互いに素な整数としてb>aとしよか

すると
b,2b,3b,4b,…,(a-1)bをaで割った余りは1,2,3,4,…,a-1が1つずつあらわれるという定理あるやん。
これを割り算の式でかけば
nb=aq+r
n=1,2,…,a-1
r=1,2,…,a-1
nb<abやからabをaで割ると商はbよりnbをaで割ると商qはbより小さいねん。

このとことから
a(-q)+bn=r
となりますね。

これはxとyにx=-q,y=nと代入すれば1,2,3,…,a-1まで全てあらわせるということになるけど
-qが負やねん。
xとyは正の整数にしたいわけやん。

だから正になるように-qに正の整数を足してあげるねん
q<bやから-qにbをたしてあげたいとこやな。
a(-q)+b(n)=r
a(b)+b(0)=ab
両辺たして

a(b-q)+b(n)=ab+r

これでab+1,ab+2,…,ab+(a-1)
まであらわせましたね。

要するにnbをaで割った式
a(-q)+bn=r
でn=1,2,3,…,a-1と入れていくとr=1,2,3,…,a-1が全部あらわれるけど
xのところを正にしないといけないか-qにbを足しただけやったわけやな。


まあこれは集合
{ax+by|x,y∈Z}
の元同士を足しても整数倍してもこの集合に属するベクトル空間になっているということから元を適当に足して
{ax+by|x,y∈N}
の元にすることが出来るというわけやな。


これで安心して切手を貼ることができますね。
何も恐くありません。

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√(二次式)の積分
今日は√(ax^2+bx+c)の積分に罪を背負っていたのでまとめたいと思います。


東大理系、回転体を平面で切ってできた立体図形の体積
積分と極限の問題…東京大学2011年度理系第三問の解説
京大理系乙、∫[0,2]{(2x+1)/√(x^2+4)}dxと15段の階段を昇る昇り方

こうやって10年くらい前から√(ax^2+bx+c)型の積分を解説してきたけど、納得がいかなくて昨日寝れられくて書きました。


それ全然気にしてないやろ。


そしたらax^2+bx+c=0の判別式をDとします。
aの正負で場合分けしてDで場合わけするねん。

20181005023351ad3.jpg
○a<0の時
・D>0の時
√(1-x^2)の積分はx=sinθと置くと言う有名な話のやねん。
平方完成して
ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
で(4ac-b^2)/4aは正になるからな。
それでsinθやcosθに置換したらええねん。

・D≦0の時
これは√(ax^2+bx+c)の√の中が常に0以下やから積分する区間なくてそんな問題出ないねん。

つまりa<0では平方完成してsinθ,cosθやな。

○a>0の時
・D=0の時は
√(ax^2+bx+c)=√(a(x-α)^2)
=(√a)|x-α|
でただの一次の積分になるけど√はずすときに絶対値になることは注意やな。

・D≠0の時
これはなD>0であろうがD<0であろうが
√(ax^2+bx+d)+(√a)x=tと置換するねん。
もうこれだけでええねん。
もうこれがやな!


他には√の中は簡単な場合だけ書きますが
a>0として
√(x^2+a^2)はx=a(e^t-e^(-t))/2
√(x^2-a^2)はx=a(e^t+e^(-t))/2とか置換しても結構うまくいきます。

ただx=atanθやx=a/sinθも出来るけど、計算は厳しくなることが多いわ。

それと√(x-α)(β-x)はx^2はt=√(x-α)/(β-x)と置換する方法もあるけど、理論上
(tの整式)/(tの整式)つまり有理関数やけど、これは分母が0になるような置換やったり、計算が複雑になったりとかもして大学受験では使いにくいわ。

まあこれはx^2の係数が負やから、平方完成してsinθとかcosθやな。


と言うことで練習問題を用意してみました。
もうおっさんになってきて、練習問題を用意するねちっこい性格になってきてん。

もう10年前のわんこらはいないねん。

20181005011917833.jpg
やってみてください

解説も書いてるから見てください。

20181005011919cc7.jpg
(1)はよくやるかもしれんけど、一応√cos^2θ=|cosθ|で積分区間からcosθの正負は考えて絶対はずすのは注意ですね。
ただこの問題は実際にはグラフを描いて、円の面積を使って求めてくれたらええわ。

(2)これはグラフを描いても円の面積とかではできないから
まさにsinθとかに置換することで求められる感じやな。

(sinθ)^2の積分は2倍角使って(1-cos2θ)/2と変形して積分したらええけど
∫(sinθ)^2dθ=θ/2-(sin2θ)/4
∫(cosθ)^2dθ=θ/2+(sin2θ)/4
と覚えてパっと使えば積分レベル7くらいですね。

(3)これはx^2の係数が負やから平方完成してsinθやcosθに置換です。
ただ実際にはこの場合はグラフ書いて、半円の面積ってことですぐに出してください。

201810050119204f8.jpg
(4)これはD=0で√(x^2-2x+1)dx=√(x-1)^2=|x-1|
で絶対値を忘れないようにな。

(5),(6)これはx^2の係数が正やから√(x^2+1)+x=tに置換です。
ただ結構この後の流れも重要で
√(x^2+1)=t-xで両辺二乗してxについて解きます
x=(t^2-1)/2t
これでdx=(t^2+1)/2t^2dtと求めて、被積分関数√(x^2+1)=t-x=t-(t^2-1)/2t=(t^2+1)/2tと言うこの流れやな。
この流れは練習してください。

2018100501192248b.jpg
ここでx=(e^t-e^(-t))/2とおいた置換やx=tanθの置換も書いておきます

2018100501194643b.jpg
(7)√(x^2-2x)もx^2の係数が正やから
√(x^2-2x)+x=tと置換ですね。

後は同じようにやりますが、xの項があるだけに少し大変やな。

ただ最初から平方完成して
√((x-1)^2-1)となるからx-1=sといったん置換しておけば
√(s^2-1)になってこれで
√(s^2-1)+s=tと置換したらもっとさっきと同じような感じになるわ。


ここからはまたおっさんが何か言うてるなって感じで適当に読んでくれたらええねんけどa>0のとき
√(x^2+a^2)はx=a(e^t-e^(-t))/2
√(x^2-a^2)はx=a(e^t+e^(-t))/2とか置換しても結構うまくいく話は

sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2,cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2
(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1
の関係を使ってるという意味ではa<0ではsinθ,a>0ではsinhθに置換とも整理出来るねん。

さらに言うとsint=(e^(it)-e^(-it))/2i,cost=(e^(it)+e^(-it))/2iの関係から複素数まで拡張して
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i,cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2i
としても
(cosz)^2+(sinz)^2=1になってるやろ。
これで
isinh(t)=sin(it),conh(t)=cos(it)となってるから
(cost)^2+(sint)^2=1から(cos(it))^2+(sin(it))^2=1で(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1と言う関係にもなっていて色々見えてきましたね。


高校数学の公式や問題の解説


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世界を敵に回すより、電車でその辺のおっさんに痰吐いて敵に回した方が死亡率が高い
20180909141520cc0.jpg
これから2年間閉じ込めた生姜の封印を解きたいと思います。

20180909121400413.jpg
メンマになってました。


とりあえずトイレに流すしかないやろ。

うんこが流れるんやったら、メンマも流れるやろ。



と言うことで2年寝かせた麦茶を解禁することにした。

そうやな、ティーバックが熟成されて液体に溶け合ってカビが生えてますね。


とりあえずトイレに流すしかないようやな。

うんこが流れるなら、ティーバックも流れるやろ。



これで冷蔵庫の中にオレンジジュースを入れることが出来ますね。

最近、オレンジジュースだけが欲しいねん。



そこで思うねんけどε-δ論法とかではなくて高校数学では

f(x)がx=aで微分可能は

極限値 lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/hが存在することで

f(x)がx=aで連続とは

lim(x→a) f(x) = f(a)となることやん。


微分可能が覚えにくい人が多いから

導関数が連続みたいなもんと思うとイメージがつきやすくて整理されやすいかもしれませんね。

y=|x|とか導関数はx=0のところで-1から1にかわって不連続になっていて微分不可能やろ。


x=aで連続はxをaにどう近づけても、x=aでとる値に近づく

x=aで微分可能はxをaにどう近づけても、ある値になってそれをf'(a)とする



でも注意しなあかんのは

x=aで導関数が連続⇒x=aで微分可能

でも

x=aで微分可能⇒x=aで導関数が連続

は成立しないところが恐いとこやねんな。


その有名な例が

f(x)=
x^2sin(1/x) (x≠0
0 (x=0)

って関数で

f'(0)=lim(h→0) (f(0+h)-f(0))/h
=lim(h→0) (h^2sin(1/h)-0/h)
=lim(h→0) hsin(1/h)
=0

でf'(0)は存在するねんけど

x≠0において
f'(x)=2xsin(1/x)+x^2(cos(1/x))(-1/x^2)
=2xsin(1/x)-cos(1/x)

x→0で振動でf'(0)=0に等しくないから不連続ですね。


これは何故不思議な感じがするのかと言うと連続は

グラフがつながってる

と言うイメージを持ってしまう誤解が多いからやねん。

これは連続じゃなくて、連結のイメージやねん。


そしたら連続はどういうイメージなのかと言うと

歩いていけば、前より更に目標に近づける

と言う感じやねん。



山と谷が繰り返される道があるとするやん。

それで水平距離が100kmぐらい先に可愛い犬がいたとするやろ。


それが犬までの道は繋がってはいても、山と谷が間に無限にあれば

いくら歩いて近づいても間に山と谷が無限にあるから、犬に近づいたとは言えないやろ。
犬に道のり的に100m以内に近づいて欲しいと言われて、水平距離が70mくらいのところまで行ったとしても間に山と谷が無限にあるから上下運動しまくって道のりが長くなって永遠と100m以内に近づかないやろ。

だから自分と犬の間の道は繋がってはいるねんけど連続ではないねん。



でも、普通の平坦な道やったら、歩けば歩くほど犬に近づくやん。

80km歩くより90km歩いたらより近づくやろ。

犬まで10m以内に近づこうと思えば、それだけ歩いて犬まで道のり5mくらいのところまでこればええやん。

これが連続のイメージやねん。



体調が悪いと、こういうことばっか書いてしまうわ。


数学、物理


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今日、ビオフェルミンsから優しい言葉をもらった
今日は生命力を削りました。

生命力を削って寿命が短くなる


それがオレに与えられた罪なんかもしれんな。



また自分の世界に入ってるなこの人。


今日はこのまま自分の世界に入ってこうと思っててんけど

わんこら族のミートからラインかかってきて、人生相談に2時間ぐらいのってたらもう寝る時間になってしまったわ。


オレのことについて「予備校で好きな女の子がいたから、それが勉強する原動力になったんですか」

って聞かれたから

その子がいなくても勉強していて、弱いから数学でしか自分を表現する方法がなくて、その子にもテストでトップをとってランキングに貼り出されるとかそういう方法でしか自分を表現することが出来なかって、結局何も話したこともなくウェイ系にとられたと言うようなことを話したわ。


と言うことでもう寝なあかんから小数について語ろうか

1/7は
0.142857142857…の循環小数になるやん

これをな
142857を142と857に分けて足すと
142+857=999
になるねん。


2/7でも
0.285714285714…でも
285+714=999になるやろ。


算数でこれが題材になってるっぽい問題があるから、これが何故かって言うことを昔考えたがあってん。

そういえば

1/7=0.142857…
2/7=0.285714…
3/7=0.428571…
4/7=0.571428…
5/7=0.714285…
6/7=0.857142…

って全部循環小数は142857の順番になってるやん。


まずこれ何でかと言うとmod 7つまりは7で割った余りで考えると

10≡3 (mod 7)
100≡2 (mod 7)
1000≡6 (mod 7)
10000≡4 (mod 7)
100000≡5 (mod 7)
1000000≡1 (mod 7)

ってなるやろ。
m≡n (mod7)はmとnは7で割った余りは同じって意味な。


と言うことは10≡3 (mod 7)からは

3/7で3を7で割るってことは、10を7で割ったときと小数部分は同じやから

1/7に10倍するのと小数部分は同じやねん。
だから1/7の0.142857142…を10倍して1.42857142…って左に1つずれるってことになるねん。

同じように100≡2 (mod 7)からは

2/7で2を7で割るってkとは、100を7で割ること考えて
1/7を100倍すればいいから、左に2つずれるだけやねん。

1000≡6 (mod 7)から6/7は左に3つ、10000≡4 (mod 7)から4/7は左に4つ、100000≡5 (mod 7)から5/7は左に5つ、1000000≡1 (mod 7)か1/7らは左に6つで元に戻る


それで、みんな循環小数の周期が同じになってるねん。


そしたらさっきの何故999になるかは

これは1001=7×11×13ってよくオリンピック的な問題で使うねんけど

1000はそれより1つ少なくて1000≡6 (mod 7)が1000≡-1 (mod 7)でもあることに意味があるねん。

例えば3/7やと
3/7=0.428571428571…
3つずらすには1000をかけて

3/7×1000=428.571428571428…

これを辺々足すと、左辺の分子は1000≡-1 (mod7)だから

3+3×1000≡3+3×(-1)=0 (mod 7)

って7で割り切れてまうねん。


だから、右辺は整数になるから小数部分は

…999999999…

って全部9になるねん。

整数になるから

…0000000000…

ってなるわけ違うから注意してな。

0になるんやったら位があがるから全部10になるってことでむしろ

…111111111…

になるからな。


それで

3/7+3/7×1000=428.999999999…

428571とは428+571=999ってなるねん。


1/7でも2/7でも4/7でも5/7でも6/7でも同じやな。


こんな性質、算数やって初めて知ったわ。


数学 、物理


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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
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勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
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