わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度理系、第1問二次関数と軌跡の問題の解説
オナラの風圧が強すぎて肛門が損傷したところで東京大学2015年度理系第1問、二次関数と軌跡の問題を解説したいと思います。


[問題]
14873519290.jpeg
正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
C:y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)
aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。


[解答と解説]
これは

だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

です。

名前、長すぎるやろ。

世間では逆象法とか逆手流って呼ばれてるやつやな。


ちょうどこの問題、多変数処理の問題でいい練習になるとこやな。

14873519370.jpeg

y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)
a>0
の式において、文字がx,y,aの三つやろ。

これでCの通過する領域やから、aを消去してx,yを残したいねん。


aを消去するって言うことは、aについて解く

つまりイメージとして

a=(x,yの式)
x,yの定義域

って言う感じに同値変形をしたらええねん。

だから
x,yを独立変数にして、aをx,yの従属変数に持っていくわけやな。


aについて解くって言うことは、更に言うとaについて整理したらええねん。

4(x^2-1)a^2-4ya+1=0

これは解いたとしたら
a=[2y±√{4y^2-4(x^2-1)}]/{4(x^2-1)}
ってなるやん。

aについて整理するって言うのは、解くようなもんやねん。

それでこれがa>0になるようなx,yの定義域を考えてあげると、x,yがその範囲を自由に動いてもaはこの式にx,yを入れると決まっていくわけやな。


そしたらもうこれはあれやな。

4(x^2-1)a^2-4ya+1=0がa>0で実数解を持てばええって言う、解の配置問題の論法に持っていったらええねん。

f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1
と置いて

a^2の係数が0か正負で場合わけしたらええねん。

14873607270.jpeg

(i)x^2-1=0⇔x=±1のとき

-4ya+1=0がa>0で解を持つには
y=0とすると、左辺=1、右辺=0で矛盾するからy≠0で
a=1/(4y)
やから
1/(4y)>0
つまりy>0になればいいですね。


(ii)x^2-1>0⇔x<-1,1<x
a>0で解を持つってだけの条件やと結構場合わけが必要やん。

そこで定点通過する場合は、それを利用すると一気に場合分けが減るねん。

この問題では
f(0)=1>0やな
そしたら、a>0のところで2点を共有するまた接するのパターンしかないねんな。

と言うことで
軸y/(2(x^2-1))>0
頂点-y^2/(x^2-1)+1≦0(またはD≧0でもオッケー)
を解いて

y>0
y^2≧x^2-1

になります。

14873519540.jpeg

(iii)x^2-1<0⇔-1<x<1のとき

これはもうf(0)=1>0やから、すでにa>0で交わるねん。

定点通過でめっちゃ楽なるな。

後はこれをまとめて図をかいてくれ。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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東京大学2016年度文系、第4問整数問題の解説
今から部屋の電気を消して体操座りして東京大学2016年度文系第4問、整数問題の解説をしたいと思います。

[問題]
14869228030.jpeg

以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。

(1)nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをa_nとする。a_nを求めよ。

(2)nを正の整数とし、3^nを4で割った余りをb_nとする。b_nを求めよ。

(3)数列{x_n}を次のように定める。
x_1=1,x_(n+1)=3^x_n (n=1,2,3,…)
x_10を10で割った余りを求めよ。


[解答と解説]
(1)
14869228220.jpeg

典型的な問題やから、やったことある人は多いかもしれんけど

とりあえずn=1,2,3,…って実験していくのがお決まりの処理やな。

10で割った余りと言うことは1の位の数字のことで、1の位の数字に3をかけていったらええわ。

3 3×3=9 3×9=27で7 7×3=21で1 1×3=3 3×3=9…

で周期4で繰り返しやな。

この問題はいつか同じのが出るから、絶対周期があるねんけどな。


と言うことで

kは1以上の整数として
a_n=
3 (n=4k-3)
9 (n=4k-2)
7 (n=4k-1)
1 (n=4k)

とか
3 (nは4で割った余りが1)
9 (nは4で割った余りが2)
7 (nは4で割った余りが3)
1 (nは4で割り切れる)
って書いたオッケーやな。

14869228130.jpeg

a_n=5-3cos(kπ/2)-3/2・sin(kπ/2)-cos(3kπ/2)+1/2・sin(3kπ/2)
と答えろと言うわけではないからな。


そんなん答え方するやつおらへんわ!


わざわざ、こんなネタを書くために関数考えるなって言う話やな。


ちなみにもしちゃんと証明するって言うことになると合同式を使うと便利やな。

合同式については知らない人は昔書いた合同式≡と剰余類の説明と応用問題を読んでくれ。

14869228370.jpeg
aとpが互いの素の場合は
a^n≡1 (mod p) となることが出来てこの最小のnが周期になるねん。

mod 10で考えると(10で割った余りで考える)

3^1≡3
3^2=9≡9
3^3=27≡7
3^4=7×3=21≡1

で1が出てきたから
3^(n+4)=3^n・3^4≡3^n・1=3^n
って4つごとに同じ値って言えるから

これでa_1=3とa_2=9とa_3=7とa_4=1で
a_(n+4)=a_n
が言えると
a_5=a_1=3
a_6=a_2=9
a_7=a_3=7
a_8=a_4=1
って全部決まっていくねん。

a_1とa_(n+1)=f(a_n)と言う漸化式があれば全部値が決まるのと同じやと思ってください。

(2)
14869228520.jpeg
さっきの証明と同じようにやればええわ。
今度は4を法をとした剰余類mod 4で考えて
3≡3 (mod 4) よりb_1=3
3^2=9≡1 よりb_2=1
でもう1が出たから
3^(n+2)=3^n・9≡3^n・1=3^n より b_(n+2)=b_n

これで決まりやな。

b_n=
3 (n=2k-1)
1 (n=2k)

(3)
14869228630.jpeg
ようわからんから、まずは実験してみよか。
mod 10で考えて
x_1=1
x_2=3^1=3
x_3=3^3=27≡7
x_4=3^3^3=3^27は27は4で割った余りは3なので(1)から7
x_5=3^3^3^3=3^3^27=3^7625597484987

って計算していくと…


14869228750.jpeg
ニフ ドニュ
サフアク
バイア?

って転生することになります。

これ恐すぎるやろ。



そこで(2)を使うはずやからな。
まだ(1)しか使ってないやろ。

14869228890.jpeg

3^27って3の奇数乗やからな
(2)から4で割った余りは3やろ。
そしたら3^(3^27)は指数のところが4で割った余りは3と言うことで
これで(1)から10で割った余りは7になるねん。

もう解答はこういう感じでええし、そうするべきやと思うねんけどな。
x_nは3^kの形で奇数やから
x_(n+1)=3^x_nは4で割った余りは3
x_(n+2)=3^x_(n+1)は指数のとこが4で割った余りは3より10で割った余りは7になるとかな。

必要はないねんけど、そこを一般的に書くと

x_n=3^x_(n-1)より
a_(x_(n-1))=a_(3^(x_(n-2)))=a_(b_x(n-2))
(n≧2)って言うことになるから

14869228820.jpeg

x_8=3^x_7よりx_8は奇数で
x_10=3^x_9を10で割った余りa_(x_9)は
a_(x_9)=a_(3^(x_8))=a_(b_(x_8))=a_3=7

やな。


これも整数問題勉強するのに良さそうな問題やな。



東京大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習


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東京大学2016年度文系、第3問微分積分の問題の解説
寒くなって、そろそろ寒くなりました。

東京大学2016年度文系の微分積分の問題を解説します。


[問題]
14868371120.jpeg
座標平面上の2つの放物線
A:y=x^2
B:y=-x^2+px+q
が点(-1,1)で表している。ここで、pとqは実数である。さらに、tを正の実数とし、放物線Bをx軸の正の向きに2t,y軸の正の向きにtだけ平行移動して得られる放物線をCとする。
(1)pとqの値を求めよ。

(2)放物線AとCが囲む領域の面積をS(t)とする。ただし、AとCが領域を囲まないときはS(t)=0と定める。S(t)を求めよ。

(3)t>0におけるS(t)の最大値を求めよ。


[解答と解説]
(1)二つの曲線が接するとはどういうことかと言うと

14868371340.jpeg

y=f(x)とy=g(x)がx=pで接していると言うことは、x=pにおける接線が一致していたらええねん。

共通の接線を持つと言うことやな。

それを立式化すると

直線は通る点と傾きで決まるから

同じ点を通るf(p)=g(p)
傾きが等しいf'(p)=g'(p)

またふにゅがなんか言うてるけど、血吐くほど、おもくそどついたってください。


14868371240.jpeg

と言うことで
f(x)=x^2
g(x)=-x^2+px+qとおいて

g(-1)=1
f'(-1)=g'(-1)

-1-p+q=1
-2=2+p

これを解いて
(p,q)=(-4,-2)

やな。

(2)は面積を求めろってことやな。

14868371480.jpeg

その前にまずはあれやな、平行移動しなあかんな。
C:h(x)とでも置いて

h(x)=g(x-2t)+t
=(x-2t)^2-4(x-2t)-2+t
=-x^2+4(t-1)x-4t^2+9t-2

それで基本的には面積は関数の差を考えるねん。

そしたら、大小関係と交点と被積分関数が同時に処理できるねんけど

ただこの問題では二次関数やから、そこまでやる必要はないな。

むしろ交点のx座標の値が複雑な場合の処理の仕方を見てもらいたいと思います。
よろしくお願いします。

と言うことでまずは交点の処理からいこか。
f(x)=h(x)として整理すると
2x^2-4(t-1)x+4t^2-9t+2=0…①

まずは交わるかどうかってことで、判別式を考えよか

14868371670.jpeg

D/4={2(t-1)}^2-2・(4t^2-9t+2)
=-4t^2+10t
=-4t(t-5/2)

これでまずは判別式が0以下ときは交わらないから面積0やな。


後は、判別式が0より大きいときは①の解をα,β(α<β)
とすると
面積が1/3・(β-α)^3になるやろうから、β-αを計算しとくねん。

それで解の公式の√の中はDやからな。
ax^2+bx+c=0は
x=(-b±√D)/(2a)

a^x2+2bx+c=0は
x=-b±√(D/4)/a
やから

β-α={2(t-1)+√(D/4)}/2 - {2(t-1)-√(D/4)}/2
=√(D/4)

って判別式を使って書くと、文字数が少なくて便利やねんな。

それで面積の計算はしっかり
∫(上-下)dx
って線分の長さを積分するようにな。

図を描くと領域のところは
y=h(x)がy=f(x)より上になってるから

14868371930.jpeg


∫(α,β)(h(x)-f(x))dx=∫(α,β)-(2x^2-4(t-1)x+4t^2-9t+2)dx
これが解を考えて因数分解すると

=-2∫(α,β)(x-α)(x-β)dx

ってなるやろ。

x^2の係数を考えて-2をつけるようにな。

それで
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-1/6・(β-α)^3
を使うわけやねんけど、これは面積の公式じゃなくて計算の公式やからな。

面積の立式をしてから∫(α,β)(x-α)(x-β)dxと言う形が出ると、そこに使えるから適応するって感じでやってください。

そして
-2{-1/6・(β-α)^3}
=1/3・√(-4t^2+10t)^3


(3)
14868372040.jpeg

t≧5/2のときS(t)=0より、0<t<5/2で考えれば十分。

便利な言い回しやな。


後は実質二次関数で平方完成すればオッケーやな。
S(t)=1/3・√(-4(t-5/4)^2+25/4)^3

これでt=5/4のとき、最大値125/24をとるで出来上がりですね。



簡単な問題やけど、文系の人が積分を勉強するのに良い問題やな。

数2の積分は要領が大切になるからな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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東京大学2016年度文系、第1問図形と式の問題の解説
みゃあにゃああう

東京大学2016年度文系第1問、図形と式の問題の解説をします。


その前に、始まり方どういう意味やねん。


[問題]
14865784880.jpeg
座標平面上の3点P(x,y),Q(-x,-y),R(1,0)が鋭角三角形をなすための(x,y)についての条件を求めよ。また、その条件をみたす点(x,y)の範囲を図示せよ。


[解答と解説]
まずは鋭角をどのように処理をすればよいかやな。

14865784990.jpeg

余弦定理を使うのが基本的なやり方になるやろうな。
cosが正になればくなるやろ。

そうすると、分母は正やから分子のところが正なればええねん。

∠ABCが鋭角

BA^2+BC^2-AB^2>0

ってことやな。


そしたら、どの角度が鋭角になればええんか

一緒に図を書いて考えてみよか

PとRがy=x上にあって、原点対称の位置やな。

14865785080.jpeg

伸ばしていったらQのところが大きくなるな。
縮めていくとPとRが大きくなっていくな。

大きいところが90°より小さくなればええやろ。


伸ばして、縮めて、伸ばして、縮めて…

ってやってると


14865801310.jpeg

それはちょっと違うやろってことになります。



頑張ったらできるんかもしれんけどな。

そこでこの論法を考えてくれ

14865785280.jpeg

角の最大値を考えて、それが90°より小さいと考えるんじゃなくて

全部90°より小さかったらいいって考えるねん。



もちろん問題によるねんけどな。


それで座標やから余弦定理より、内積を使ったら方が便利やろな。
数学的には同じことやねんけど。

∠ABCが鋭角⇔ BA→・BC→>0

これやな


そしたら解いていくと

14865785410.jpeg

∠RPQが鋭角⇔PR→・PQ→>0
⇔(1-x,-y)・(-2x,-2y)>0
⇔(x-1/2)^2+y^2>1/4…①


∠PQRが鋭角⇔QP→・QR→>0
⇔(-2x,-2y)・(1+x,y)>0
⇔(x+1/2)^2+y^2>1/4…②

②はPとQが原点対称やから、①でxを-xにyを-yに置き換えて導いてもええやろな、

∠QRPが鋭角⇔RP→・RQ→>0
⇔(x-1,y)・(-x-1,-y)>0
⇔x^2+y^2>1…③

これで①,②,③を図示したらええわ。

14865785480.jpeg


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東京大学2016年度理系第6問、積分体積の問題の解説
こんにちは

わんこらです

今日も、東京大学2016年度理系第6問、積分体積の問題を解説します。

よろしくお願いします。


[問題]
14862733460.jpeg

座標空間内を、長さ2の線分ABが次の2条件(a),(b)をみたしながら動く。
(a)点Aは平面z=0上にある
(b)点C(0,0,1)が線分AB上にある。

このとき、線分ABが通過することの出来る範囲をKとする。Kと不等式z≧1の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。

[解答と解説]

今日はどのようなイメージをお持ちでしょうか?

と聞かれています。

自分でイメージコーディネートすることが求られてきます。


それどのようなイメージをお持ちでしょうか?って使いたかっただけやろと言う厳しい意見もあります。


だいたいの問題は段取りがされているねんけど、東大で多いのは自分でどう文字を置いて、立式するか、計算が出来るようにしなあかんねん。

そこでまずは動かしてみよか

こうやってな

14862733560.jpeg

こうやってな動かすねん。

ぐにゅぐにゅ、ぐにゅぐにゅ動かすねん。

そしたら点Cのとこに穴があって棒をつっこんでる感じやろ

どれだけ穴に入れるかと、中でかきまわす回転

これやがな!


そしたら、先っちょの動きなんちゃうかってわかるやん。

どう擦れていくかやねん。


でも本当に先っちょの動きだけでいいのかって言うのを説明するの難しいやん。

棒の竿のところはええんかみたいな。

本当にそうなのか、一緒に確かめてみないか?

って棒を動かし過ぎると


14862733650.jpeg

もうなあ、説明できない関係になるねん。

こうしてみんな傷ついていって大人になるねん。



説明が難しいんですね。

このまま、穴に棒を入れて先っちょの動きがって書いてたら

何か大切なものを失うやろ。


まあそのまま先っちょの動きになると思うからってことで計算しても大丈夫やろうけどな。

でもそこをちゃんとするとしたら

「だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形にする」

を使えばええわ。

言わゆる多変数処理の逆像法やな。

と言うことで、一つのやり方を書いていこか。


回転体の問題として処理する感じでいきますね。

するとかき回す回転は後からにしてxz平面に固定して、どれだけ奥に突っ込むか動かして断面z=tを考えよか。

この断面z=tはおそらく、中心から伸びる線分になるやろな。

それを回転させると、円になるやろな。

それを積分する流れやな。

14862733750.jpeg

まず回転は固定して奥にどれだけ突っ込むかは

Aをx≧0で動かすやろ。

そしたら、どれだけ奥に突っ込むかは、

∠OCA=θ

で角度で決めるのが一つの方法やな。

0≦θ<π/2
で考えたら十分と言うことになるな。

それでz=tと線分ABとの交点をP_tとでも置いたら
CP_tの長さがt-1やから

Pt(-(t-1)cosθ,0,t)
と置けます。

後はABが長さ2の線分である条件がいるから、z=tがBのz座標以下にならなあかんな。

Bのz座標はABの長さが2より2cosθやから

1≦t≦2cosθ
であればええやろな。


そしたら、これは別に重要ではないねんけど、t=1と2の場合は点になるから分けた方が説明が書きやすいやろな。

P_tはt=1では(0,0,1)に決まって、t=2では(0,0,2)になるはずやな。

点は零集合やから、積分しても体積に影響はないけど高校ではこの辺のこと誤魔化してるから適当でええねんけどな。



14862785470.jpeg

それでz≠1,2においてはz=tの断面のxy座標を考えるねん。
するとP_tと原点からの距離O'P_tをrとおくと
r=(t-1)tanθ
やな。

これで式を全部書き下すと
r=(t-1)tanθ
1<t≦2cosθ
0≦θ<π/2

これでθがいらんから、θを存在するように消すねん。
イメージとしては

θ=(tとrの関数)
rとtの定義域

となるように同値変形するねん。


すると
r=(t-1)tanθ
から
tanθ=r/(t-1)
これを残りの式に代入すればええねん。

0≦θ<π/2はθとtanθは1対1の関係やから
0≦tanθ
に代入すればええわ。

すると
tanθ=r/(t-1)
1<t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
0≦r/(t-1)

これでrとtは
1<t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
0≦r/(t-1)
を満たしていればθは
tanθ=r/(t-1)
で決まっていくから、後はrとtのことだけ考えたらええねん。

次はr=(tの関数)のイメージで同値変形しよか

0≦r/(t-1)は単にr≧0なだけやな。
t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
のとこは二乗して整理して

0≦r≦√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)
でrが存在するにはtの定義域は4-t^2≧0にも注意して
1<t<2
やな。

これで断面がかけるな

断面は0≦r≦√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)が表す線分やろ。
これを今度はかき回す、回転させてたらええねん。

14862733920.jpeg

そしたら円やから面積S(t)とおくと
S(t)=π{√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)}^2

これで断面に垂直な軸であるtで積分したらええねん。

展開すると
S(t)=π(-t^2+2t-8/t+4/t^2+3)
で簡単な積分やな。

これで
∫(1,2)S(t)dt=π(17/3-8log(2))

やな。



他にも色々な設定の仕方があるねんけど、計算がうまくいかない場合もあるねんな。

それは今回のなら、

どれだけ奥に入れるかと、かき回し
と本質的に変数が2つ
と言うことが見抜けていなくて、多かったり、少なかったりする場合は

まずは動かしまくったらいいわ。


計算がやたら複雑になる場合は
解答例などを参考にして
こういう文字の設定、立式をしていったらいいんか
って経験値を多くしていくと

どういう感じがうまくいやすいのかわかってきたりするわ。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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