わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2014年度理系第5問、文系第4問整数問題の解説
乳首にパイ毛を巻きつけてたら壊死しました。

東京大学2014年度理系第5問、文系第4問整数問題の解説をします。


[問題]
201704231301170c4.jpg
rを0以上の整数とし、数列{a_n}を次のように定める。
a_1=r,a_2=r+1,a_(n+2)=a_(n+1)(a_n+1) (n=1,2,3,…)
また、素数pを1つとり、a_nをpで割った余りをb_nとする。ただし、0をpで割った余りは0とする。
(1)自然数nに対し、b_(n+2)はb_(n+1)(b_n+1)をpで割った余りと一致することを示せ。
(2)r=2,p=17の場合に、10以下のすべての自然数nに対して、b_nを求めよ。
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して、
b_(n+1)=b_(m+1)>0,b_(n+2)=b_(m+2)
が成り立ったとする。このとき、b_n=b_mが成り立つことを示せ。
(4)a_2,a_3,a_4,…にpで割り切れる数が現れないとする。このとき、a_1もpで割り切れないことを示せ。

(文系は(3)まで)

[解答と解説]
(1)
201704231301184e1.jpg
a_n≡b_n (mod p)より
b_(n+2)≡a_(n+2)
=a_(n+1)(a_n+1)
≡b_(n+1)(b_n+1)
ってすぐに終わるには終わるねんけどな。

ただ、もしかしたらこのことを証明して欲しい可能性があるから、modを使わずに書いた方が安全かもしれん。

つまりM≡N (mod p)はM-N=(pの倍数)と言うことやから、M-N=(pの倍数)ってことを証明して欲しいみたいな。

言葉で書くと
MとNはpで割った余りが等しい⇔M-N=pの倍数
やな。

これは正確に覚えておいて欲しいとこやな、

a_nをpで割った商をa'_nとおくと
a_n=pa'_n+b_nより
a_(n+2)-a_(n+1)(a_n+1)=0

pa'_(n+2)+b_(n+2)-(pa'_(n+1)+b_(n+1))(pa'_n+b_n+1)=0

b_(n+2)-b_(n+1)(b_n+1)=p(-a'_(n+2)+a'_na'_(n+1)p+a'_(n+1)+a'_n)
でpの倍数になってるから
b_(n+2)はb_(n+1)(b_n+1)をpで割った余りは等しい

これで安全やな。

(2)
201704231301195b3.jpg
これは実際求めてくれってことやな。

a_1=2からb_1=2
a_2=3からb_2=3
b_3≡3・(2+1)=9よりb_3=9
b_4≡9・(3+1)=36よりb_4=2
b_5≡2・(9+1)=20よりb_5=3
b_6≡3・(2+1)=9よりb_6=9
2,3,9の繰り返しになっているから
b_7=2,b_8=3,b_9=9,b_1=10

(3)b_(n+2)=b_(m+2)よりb_(n+1)(b_n+1)=b_(m+1)(b_m+1) (mod p)
やからb_(n+1)=b_(m+1)>0より割って
b_n+1≡b_m+1⇔b_n≡b_m⇔b_n=b_m
とやると

20170423130121fe9.jpg

チーン
ってなります。


これはな、どういうことかと言うと話すと長くなるねん。

長くなるねんけど、話すわ。

これは合同式に除法をしていいかどうかって話やねん。


加法と減法と乗法については定義できることはよくやるやん。
20170423130122ab7.jpg
例えば
pを法として
nをpで割った商をn'、余りをr_1
mをpで割った商をm'、余りをr_2
とすると
n≡r_1,m≡r_2
やろ

M-N=(pの倍数)を言ってM≡N (mod p)であると示すと

加法は
(n+m)-(r_1+r_2)=n'p+r_1+m'p+r_2-r_1-r_2
=p(n'+m')
=(pの倍数)
やから
n+m≡r_1+r_2
やろ

減法は同じように
(n-m)-(r_1-r_2)=n'p+r_1-m'p-r_2-r_1+r_2
=p(n'-m')
=(pの倍数)
やから
n-m≡r_1-r_2
やろ

乗法は
nm-r_1r_2=(n'p+r_1)(m'p+r_2)-r_1r_2
=n'm'p^2+n'r_2p+m'r_2p
=p(pn'm'+n'r_2+m'r_1)
=(pの倍数)
やから
nm≡r_1r_2
やったやんな。

20170423130311855.jpg
そしたら除法はどういう場合にどう定義するのかと言うと

nに対してnm≡1となるmがあったとすると
n^(-1)≡m
とかいて逆元と言うねんけど、これをかけることで除法を定義するねん。

例えば
5を法にすると
2×3=6≡1より2^(-1)≡3、3^(-1)≡2
4×4=16≡1より4^(-1)≡4
って0以外の1,2,3,4それぞれ逆元があるから除法が定義できます。

1は当たり前として
2で割るということは3をかけること
3で割るということは2をかけること
4で割るということは4をかけることやねん。


今度は6を法にすると2に対する逆元は
2×2=4≡4ちゃうな
2×3=6≡0ちゃうな
2×4=8≡2ちゃうな
2×5=10≡4ちゃうな
となると2には何をかけても1にならないから、これは逆元がないねん。
つまり2で割る除法が定義できないねんな。

この違いは何かと言うとpを法にしたときに
pが素数やったら逆元があって除法が定義できて
pが素数でなかったら逆元がない場合があって除法が定義できないねん。


それはなぜかというと、話すと長くなるねんけどな。

20170423130312abb.jpg

まずこの定理やな

aとbが互いに素な整数の時
ax+by=1
となる整数x,yが存在

証明もできるようになっていて欲しいとこやけどな。

20170423130314a26.jpg

この定理から
pが素数の時、nがpの倍数でもないとするとnとpは互いに素で
nx+py=1
となる整数x,yが存在するやろ。

そしたら
nx=p(-y)+1
からm=xと書きなおすと
nm≡1 (mod p)

n^(-1)≡m
つまりn≡0以外のnに対して、n^(-1)が存在することがわかって除法が定義できるねん。

と言うことは、何を言いたいのかと言うとこの問題では

「pが素数である」と言うことを使うのがポイントになるねん。


さすがにこの説明は書けないから現実的な解答を書くと、mod使わずに条件を書いたら
20170423130315bab.jpg

b_(n+2)-b_(n+1)(b_n+1)=(pの倍数)
b_(m+2)-b_(m+1)(b_m+1)=(pの倍数)
これでb_(n+2)=b_(m+2),b_(n+1)=b_(m+1)から辺々差をとって消去とかしてあげて
b_(n+1)(b_m-b_n)=(pの倍数)
ここでpは素数より、b_(n+1)とpは互いに素なので
b_m-b_n=(pの倍数)
ってなるわけやねん。
でも0≦b_m≦p-1,0≦b_n≦p-1やから
-(p-1)≦b_m-b_n≦p-1
でpの倍数になるのは
b_m-b_n=0しかなくて
b_m=b_nと言えるねん。

(4)
20170423130317ef5.jpg
こういうときは調べてみよか
a_1=0と仮定すると
a_2=1
a_3=1
a_4=2
a_5=4=2・2
a_6=12=2^2・3
a_7=60=2^2・3・5
a_8=780=2^2・3・5・13
a_9=47580=2^2・3・5・13・61
a_10=2^2・3・5・7・13・61


20170423130433c1d.jpg

終わらないパーティーがはじまります。

これはちょっとアプローチが違うみたいやな。

そもそも(3)を使うはずとか前の問が使えないか考えるのが先やからな。
20170423130434617.jpg
a_2,a_3,a_4,…にpで割り切れず数が現れないので
b_2,b_3,b_4,…はすべて正にはなってるやろ。

だからもしb_(n+1)=b_(m+1),b_(n+2)=b_(m+2)が成り立てば
b_n=b_m
なってるやろ。
そしたら
b_(n-1)=b_(m-1),b_(n-2)=b_(m-2),…
って成立していって循環するはずやな。


と言うことは循環小数の話は使えないか?考えみよか

まず有理数は
(有理数)=(整数)/(整数)
=割り切れるか、循環小数
やったな。


20170423130436e17.jpg
例えば7で割るとあまりは0,1,2,3,4,5,6しかないやろ。
と言うことは鳩の巣原理から8回も割れば、どこかで0が出るか、または同じあまりが出てくるはずやねん。

11を7で割ると
あまり4
あまり5
あまり1
あまり3
あまり2
あまり6
ってなっていくから、この次は0でも1でも2でも…6でも何が出ても割り切れるか、被りが出るねん。

と言うことは被りが出ると、同じ計算になるから循環するはずやねん。


このことから
pで割るとあまりは0,1,2,…,p-1のどれかよりp桁以内に割り切れるか循環するねん。

201704231304376d7.jpg
{b_n}も余りなわけやから0,1,2,…,p-1のp個の値しかとらないやんな。
ただ隣り合った二つの組み合わせが等しいところがないといけないから
(b_n,b_(n+1))の組み合わせを考えるとp^2個以下のパターンになるねん。
と言うことはp^2+1個の隣り合った組み合わせを考えると鳩ノ巣原理から少なくとも1組は同じのがあるはずやねん。


20170423130439645.jpg
201704231305319e6.jpg
a_2,a_3,a_4,…にpで割り切れる数が現れないので
k≧2でb_kは1,2,3,…,p-1のp-1個のいずれかである。

よってk≧2でb_k>0
また(b_k,b_(k+1))の値は(p-1)^2個以下
b_2,b_3,b_4,…,b_(2+(p-1)^2)は隣りあう組が(p-1)^2+1個あるので鳩の巣原理より(b_n,b_(n+1))=(b_m,b_(m+1))となるn,mが存在する

b_(n-1)=b_(m-1),b_(n-2)=b_(m-2),b_(n-3)=b_(m-3),…b_1=b_l
(lは2以上の整数)
となってb_1=b_k>0よりa_1もpで割り切れないことになります。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2014年度理系第4問微分の問題の解説
今日はやたらにうんこ出ると思ったら昨日山芋食べたからなんですね。

と話がまとまったところで東京大学2014年度理系第4問微分の問題の解説をします。

[問題]
20170419010355dc9.jpg
p,qは実数の定数で、0<p<1,q>0をみたすとする。関数
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))
を考える。
以下の問いに答えよ。必要であれば、不等式1+x≦e^xがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい。
(1)0<x<1のとき、0<f(x)<1であることを示せ。
(2)x_0は0<x_0<1をみたす実数とする。数列{x_n}の各項x_n(n=1,2,3,…)を
x_n=f(x_(n-1))
によって順次定める。p>qであるとき
lim(n→∞)x_n=0
となることを示せ。
(3)p<qであるとき
c=f(c),0<c<1
をみたす実数cが存在することを示せ。


[解答と解説]
20170419010357e29.jpg
(1)そらもうまず微分やろ。
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))
xで微分して
f'(x)=1-p-(1-e^(-qx))+(1-x)qe^(-qx)
=-p+(q+1-qx)e^(-qx)
これはあれですね。
ようわからんから、もう一回微分やな。

f''(x)=-qe^(-qx)+(q+1-qx)(-q)e^(-qx)
=-q(x+q+2)e^(-qx)≦0
これでf'(x)は単調減少やな。
いい感じやな。

次にf'(x)の符号を考えよか。

まず端点の符号を調べると
f'(0)=q+1-p>0
f'(1)=-p+e^(-q)はわからんから

(i)-p+e^(-q)≧0のとき
f(x)は単調増加で
f(0)=0,f(1)=1-p<1
いけてるな。

(ii)-p+e^(-q)<0のとき
f'(x)は単調減少やから、f'(α)=0となるαが1つ存在して
e^(-qα)=p/(q+1-qα)で
f(s)はf(α)で最大値やから
f(α)=(1-p)α+(1-α)(1-e^(-qα))
これで1>1-pで1>1-e^(-qα)やからf(α)<α+(1-α)=1

ってやってると出来なくもないねんけど、これαが0<α<1と言うことしか使ってないから意味ないちゃうんって言うことで部屋をのぞくと

201704190103580f7.jpg
こんなわけわからんことになります。

なんかセンターは誰がええか争ってたらこうなったらしい。


20170419010401055.jpg

この微分した意味を無に返されたような感じは、何を考えてほしいのかと言う

変数をかえてみるねん。

変数を定数に、定数を変数と考えたりしてみるねん。

東大でもよくある処理やな。

これはxを0<x<1の定数として、(1-p)xはpの関数と考えるとそれぞれ1次関数やねん。

pの係数は-xよりpの減少関数やねん。

(1-x)(1-e^(-qx))もqの増加関数やろ。

だから

f(x)<(1-0)x + (1-x)(1-e^(-1・x))<x + (1-x)=1
f(x)>(1-1)x + (1-x)(1-e^(-0・x))=0

これで0<f(x)<1なるねん。

こうやって変数をかえてみると、簡単になったりするねんな。

(2)
201704190103597e0.jpg
これは|a_n-α|≦r|a_(n-1)-α|
(0<r<1)と言うような不等式の等比数列の漸化式みたいなのを作るのが向かうべき道になることが多いねん。
それで
|a_n-α|≦|a_1-α|r^(n-1)
って漸化式式を解くように処理してn→∞で右辺→0でa_n→αを示すわけやな。

(1)より0<x_0<1から0<x_1<1,0<x_2<1…となっていって帰納的に0<x_n<1になりますね。
今回はα=0で、x_n<rx_(n-1)を目指す感じやな。

x_n=(1-p)x_(n-1)+(1-x_(n-1))(1-e^(-qx_(n-1))
なんかこれでrx_(n-1)のような形を目指すには指数関数ではなくて、x_(n-1)の1次式で評価したいとこやな。

そこでe^x≧1+xこんなんあったやんな。

xのところに-qx_(n-1)を代入して
e^(-qx_(n-1))≧1+(-qx_(n-1))
これを使って
x_n≦(1-p)x_(n-1)+(1-x_(n-1))(1-(1-qx_(n-1)))
=(1-p+q-qx_(n-1))x_(n-1)
これでqx_(n-1)>0やから
x_n≦(1-p+q)x_(n-1)
ってなるねん。

これでx_n≦(1-p+q)^nx_0
で0<(1-p)+q<1-p+q=1やから
n→∞で
(1-p+q)^nx_0→0
となってx_n→0となるわけですね。

(3)
201704190104270a1.jpg
f(c)-c=0と考えて、g(x)=f(x)-xを考えよか

そしたら
g(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))-x
=-px+(1-x)(1-e^(-qx))

g(0)=0
g(1)=-p<0
やな。

g(0)=0は0になってちょっと惜しいとこやな。

と言うことは0<x<1において正の値をとることがあれば中間値の定理でg(x)=0となるxが存在するはずやな。
とりあえず微分してみると
g'(x)=-p-(1-e^(-qx))+(1-x)qe^(-qx)
これはあれやな。
増減調べて最大値とか探すのは難しそうやな。

でもg(0)=0やったやん。
極値になるxの値までわからなくても、こっから少しでも増加してくれたらええわけやん。
そこで
g'(0)=-p+q>0と言うようにg(x)はx=0のところで増加してるねん。
それでg'(x)は連続関数やからg'(x)>0となる区間が存在していてg(α)>0となるx=αが存在するねん。


f'(x)が連続関数でf'(α)>0でx=αのところで増加で、f(α)=aやったら
xがαに十分近いとf(x)>aとなる区間がある
っていうわけやな。

解答には連続関数と書くところがポイントになるからこれぐらいでいいと思うねんけど、もっとここをもし詳しく書くとしたら
g'(x)は連続関数やから
lim(x→+0)g'(x)=-p+q>0
でxを0に近づけると-p+q>0に限りなく近づくから、常にg'(x)>0となるような区間0≦x≦αが存在しているねん。

それで0≦x≦αでg(x)は単調増加やから
g(α)>g(0)=0
となるわけやな。

これで中間値の定理からg(c)=0(0<c<1)となるcが存在することになって題意成立しました。


この(3)は極限を大学で習うε-δ論法的に理解してないとわかりにくいから難しいな。

任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在して
|x-0|<δ⇒|g'(x)-(-p+q)|<ε
が成り立つから

例えば-δ<x<δ
g'(x)-(-p+q)>-(-p+q)/2
g'(x)>(-p+q)/2 (>0)
となる正の数δが存在してるみたいな。


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東京大学2014年度理系第三問積分の問題の解説
今日、かずゆき、もうがんばらなくていいよって言われました。

東京大学2014年度理系第三問積分の問題の解説をやりたいと思います。


[問題]
20170416032459fb4.jpg
uを実数とする。座標平面上の2つの放物線
C_1:y=-x^2+1
C_2:y=(x-u)^2+u
を考える。C_1とC_2が共有点をもつようなuの値の範囲はある実数a,bにより,a≦u≦bと表せる。
(1)a,bの値を求めよ。
(2)uがa≦u≦bをみたすとき、C_1とC_2の共有点をP_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)とする。ただし、共有点が1点のみのときは、P_1とP_2は一致し、ともにその共有点を表すとする。
2|x_1y_2-x_2y_1|
をuの式で表せ。
(3)(2)で得られるuの式をf(u)とする。定積分
I=∫(a,b)f(u)du
を求めよ。

[解答と解説]
(1)
20170416032604b05.jpg
そらもうy消去ですね。
-x^2+1=(x-u)^2+u

2x^2-2ux+u^2+u-1=0
これが実数解をもてばよいので判別式Dとして
D/4=u^2-2(u^2+u-1)≧0
u^2+2u-2≦0
解いて
-1-√3≦u≦-1+√3

この流れやとだいだいお尻から血出して倒れてるシーンになると見せかけて、ほんまに普通に求まるねん。

(2)
20170416032605640.jpg
そしたらxは
x=(u±√(-u^2-2u+2))/2で
y=-x^2+1
=-{(u±√(-u^2-2u+2))/2}^2+1
=-(u^2-u-1±(√(-u^2-2u+2))u)/2(複号同順)
やから
2|x_1y_2-x_2y_1|=2|(u+√(-u^2-2u+2))/2・(-u^2+u+1+(√(-u^2-2u+2))u)/2-……

ってやってると


20170416032607986.jpg

芝生の校庭で踊り出すことになります。

まあがんばったらできるやろうけど、書く量が多いねんな。


20170416032609e59.jpg
そこで解と係数の関係を使ってx_1とx_2の基本対称式と交代式で整理してみるねん。

それでuで表すと、書く量が減るわけやねんな。

まずy_1=-x_1^2+1とy_2=-x_2^2+1でx_1とx_2だけにして
x_1+x_2=u
x_1x_2=(u^2+u-1)/2
|x_2-x_1|=√((x_2+x_1)^2-4x_1x_2)
やから

2|x_1y_2-x_2y_1|=2|x_1(-x_2^2+1)-x_2(-x_2^2+1)|
=2|x_1x_2(x_1-x_2)+x_1-x_2|
=2|x_1-x_2||x_1x_2+1|
=2√(-u^2-2u+1)・1/2・(u^2+u+1)
=(u^2+u+1)√(-u^2-2u+2)
ですね。

u^2+u+1>0やから絶対値は外れるねん。

(3)そしたら積分ですね。
積分やな。
そしたら…積分やな。

ええから、はよせいや!



20170416032610fa4.jpg
I=∫(-1-√3,-1+√3)(u^2+u+1)√(-u^2-2u+2)du
この積分は∫R(x,√(ax^2+bx+c))dxの積分でやり方がある程度決まってるねん。

R(x,y)とはx,yの有理式のことで
つまり
(x,yの多項式)/(x,yの多項式)
の形のことやな。

なんかだいたい大学の1年で習うような専門書にやり方が整理されてるけどな。

今回はa<0でax^2+bx+c=0の判別式をDとしてD>0の場合のときやな。


20170416032706d3a.jpg
2つやり方を紹介すると

1、√(ax^2+bx+c)=√(a(x+b/(2a))^2+c-b^2/(4a))
=√(a(x+b/(2a))^2-D/(4a))
これはx+b/(2a)=√(-D/(4a))sinθと置換するねん。
√(ax^2+bx+c)=√(-D/(4a))|cosθ|
まあ√(1-x^2)の積分みたいなもんやな。

2、ax^2+bx+c=0の解x=α,βとすると
t=√{(x-α)/(x-β)}と置換するねん。

これをxについて解いてx=(t^2β+α)/(1+t^2)
そしたらdx=(2(β-α)t)/(1+t^2)^2dtって用意しておいて

tに直して
√(ax^2+bx+c)=√(a(x-α)(x-β))
=(√(-a))t(β-(βt^2+α)/(1+t^2))
=(√(-a))t(β-α)/(1+t^2)

これで有理関数(=(tの多項式)/(tの多項式))にできるねん。

まあそんなに高校数学でやらないし、だいぶん要領よくないと使いにくいやろうけどな。
今回は普通に1でええやろな。

20170416032708af3.jpg
一応、2の例としては
∫(dx/√(-x^2-x+2))はx^2+x-2=(x+2)(x-1)
だからt=√((x+2)/(1-x))と置換、x=(t^2-2)/(1+t^2),dx=2・3t/(1+t^2)^2dt,
√(-(x+2)(x-1))=t(1-(t^2-2)/(1+t^2))=3/(1+t^2)ってあらわせて
∫((1+t^2)/(3t))2・3t/(1+t^2)^dt
=∫2/(1+t^2)dt
ってなるやろ。これでtanに置換で
2Arctan((x+2)/(1-x))+C
やな。


20170416032709b5d.jpg
そしたら問題に戻ると1のやり方で平方完成して
I=∫(-1-√3,-1+√3)(u^2+u+1)√(-(u+1)^2+3)du
ここでu+1=√3sinθと置換すると
du=√3cosθdθ

u=-1-√3のときθ=-π/2
u=-1+√3のときθ=π/2

I=∫(-π/2,π/2)(3(sinθ)^2-√3sinθ+1)3(cosθ)^2du
ここで
∫sinθ^2cosθ^2dθ=∫1/4・(sin2θ)^2dθ
=∫1/8・(1-cos4θ)dθ
=θ/8-1/32sin4θ+C
やろ

∫(cosθ)^2sinθdθ=-1/3(cosθ)^3+C
∫(cosθ)^2dθ=∫(1+cos2θ)/2dθ
=1/2θ+1/4sin2θ+C
って後はお決まりの三角関数の積分になるねん。

これで
I=[9(1/8θ-1/32sin4θ)-3√3(-1/3(cosθ)^3)+3(1/2θ+1/4sin2θ)](-π/2,π/2)
=21π/8
やな。

長かったですね。
余計な一般的な説明してるからやろって話やけどな。


ありがとうございました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2014年度理系文系第2問確率の問題の解説
歯磨キュニューピーが僕を襲ってきた。

また意味不明なことを言うてるところで、東京大学2014年度理系文系第2問確率の問題を解説したいと思います。

[問題]
201704140113139d1.jpg
 aを自然数(すなわち1以上の整数)の定数とする。
 白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して、次の操作(*)を考える。

(*)袋Uから球を1個取り出し,
(i) 取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、赤球1個となるようにする。
(ii)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uへ戻すことなく、袋Uの中身はそのままにする。

 はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入ってるとする。この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
 たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個のみとなる。
  n回目に取り出した球が赤球である確率をp_nとする。ただし、袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1)p_1、p_2を求めよ。
(2)n≧3に対してp_nを求めよ。
(3)lim(n→∞)1/m・Σ(n=1~m)p_nを求めよ。
(文系は(2)まで)

[解答と解説]
そうやな、まずはあれやな。
Uに白球がa+2個、赤球が1個やろ。
それで取り出した球が白球のときは、白球a個、赤球1個となるようにして
取り出した球が赤球のときは、袋に戻さないと。

えっとまずはUに白球がa+2個やったっけ?

って文章が長くて複雑で、悩み続けてると


コンコン

って店員がドリンク持ってドア開けると
20170414011638377.jpg

フッフー!!!

ってこんなわけわからんことになっていて


「どえらいことになってるでこれ」

ってドアをそっと閉められることになります。


そこで、絵を描いて実験してして理解してほしいねん。
20170414011417e14.jpg
まずとりあえず白a+2個と、赤1個あるやろ。

それで白をとると、白a個、赤1個
赤をとると、白a+2個
って樹系図みたいに過程を書いていくねん。

そしたら何かが見えてくるねん。

(1)
20170414011641465.jpg
もうさっきの実験でやった図で説明してくれたらええわ。
1回目に赤球をとるのはa+3個のうちの1個やから、p_1=1/(a+3)
2回目に赤球をとるのは1回目白の(a+2)/(a+3)、2回目赤の1/(a+1)で、p_2=(a+2)/(a+3)・1/(a+1)=(a+2)/{(a+1)(a+3)}

(2)
20170414011639d9c.jpg
おそらくは漸化式やろな。
全部の事象を排反に分割して書くのがコツやな。
さっきの実験からn≧3やったら白球a個、赤球1個の事象と、白球がa個の事象しかないことがわかるやろ。

そしたらn回目後に白球a個、赤球1個になる事象の確率はn-1回目後の状態から赤をとりだしたときやからp_nやん。
と言うことはn回目後に白球がa個、赤球が1個になる事象の確率は1-p_nとあらわせるねん

それでn回目の前後の事象を2つそれぞれ描いて矢印で結ぶねん。

n回目後に白球だけになるのは、n-1回目後に白球がa個、赤球が1個のときに赤を取り出した場合だけで

p_n=1/(a+1)・(1-p_(n-1))
後はこの漸化式をといたらええねん。

p_n-1/(a+2)=-1/(a+1)・(p_(n-1)-1/(a+2))
n≧3やから
p_n-1/(a+2)=(p_2-1/(a+2))・(-1/(a+1))^(n-2)
って初項をp_2-1/(a+2)で始めるねんけど、n≧2でも同じ漸化式やから
p_n-1/(a+2)=(p_1-1/(a+2))・(-1/(a+1))^(n-1)
とやればテクニシャンですね。

(3)
20170414011642412.jpg
単に計算するだけやけど、等比数列の和を計算し間違えないように
初項と項数と公比の三つを代入して(初項)・(1-(公比)^(項数))/(1-(公比))に入れるねん。
1/m・Σ(n=1~m)(1/(a+2)-1/{(a+2)(a+3)}(-1/(a+1))^(n-1))
1/{(a+2)(a+3)}(-1/(a+1))^(n-1)の部分が初項目はn=1代入して1/{(a+2)(a+3)},
公比は-1/(a+1)、項数はnやな。

後はn→∞で1/(a+2)ですね。

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東京大学2014年度理系第1問、空間図形の問題の解説
角に追い詰められて刺されたい年頃になりました。

東京大学2014年度理系第1問、空間図形の問題の解説をします、

[問題]
14916715230.jpeg
1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱OABC-DEFGを考える。3点P,Q,Rを、ぞれぞれ辺AE、辺BF、辺CG上に、4点O,P,Q,Rが同一平面上にあるようにとる。四角形OPQRの面積をSとおく。また、∠AOPをα、∠CORをβとおく。
(1)Sをtanαとtanβを用いて表せ。
(2)α+β=π/4,S=7/6であるとき、tanα+tanβの値を求めよ。さらに、α≦βのとき、tanαの値を求めよ。

[解答と解説]
空間図形の平行四辺形の面積はどうしたらええかやな。
14916715570.jpeg
まず三角形の面積で1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)と言う公式あるやん。
これはそもそも平行四辺形の面積√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)の半分ってことやねん。


それで1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)って公式は別に
1/2・OA・OBsin∠AOB
で計算したらええし、座標なら
1/2・|x_1y_2-x_2y_1|
で計算したらよいのに、何故かわりと重要な感じで扱われるやろ。

14916715450.jpeg

これはな、1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)の形で書くと3次元でも同じ公式やねん。
でも1/2・|x_1y_2-x_2y_1|の形なら3次元と違うやろ。

可愛い2次元美少女描いてたら、横から真面目な大学生の兄さんがいやいや実際の人間はそんなんちゃうやろって3次元美少女描いたらリアルすぎて消化しきれないみたいなもんやねん。

直線の方程式も法線ベクトルn→で点Aと通る直線はn→・AP→=0と言う形であらわしておけば、これを三次元にそのまま使うと平面の方程式になるしな。

ベクトルで表記すると計算の効率が良いというより2次元と3次元同じ形で書けて覚えやすいねん。

14916715330.jpeg
それともう一つのポイントは直方体とかベクトルが直行するのは座標も便利やねん。

(1)
14916715970.jpeg
と言うことで図のようにO(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)と言うように座標をとります。

そしたらP,Qの座標から
OP→=(1,0,tanα)
OQ→=(0,1,tanβ)
になるから後はさっきの公式に入れて
S=√(|OP→|^2|OQ→|^2-(OP→・OQ→)^2)
=√{(1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)-(tanαtanβ)^2}
=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}

(2)
14916715830.jpeg
そしたら一緒に式を整理してみよか
α+β=π/4
7/6=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}

これからαかβ消去すればええんやろうけど、α+β=π/4をtanα,tanβの式にしてtanで考えると
tan(α+β)=1
加法定理から
(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1

7/6=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}
の2つの式で求まるはずやな。


14916715700.jpeg
tanαとtanβの対称式やから、tanα+tanβ=s,tanαtanβ=tとおいてs,tを求めると更に楽かもしれん。

s/(1-t)=1
s^2-2t+1=(7/6)^2

t消去を目3指して
t=1-s
s^2+2s-85/36=0
これを因数分解して
(s+17/6)(s-5/6)=0

別に分数のままじゃなくて
36s^2+72s-85=0で考えたらええねんけどな。

それで0<α<π/2,0<β<π/2よりs=tanα+tanβ>0やから
s=5/6,t=1/7
って決まるねん

14916716060.jpeg

これからtanαとtanβは2次方程式
x^2-5/6x+1/6=0の解やから
(3x-1)(2x-1)=0

x=1/3,1/2
ここでα≦βよりtanα≦tanβなので
tanα=1/3

とわかりました。

多変数と言っても、この問題では鋭角でtanは1:1で単純やから
厳密に同値変形するほどでもなくて、

必要条件から解を出して、そのうち十分なものを求める論法でええやろな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

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で数学を教えてます。

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