わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度文系第2問、二次関数と軌跡の問題の解説
お腹が痛いわ。

東京大学2015年度文系第二問の解説をします、


[問題]
14904635810.jpeg
座標平面上の2点A(-1,1),B(1,-1)を考える。また、Pを座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。次の条件(i)または(ii)をみたす点Pの範囲を図示し、その面積を求めよ。
(i)頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで点A,P,Bをすべて通るものがある。
(ii)点A,P,Bは同一直線上にある、。


[解答と解説]
14904635910.jpeg
頂点が動けば、Pはどのように動くかやろ。

点A,Bと頂点を通る放物線上に点Pがとれるから、どれだけ張り出すかやな。

そうやな、ちょうど点Bのとこに頂点があったら、下側に張り出しそうやな。


ってやってると

14904636050.jpeg

もううへ~って乳首噛み切らずにはおられなくなります。

ちゃうねん、こいつは2次関数の頂点と乳首が対応している同窓写像が存在すると思い込んでるタイプやねん。


だから、微妙にそれらしく聞こえるような意味わからん説明を書くなって話やな。



これはな、確かに頂点がAとBのときが一番張り出していて、その二つの放物線に囲まれた部分になるねんけど、それをどう証明するかを聞かれてる可能性があるねん。



そしたら、よくある方法として


○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

○文字固定

でやってみよか。


逆像法とか逆手流に、だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形するとかラノベみたいな名前つけたから説明に毎回こうしてこまると言う。



○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

14904636160.jpeg

まず条件を式にしていくねん。

P(X,Y)で|X|≦1とおくやろ。

まず2点A,Bを通る2次関数y=f(x)はy=-xと点A,Bで交わるから
f(x)-(-x)=0はx=1-,1を解に持つはずやん。
だからaをa≠0の実数とすると
f(x)-(-x)=a(x-1)(x+1)

f(x)=ax^2-x-a
とおけるねん。

別にこんなんせんでも、y=ax^2+bx+cをA(-1,1),B(1,-1)を代入して
1=a-b+c
-1=a+b+c
から
c=-a
b=-1
でy=ax^2-x-a
でええねんけどな。


それで(i)をみたすときは

後はこれが点Pを通るから
Y=aX^2-X-a
やろ

それと頂点やな
f(x)=a(x-1/(2a))^2-a-1/(4a)
より頂点のx座標の絶対値が1以上になるには
|1/(2a)|≧1で両辺に|2a|かけて
1≧|2a|で-1/2≦a≦1/2


14904636310.jpeg

そしたら全部の条件式を整理すると
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1


これでaを消して、X,Yを残したいねん。
そしたら
Y=aX^2-X-a
を使ってa=…の形にするねん。

そのためには
Y=(X^2-1)a-X
(X^2-1)a=Y+X
でX^2-1で割らなあかんからX≠±1のときとX=1,-1で場合分けしたらよさそうやな。

X≠±1のとき
a=(Y+X)/(X^2-1)
でこれを残りの式に全部入れるねん
a≠0に入れて(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦a≦1/2に入れて-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
|X|≦1は-1≦X≦1

そしたらX,Yは
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1

を満たしたら、aはa=(Y+X)/(X^2-1)に代入したら実際存在するやろ。
X,Yを決めたら裏でaはa=(Y+X)/(X^2-1)で決まっていってるわけやな。

これで存在するようにaを消すことができるねん。

後は
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1
をもっと整理して、X^2-1≦0やから

Y≠-X
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
-1≦X≦1

やな
ちなみにこれはX≠±1のときやったから

X=1のときは
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1
にもう一度入れるとY=-1だけやな。

X=-1のときはY=1やな。


最後に(ii)はY=-X(-1≦X≦1)やな

これで
14904636390.jpeg
図示するとこうなるねん。
1/2・X^2-X-1/2=1/2・(X-1)^2-1で頂点(1,-1)は点Bやな。
-1/2・X^2-X+1/2=1/2・(X+1)^2+1で頂点(-1,1)は点Aやな。

ちょうど
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
になるねん。


面積は
∫(-1,1){(-1/2・X^2-X+1/2)-(1/2・X^2-X-1/2)}dx
=-∫(-1,1)(x-1)(x+1)dx
=-(-1/6・(1-(-1))^3)
=4/3
ですね。


もう一つのやり方の方も紹介しとこか。


○文字固定
14904636470.jpeg

(i)のX≠±1のところで
=aX^2-X-a
のところで,Xを固定してaを動かすねん。

二次関数やからa≠0で、頂点が1以上から-1/2≦a≦1/2やったな、

aを変数と思うとaで整理して
Y=(X^2-1)a-X
でX^2-1<0やから、傾きが負の一次関数やねん。

だから
a=-1/2のときの(X^2-1)(-1/2)-Xが最大で
a=1/2のときが(X^2-1)(1/2)-Xが最小で
a=0のところの-Xだけ飛ぶから

(X^2-1)(1/2)-X≦Y<-X,-X<Y≦(X^2-1)(-1/2)-X

やな。

後は同じようにやればオッケーやな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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東京大学2015年度文系第1問、命題の問題の解説
そろそろ3月も終わりになって3月も終盤になりました。

東京大学2015年度文系第1問、命題の問題を解説します。

[問題]
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以下の命題A,Bそれぞれに対し、その真偽を述べよ。
また、真ならば証明を与え、偽ならば反例を与えよ。
命題A nが正の整数ならばn^3/26+100≧n^2が成り立つ。
命題B 整数n,m,lが5n+5m+3l=1をみたすならば、10nm+3ml+3nl<0が成り立つ。


[解答と解説]
(1)
14899186660.jpeg
まず気になるのは左辺のn^3/26+100はnの3次式やろ、右辺のn^2は2次式やろ

だからnが大きくなっていくと、3次の方がだいぶん大きくなるはずやな。
ということは問題になるにはnが小さい値になるやろな。

そしたら、nが小さい値はどうか考えるとそもそも左辺は100より大きいからな。
n=1,2,3,…,10以下やったら、右辺は左辺より小さいはずやな。

と言うことは、もし反例があるとしたらnが11以上でそんなに大きくならない値のはずですね。

そしたら、ここは反例があるに賭けて
26をかけてn^3+2600≧26n^2で考えて

n=11を代入すると(左辺=3931)>(右辺=3146)
n=12を代入すると4328>3744
n=13は4797>4394
n=14は5344>5096
大丈夫、大丈夫。

反例があるはずや。

n=15は5975>5850
n=16は6696>6656
n=17は7513<7514
よっしゃ、反例や!

ふぅ~い!


ってやって、みんなからあいつ出来るやつやなって思われていて

家に帰ると

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バブー

って勝負師過ぎて、心のバランスを整えるために赤ちゃんプレイをやって甘えだすことになります。

もちろん、反例は単に反例をあげるだけいいから完璧な考えたやし、こうやって考えないといけない問題もあるし、誰にでも人には見せたくない触れて欲しくない部分ってあるしな。


そこで、もしかしたら命題が成立していて反例がないかもしれんし、そんなに計算早くないしもう少し調べるnを絞りたいと言うことになると

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自然数nを実数まで拡張して微分して増減を調べて最小値付近の整数を調べる
または
f(n+1)-f(n)とか差分を調べて増減を調べる

がよくある最小値の調べ方やな。


まず微分で調べる方法でやると

14899186960.jpeg

f(x)=x^3-26x^2+2600(xは0以上の実数)
f'(x)=3x^2-52x
=3x(x-52/3)
よってf(x)の増減を考えると実数で考えるとx=52/3で最小になるから、この近くの整数
17<52/3<18よりn=17か18が最小になるはずやねん。

と言うことでf(17)=7513-7514=-1<0って反例が見つかりました。


次は差分を調べる方法やな

14899187060.jpeg
数列のように変数が整数の場合は
f(n+1)-f(n)の符号で増減がわかるねん。
f(n+1)-f(n)>0となるnの範囲ではf(n+1)>f(n)で増加やろ
f(n+1)-f(n)<0となるnの範囲ではf(n+1)<f(n)で減少やろ。

f(n+1)-f(n)=3n^2-49n-25
から符号が変化するところのnは3n^2-49n-25=0となるnを考えて
n=(49±√(49^2+300))/6
で49^2に対して300は小さいから49<√(49^2+300)<50とわかって
最小に関係するのはn=(49+√(49^2+300))/6の方を考えて
16<(49+√(49^2+300))/6<17
だから
1≦n≦16においては負になるからf(n+1)<f(n)で減少
n=1代入でf(1)>f(2)
n=2代入でf(2)>f(3)

n=16代入でf(16)>f(17)

17≦nにおいては正になるからf(n+1)>f(n)で増加
n=17代入でf(17)<f(18)
n=18代入でf(18)<f(19)

まとめて
f(1)>f(2)>f(3)>…>f(16)>f(17)<f(18)<f(19)<…
これでn=17で最小とわかって

f(17)=-1ってわかるねん。

よく確率の最小値や最小値でp_(n+1)/p_n≧1とか調べてやるやつやな、。



そしたら命題Bにいこか。

同じように最大値を考えたら良さそうやな。

14899187140.jpeg
やみくもにやるとしたら、とにかく文字消去をして
5n+5m+3l=1からn=(1-3l-5m)/5で
10nm+3ml+3nl=2m(1-3l-5m)+3ml+3l/5・(1-3l-5m)
=-10m^2+(2-6l)m-9l^2/5+3l/5
これの最大値を考えるにはmで平方完成して
残りのlの式を平方完成して
=-10(m-(1-3l)/10)^2-(9l^2-1)/10

-(m-(1-3l)/10)^2は0以下で

-(9l^2-1)/10が0より小さいと言えばいいから
l≠0やったら9l^2-1が正で成立するけど
5n+5m+3l=1にl=0を代入すると5(n+m)=1となって左辺が5の倍数、右辺が1で不適でl≠0でいけるねん。

意外とごり押しでいけていまうと言う。


もう少しだけ綺麗にしようとしたら
14899187240.jpeg

nとmの対称式なことに注目すると
3l=1-5(n+m)でlを消去した方が綺麗かもしれん。

それで本当は消去するときに、その文字が存在するように消さなあかんねん。
消去して
10nm+3ml+3nl=10nm+(m+n)(1-5(n+m))
とやったらnとmは自由にとれるわけちゃうねん。

3l=1-5(n+m)の整数lが存在するようなn,mじゃないとあかんねん。

本当は不定方程式を解いて
5(n+m)+3l=1
5×2+3(-3)=1
差をとって
5(n+m-2)+3(l+3)=0
これから
n+m-2=3k⇔n+m=3k+2
l+3=-5k⇔l=-5k-3

つまりは、n+m=3k+2,3で割った余りが2であるようなn.mが定義域やねん。

そしたら後は、
10nm+(m+n)(1-5(n+m))
(n+mが3で割った余りが2)
で考えたらよくなって

これは東大でよく使う多変数処理でぜひ身につけたい考え方やけど、この問題についてはn,mは自由にとれるわけではないくらいで出来ます。

10nm+(m+n)(1-5(n+m))=-5m^2+m-5n^2+n
=-5(m-1/10)^2-5(n-1/10)^2+1/10
これでm=0かつn=0でなければ、負になることが言えて
さっきのようにn+mが3で割った余りが2やから同時に0ってことはないねんけど

n=0かつm=0とすると3l=1となって矛盾
よってn=0かつm=0は不適ぐらいで示せて
n=0かつm=0以外では次にn=1かつm=0が大きいから
-5(m-1/10)^2-5(n-1/10)^2+1/10<-5(1/10)^2-5(9/10)^2+1/10=-4<0
よって成立


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2015年度理系第6問、積分と極限の問題の解説
みんな二次試験の発表も終わって、二次試験の発表もそろそろ終わるころですね。

東京大学2015年度理系第6問、積分と極限の問題を解説します。

よろしくお願いします。

[問題]
14892871820.jpeg
nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1)関数g(x)を次のように定める。
g(x)=
(cos(πx)+1)/2  (|x|≦1のとき)
0               (|x|>1のとき)

f(x)を連続な関数とし、p,qを実数とする。|x|≦1/nをみたすxに対して、p≦f(x)≦qが成り立つとき、次の不等式を示せ。
p≦n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx≦q

(2)関数h(x)を次のように定める。
h(x)=
-π/2sin(πx)   (|x|≦1のとき)
0               (|x|>1のとき)

このとき、次の極限値を求めよ。
lim(n→∞)n^2∫(-1,1)h(nx)log(1+e^(x+1))dx

[解答と解説]

(1)不等式を証明しろってことやな。


14892871900.jpeg

a≦x≦bでf(x)≦g(x)ならば∫(a,b)f(x)dx≦∫(a,b)g(x)dx

を使って自分で関数を作って挟んで積分が解析特有のよくあるやり方で

例えばよくある問題はπの級数表示を出すときに使う
∫(0,1)x^(2n)/(1+x^2)≦1/(2n+1)
を示すときに0≦x≦1で1+x^2≧1やから
x^(2n)/(1+x^2)≦x^(2n)
って分母をとった方が大きくて0から1まで積分すると右の値は
∫(0,1)x^(2n)dx=1/(2n+1)
となります。

だいたいこういう感じで解く。

ただこれがよくわからんっていう人が多いわ。


なんでよくわからんって思うのかと言うと、これは必要であって十分ではないからな。

x^(2n)/(1+x^2)以上の関数って色々あるやん。
そのうち積分しやすくて、積分すると1/(2n+1)以下になるものであればいいから、色々関数が考えられるねん

それでこの式ではx^(2n)って雑に抑えてみたら、たまたまちょうど1/(2n+1)やったという感じやねん。

計算して最適な関数が一つに決まるっていう感覚ではなくて、たくさんあるやろうけど、もっと精度高く抑えられるものあるやろうけど雑に評価した
って感じやな。


と言うことでこの問題でも雑に評価してみよか

14892872000.jpeg

まず
g(nx)やから0ではない区間は|nx|≦1⇔|x|≦1/nやな。
だから
n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx=n∫(-1/n,1/n)g(nx)f(x)dx
って実際には|x|≦1/nだけの積分になりますね。

そしたら
n∫(-1/n,1/n)(cos(πnx+)+1)/2・f(x)dx
は雑に評価すると
-1≦cos(πnx)≦1
やから
0≦(cos(πnx+)+1)/2≦1

0≦(cos(πnx+)+1)/2・f(x)≦f(x)≦q

これを-1/nから1/nまで積分して
0≦n∫(-1/n,1/n)(cos(πnx+)+1)/2・f(x)dx≦n∫(-1/n,1/n)qdx
とやると
n∫(-1/n,1/n)qdx=2q
で、2倍になってるし、左も0やし…

とやってると

14892872260.jpeg

座薬タイプを飲んで世界に裏切られる流れになります。


ちゃうねん、雑すぎるねん。

確かに雑に挟む言うてたけど、雑すぎるねん。

これはな、ちょっとおかんがフライパンで炒め物をしてるときに、
ぴんぽ~ん
って誰かが来て
おかんに「たかし、ちょっと見てて」
たかし「うん」
って焦げて炎がぶーおー燃えあがってても、ほんまに見てるだけやって

た、たかしー!!

って戻ってきたおかんにパーン!しばかれて

鼻血だしながら髪の毛チリチリになって
見ていうから、見てただけやのに

って世界に裏切られたと思い込んでるたかし君みたいなやもんねん。

もうたかし君は、世界から拒絶されたと思ってるからな。
台所に選ばれなかった人間やと思ってるからな。


でもそんなたかし君にもええとこがあって、おじい…


ええから、はよ解き方の解説をしろや!


14892872350.jpeg

これはな、f(x)がすでにp≦f(x)≦qって定数で挟まれてるし
(cos(πnx)+1)/2は積分できるから残してたおいた方が精度が高くなるねん。


14892872520.jpeg
と言うことで
|x|≦1/nにおいて(cos(πnx)+1)/2≧0より

n(cos(πnx)+1)/2・p≦n(cos(πnx)+1)/2・f(x)≦n(cos(πnx)+1)/2・q

これを-1/nから1/nまえ積分したらよくて

∫(-1/n,1/n)n(cos(πnx)+1)/2dx=1やから
これで
p≦n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx≦q
って言えるねん。


(2)、(1)を使うやろうから形を近づけてみよか

14892872620.jpeg
同じようにh(nx)は-1/nから1/n以外は0やから
n^2∫(-1,1)h(nx)log(1+e^(x+1))dx=n^2∫(-1/n,1/n)-π/2・sin(πnx)log(1+e^(x+1))dxこれでsin(πnx)の部分がg(nx)の(cos(πnx)+1)/2に近づけそうで部分積分で微分か積分すれよいやろうけど、log(1+e^(x+1))は積分難しそうやからsin(πnx)の方は積分やな。

そしたら(cos(πnx)+1)/2にしていくために1/2を足して引くねん。
するとうまいこと消えて
-n∫(-1/n,1/n)g(nx)e^(x+1)/(1+e^(x+1))dx
になるねん


14892872690.jpeg
(1)で言うとe^(x+1)/(1+e^(x+1))がf(x)に対応していて、1-1/(1+e^(x+1))やから増加関数で
f(-1/n)≦f(x)≦f(1/n)
になるねん。
だからこの極限を求めて
f(-1/n)→e/(1+e)
f(1/n)→e/(1+e)
(n→∞)
で挟みうちで-e/(1+e)と求まりました。

14892872790.jpeg

ちなみにnπ/2・sin(πnx)の積分のところでcos(πnx)/2にするんじゃなくて
(cos(πnx)+1)/2
って定数があっても積分定数の違いで定石とると同じやから
これでg(nx)を作ったら、もう少し簡単に計算できるわ。


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東京大学2016年度理系第5問整数問題の解説
リリカルマジカル東京大学2016年度理系第5問整数問題の解説やります。


だいぶん無理あるやろそれ。

[問題]
14884698620.jpeg
mを2015以下の正の整数とする。2015_C_mが偶数となる最小のmを求めよ。

[解答と解説]
14884698710.jpeg
2015_C_mをまず階乗表記をすると
(2015・2014・2013・…)/{m(m-1)(m-2)…}
ってなりますね。

分子は2015から1ずつ小さくして連続m整数の積
分母はmから1ずつ小さくして連続m整数の積

それでこれを素因数分解したときの2の素因数の個数が
分子が分母よりも多くなれば偶数になりますね。



これはやり方があるねん。
よく算数である問題
2015!の値は、後ろから0は何個続くか?
って問題やな。
10の倍数つまりは2×5で、5よりもそら2の素因数の方が多いやろうから5の素因数の個数だけ10の倍数の組み合わせが出来て0の個数になるはずやねん。

14884698870.jpeg
それでこれは中学受験で
[2015÷5]=403
[403÷5]=80
[80÷5]=16
[16÷5]=3

403+80+16+3=502個って言う有名なやり方を覚えさせられるねん。

もうまだピチピチの短パン履いてママと手をつないでお出かけしてた時や。

これは5の倍数は[2015÷5]=403個
このうち25の倍数はもう一度5でわれるから25の倍数はもう一度5で割ればよいから
[403÷5]=80個
このうち125の倍数はさらにもう一度5で割れるから
[80÷5]=16個
このうち625の倍数はさらにもう一度5で割れるから
[16÷5]=3個
ってなるから全部足せば5で何回割れるかがわかるねん。


そしたら今回は1から2015までやから、2で何回割り切れるか実際書いてみよか。
14884699170.jpeg

分母は1・2・3・…ってかけていく
分子の方は2015・2014・2013・…ってかけていくやろ。


そしたら8個まで考えても、対称になっていて同じだけ2の素因数があるやろ。

しばらくはそんな感じやねん。


そしたら、どこかで違いが現れて分子の2015から左に進めていった方が多くなる瞬間があるんやと思うねん。



14884699300.jpeg

それを知るには2015って言う数字が、2とか4とか8とか16とか2^nで割ったときに余りを調べたらどういう配置かがわかるねん。

そこで
2015を2で割ると1やろ
つまりは2015≡1(mod 2)やけど、2015からは左に進めていくことを考えると
2015≡-1 (mod 2)と解釈すれば、1から右に進むのと2015から左に進むのとは2の倍数の配置は同じになるねん。
2015を4で割ると余り3やろ。これも-1って考えると
2015≡-1 (mod 4)
これは1から右に進むのと2015から左に進むのとは4の倍数の配置は同じなるやろ。
同じように
2015≡-1 (mod 8)
2015≡-1 (mod 16)
2015≡-1 (mod 32)
で2015を64で割ると余り31になってここで違いが出るねん。31はmod 64で-33で-1にはならないからな。
1から右に進めれば64番目まで進めないと64の倍数は出ないのに、2015から左に進めれば32番目の1984で64の倍数になるからここで分子の方が2の素因数の個数が多くなるねん。

だから答えは32やな。


もうこれでええんやろうけど、これを一応解答を書くと

まず2^nで割った余りを考えるってことは2進法表記を考えると見た目でわかるな

2015を2進法で表すと
11111011111
2^10+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^2+2^1+1
これで2^4+2^3+2^2+2^1+1のところが2^5-1とかけるから
2^n(n=1,2,3,4,5)で割ると(mod 2^n)で-1に対応するねんけど
2^6で割ると余りが2^5-1=31になってまうねん。

14884699380.jpeg

2015_C_m=(2015・2014・…・(2015-m+1))/(m(m-1)…1)
より
分子の(2015・2014・…・(2015-m+1))の2の素因数の個数>分母の(m(m-1)…1)の2の素因数の個数
になればよくて

14884699460.jpeg

2015を2進法であらわすと11111011111より
1≦n≦の自然数nに対しては
2015≡2^n-1≡-1(mod 2^n)
より、自然数kに対してkと2016-kは2で割りきれるかどうかは一致

2015≡2^5-1=31≡-33(mod 2^6)
なので
kが2^6で割りきれる最小のkよりも
2016-kが2^kで割り切れる最小のkが小さくて32になる

よってm=1,2,3,…と順に代入したとき、m=32で初めて分母より分子の方が2の素因数の個数が多くなる
よって2015_C_mが偶数となる最小のmは32

ありがとうございました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2015年度理系、第4問漸化式の問題の解説
これから、東京大学2015年度第四問理系の問題を解説します。

そうすることで、私はさらなる悲しみに包まれる。


[問題]
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数列{p_n}を次のように定める。
p_1=1,p_2=2,p_(n+2)=((p_(n+1))^2+1)/p_n (n=1,2,3,…)
(1)((p_(n+1))^2+(p_n)^2+1)/(p_(n+1)p_n)がnによらないことを示せ。
(2)すべてのn=2,3,4,…に対し,p_(n+1)+p_(n-1)をp_nのみを使って表せ。
(3)数列{q_n}を次のように定める。
q_1=1,q_2=2,q_(n+2)=q_(n+1)+q_n (n=1,2,3,…)
すべてのn=1,2,3,…に対し、p_n=q_(2n-1)を示せ。

[解答と解説]
(1)p_nを求めて入れたらええんちゃうん。
たぶんp_(n+1)で両辺割ると
p_(n+2)/p_(n+1)=p_(n+1)/p_n+1/(p_np_(n+1))
いや、ちゃうな。

ちゃうねん、ちゃうねんp_(n+1)をかけて
p_(n+2)p_(n+1)=(p_(n+1))^3/p_n+(p_(n+1))^2/p_n

って
14883522470.jpeg

家で一人で人はみんな平等のはずって
瞑想していたら
なんでオレはこれだけしてやってるのに、オレの扱いが軽いねん
舐めてるんちゃうか
ってその辺のタンスとか倒しまくってキレそうになります。


もちろん、予想できるかもしれんけど、そもそも(3)がp_nを求める問題やから求めてから(1)解くと誘導が使えてないしな。


そこで
14883522580.jpeg

よく電車で隣のやつが、動画見てたら

ちょっと、さっきのシーンもう一度見せてもらっていいですか?ってプレーヤーに問いかけてちょうどいいところで何回も巻き戻して見てて全然進まんやつがおったら


オレと同じことしてるやんって安心することよくあるやん。


だから、漸化式の場合は隣同士の関係を見たら同じやんって言う論法をよく使ったりするねん。

14883522690.jpeg
だからnを+1した場合を漸化式を使ってnを下げて整理していくと

(p_(n+1)+1)^2の塊があるから、これを展開せずに約分してしまって

文字数多いから
a_n=((p_(n+1))^2+(p_n)^2+1)/(p_(n+1)p_n)
とでも置くと
a_(n+1)=a_n
って言えるから隣同士が同じになるねん。

と言うことは
a_n=a_(n-1)=…=a_1=3
って全部a_1=3に等しいってわかるねん

(2)
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とりあえず漸化式を使ってnを下げてn+1を消去してみると

p_(n+1)+p_(n-1)=((p_n)^2+1)/p_(n-1)+p_(n-1)
とりあえず通分したら
((p_n)^2+(p_(n-1))^2+1)/p_(n-1)
これがさっきのa_nとほとんど一緒やな。
a_n・p_n
やから
3p_nってわかります。

(3)
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フィボナッチ数列の奇数項になるってことみたいやな。

p_n=q_(2n-1)を示すには数学帰納法がやっぱやりやすいやろな。

前の2つが決まれて、次の1つが決まるやから
n=k,k+1が成立を仮定していけばええわ。

n=1,2,のとき
q_1=1,q_3=q_2+q_1=2やから
p_1=q_1,p_2=q_2

n=k,k+1のときp_(k+1)=q_(2k+1),p_k=q_(2k-1)を仮定するけど
q_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)を使うことになるやろうから
p_(n+2)=((p_(n+1))^2+1)/p_nとか二乗とか分数混ざってるよりも
(2)のp_(n+1)+p_(n-1)=3p_n⇔p_(n+1)=3p_n-p_(n-1)を使った方が良さそうやな。

p_(k+2)=3p_(k+1)-p_k
=3q_(2k+1)-q_(2k-1)
これで変形させていってq_(2k+3)に等しいって導けばええけどq_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)から向かえにいった方かもしれん

奇数にしていって
q_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)
=2q_(2k+1)+q_(2k)
=2q_(2k+1)+(q_(2k+1)-q_(2k-1))
=3q_(2k+1)-q_(2k-1)

これで
p_(k+2)=q_(2k+3)と言えたから
n=k+1のときも成立で

p_n=q_(2n-1)が示されました。


処理は難しいわけではないけど、そこそこ経験がいるかもしれんな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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