わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2013年度理系第2問、微分の問題の解説
どうやら小球に当てられ人々の脳裏に刻まれたな。

と言うことで東京大学2013年度理系第2問、微分の問題を解説します。


[問題]
2017060903213438b.jpg
aを実数とし、x>0で定義された関数f(x),g(x)を次のように定める。
f(x)=(cosx)/x,g(x)=sinx+ax
このときy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx>0において共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

[解答と解説]
201706090321365e3.jpg
そしたら、どんなグラフになるか考えてみよか。
まず
f(x)=1/x×cosx
はcosxの振幅が小さくなっていくやろ。

そしたらf(x)=sinx+axはどうなのかと言うと
y=axと言う直線を中心として振動するはずやねん。


とわかったところで、何かできそうと見せかけて厳しいですね。

2017060903213705d.jpg
そしたら今度は直線と曲線に分けて考えてみよか
f(x)=g(x)を整理して
ax=(cosx)/x-sinx
これでh(x)=(cosx)/x-sinxとおいてグラフがどんなんか調べるということで微分して
h'(x)=(-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2)/x^2

これはあれやな。
分子だけ微分しろってやつやな

i(x)=-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2とおくと

i'(x)=-3xcosx+x^2sinx-2ax

これはあれやな。
もう一回微分しろってことやな。

i''(x)=-3cosx+3xsinx+2xsinx-x^2cosx-2ax


ふにゅ…


20170609032138141.jpg
そうやな、これは定数分離やろな。

a=(cosx-xsinx)/x^2
h(x)=(cosx-xsinx)/x^2
とおくと
h'(x)=-cosx(x^2+2)/x^3

これやがな!


201706090321403a4.jpg
これでh(x)の増減表は
α_n=π/2+(n-1)πとおいて(n=0,1,2,3,…)

α_nで極値なことがわかりますね。

201706090322012f1.jpg
しかもx→+0ではh(x)→∞、x→∞ではh(x)→0で
極値は
h(α_n)=(-1)^n/(π(n-1/2))
やから
|h(α_n)|>|h(α_(n-1))|
で極値の絶対値は小さくなって奇数番目は負、偶数番目は正やな。

20170609032202b67.jpg
そしたら3つの共有点を持つには
h(α_4)<a<h(α_2)か
またはa=h(α_3)
になるときで整理して

2π/7<a<2π/3,a=-2π/5
とわかりました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2013年度理第1問、複素数平面(行列)の問題の解説
今から東京大学2013年度理第1問、複素数平面(行列)の問題の解説をしたいと思います。
よろしくお願いします。

[問題]
20170527011611792.jpg
実数a,bに対し平面上の点P_n(x_n,y_n)を
(x_0,y_0)=(1,0),(x_(n+1),y_(n+1))=(ax_n-by_n,bx_n+ay_n)(n=0,1,2,…)
によって定める。このとき、次の条件(i),(ii)がともに成り立つような(a,b)をすべて求めよ。
(i)P_0=P_6
(ii)P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5は相異なる


[解答と解説]
この問題はもともと、行列の問題で
(x_(n+1),y_(n+1))=(ax_n-by_n,bx_n+ay_n)
となる(x_n,y_n)→(x_(n+1),y_(n+1))の変換は行列を習わなくなったからわかりにくいねんけど回転拡大縮小をあらわしているねん。

だから複素数平面であらわせるねん。

実際にx_(n+1)+iy_(n+1)=(a+ib)(x_n+iy_n)
やな。


そしたらa+ib=r(cosα+isinα)とおくとα回転してr倍と言うことになるやろ。


20170527011612905.jpg
これでP_0=P_6になるってことはr=1でnを整数として6α=360°nつまりα=60°n

P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5は異なることより
k≠jのときkαとjαは360°で割った余りが異なる

kα≢jα(mod 360°)

nk≢nj(mod 6)

nと6は互いに素よりn=1,5とやると

確かにそういうことやねんけど


2017052701161562b.jpg
別の人生を歩み出すことになります。

何が言いたいのかと言うと、そこに重みがあるわけ違うねん。

最初からそう言えや!



何故互いに素なのかは後から書くことにして、この問題ではそこまで一般的にやらなくても
20170527011614eea.jpg
P_0=P_6から6α=360°n(0≦α<360°)
でα=0°,60°,120°,180°,240°,300
であることが必要やから

もう全部調べて、シラミ潰しでええねん。

それが整数問題では自然やねん。


更に言うと、テクニシャンは-180°≦α<180°として
α=0°,±60°,±120°,-180°
ってやると場合分けを減らしたりもします。


と言うことで解答は
20170527011635e57.jpg

(ii)より(a,b)≠(0,0)で
x_(n+1)+iy_(n+1)=(a+ib)(x_n+iy_n)
と表せる。
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/√(a^2+b^2)とすれば(-π≦α<π)

a+ib=√(a^2+b^2)(cosα+isinα)となり
x_n+iy_n=(a+ib)^n(x_0+iy_0)
=(√(a^2+b^2))(cos(nα)+isin(nα))

(i)より(√(a^2+b^2))^6(cos(6α)+isin(6α))=1(cos0+isin0)
よって(√(a^2+b^2))^6=1⇔a^2+b^2=1
また-π≦α<πから-6π≦6α<6πより
6α=-6π,±4π,±2π,0

α=-π,±2/3π,±1/3π,0

これでシラミツブシしていくねん。

20170527011634067.jpg
α=-πのとき
2α=-2πでP_0=P_2となり不適

α=±2/3πのとき
3α=±2πでP_0=P_3となり不適

α=±1/3πのとき
2α=±2/3π,3α=±π,4α=±4/3π,5α=±5/3πより(ii)を満たす

α=0のとき
P_0=P_1より不適

これから
(a,b)=(1/2,±(√3)/2)
とわかりました。


そしたら…さっきの互いに素の話に戻ろか。
これは複素数平面でも使ったりするしな。

20170527011617b18.jpg
pとqが互いに素な時
1p,2p,3p,…,(q-1)p
をqで割った余りはすべて異なり
1,2,3,…,q-1
が1つずつ表れる

これやがな。

なんでこうなるかは有名な証明があって

1≦i<j≦q-1として
ipとjpをqで割った余りが等しいと仮定すると
jp-ip=(qの倍数)

(j-i)p=(qの倍数)

pとqは互いに素より、j-i=(qの倍数)になるやろ。

でも-(q-1)<j-i<q-1と言うようにj-iの範囲は狭くてこのうちqの倍数になるのは

j-i=0だけやねん。

それで矛盾するわけですね。


pとqが互いに素でないときは、そもそも余りが最大公約数の倍数になるから全部あらわれないしな。

だから、0,1n,2n,3n,4n,5nを6で割った余りが0,1,2,3,4,5になるには6と互いに素なn=1,5ってわかるにはわかってこれが背景にあるっていうところやな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説


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東京大学2014年度文系第3問、軌跡の問題の解説
シーチキンを東京大学2014年度第3問、軌跡の問題の解説をしたいと思います。

もはや文法がおかしいやろ。


[問題]
20170512022549555.jpg
座標平面の原点をOで表す。
線分y=(√3)x(0≦x≦2)上の点Pと、線分y=(-√3)x(-3≦x≦0)上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通貨する領域をDとする。
(1) sを-3≦s≦2をみたす実数とするとき、点(s,t)がDに入るようなtの範囲を求めよ。
(2) Dを図示せよ。

[解答と解説]
前に理系の方の問題では

20170430110440400.jpg<
こういうことになりました。


それだけじゃ何のことかわからんやろ!


とりあえず今回は文系の方で三つの解き方をやりたいと思います。


1、だから僕は独立変数と従属変数にわけて同値変形して文字を消去する。(逆像法、逆手流のこと)

20170512022550a88.jpg
(1)まず条件をすべて式に表します。
P(p,(√3)p)、Q(-q,(√3)q)とおく
0≦p≦2、0≦q≦3でOP+OQ=6より2p+2q=6からp+q=3
線分PQ:y=(√3)p-(√3)q/(p-(-q))・(x-p)+(√3)p
-q≦x≦p


2017051202255295b.jpg
これで羅列して
p+q=3
t=(√3)(p-q)/(p+q)・(s-p)+(√3)p
0≦p≦2,0≦q≦3
-q≦s≦p
-3≦s≦2

これでp+q=3からq=3-pを全部に代入するねん。

q=3-p
t=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)
0≦p≦2,0≦3-p≦3
-3≦s≦2

これでp,t,sは下の三行を満たせば、qはq=3-pによって自動的に決まっていくからこれでq消去になるねん。

今度はpを消去するためにpについて解きたいねんけど二次になるからpで整理して

q=3-p
2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s=0
max{0,s}≦p≦min{2,s+3}
-3≦s≦2

そしたらこれでpの二次方程式が解を持てばよいというように解の配置問題の処理の仕方をすればよくなるねん。

20170512022553d0c.jpg

f(p)=2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3sとおいて
y=f(p)がmax{0,s}≦p≦min{2,s+3}でp軸と共有点を持てばよい。
f(p)=2(p-(3+s)/2)^2+(√3)t-s^2/2-9/2

これで軸が端点になる(3+s)/2=0となるのはs=-3
(3+s)/2=2となるのはs=1
定義域のmax{0,s}からs=0,min{2,s+3}から2=s+3よりs=-1
0≦p≦2の場合の中点と軸から(0+2)/2=(3+s)/2よりs=-1
が場合分けの切り替わりにはなりそうやねんけど

もっとちゃんとやると

sp図を描いて
p=max{0,s}とp=min{2,s+3}とp=(max{0,s}+min{2,s+3})÷2と軸p=(3+s)/2のグラフをかくねん。

そしたら-3≦s≦-1と-1≦s≦1と1≦sの三つで場合分けしたらよいことがわかるねん。

(i)-3≦s≦-1のとき
定義域は0≦p≦s+3
軸は(軸)=(3+s)/2=(中点)
の関係にあるからグラフより
よって最小値(√3)t-s^2/2-9/2≦0かつf(0)≧0あればよくなりますね

整理して
-(√3)s≦t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2


201705120225557ff.jpg
(ii)-1≦s≦1のとき
定義域はmax{0,s}≦p≦2で軸は(中点)=1/2・(max{0,s}+2)≦(軸)=(s+3)/2と言う関係なので

グラフより最小値(√3)t-s^2/2-9/2≦0かつf(0)≧0かつf(s)≧0になればオッケーやな。

整理して
t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2
t≧-(√3)sかつt≧(√3)s

max{-√3s,√3s}≦t≦1/2√3・s^2+(3√3)/2

(iii)1≦s≦2のとき
定義域はs≦p≦2、軸は2≦(3+s)/2=(軸)
と言う関係になってるからグラフより
f(2)≦0かつf(s)≧0となればオッケーやな。

整理して
(√3)s≦t≦1/(√3)・s+4/(√3)

以上より
-(√3)s≦t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2 (-3≦s≦0)
√3s≦t≦1/2√3・s^2+(3√3)/2    (0≦s≦1)
√3s≦t≦1/(√3)・s+4/(√3)      (1≦s≦2)

(2)グラフを描いたらこんな感じやな。
20170512022641faa.jpg

実は理系の方より難しいんちゃうかと言う。


2、文字固定
20170512022643b7e.jpg
途中から
t={(2p-3)s+2p(3-p)}/(√3)
max{0,s}≦p≦min{2,3+s}
よりs固定して考えるとtはpの2次関数になるな

だから
t=1/(√3){-2(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/2}

これでさっきと同じように場合分けするねん、


3、接線を考える
201705120226445fa.jpg

0≦p≦2
0≦3-p≦3

0≦p≦2

t={(2p-3)s+2p(3-p)}/(√3)これでpで平方完成するねん

t=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/(2√3)

t-(s^2+9)/(2√3)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2

これで直線PQ:t=l(s)としたら
l(s)-(s^2+9)/(2√3)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2
と言うことになって
st平面において直線t=l(s)と2次関数t=(s^2+9)/(2√3)がp-(s+3)/2=0つまりs=2p-3で接してることがわかるねん。

0≦p≦2から接点のs座標は-3≦s≦1で接点を動かして直線の軌跡を考えるねん。
このうちt≧±(√3)sの部分の線分が通過する領域を考えたらよくなるえん。

これでグラフが求まるわけやな。


接線の解法は満点がもらいにくそうやけど、早く簡単に解けるのが特徴やな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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東京大学2014年度文系第1問微分の問題の解説
パイ毛を乳首に巻いて壊死したところで東京大学2014年度文系第1問微分の問題の解説をしたいと思います。

[問題]
20170509015618e10.jpg
以下の問いに答えよ。
(1)tを実数の定数とする。実数全体を定義域とする関数f(x)を
f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18
と定める。このとき、関数f(x)の最大値をtを用いて表せ。

(2)(1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする。tがt≧-1/√2の範囲を動くとき、g(t)の最小値を求めよ。

[解答と解説]
(1)
201705090156194f8.jpg
これはあれですね。
xの二次関数で平方完成ですね。
f(x)=-2{x+(3-2t)}^2+t^3-17t^2+39t-18+2(3-2t)^2
=-2(x+3-2t)^2+t^3-9t^2+15t

定義域が実数全体やから最小値はg(t)=t^3-9t^2+15tやな。


(2)
201705090156218d9.jpg
g(t)の最小値とかふるまわないといけないから、微分やろ
g'(t)=3t^2-18t+15
=3(t-1)(t-5)

と言うことは増減表を書いて

g(5)かg(-1/√2)のどっちかが最小やな。

g(5)=-25
g(-1/√2)=-(18+31√2)/4

(-(18+31√2)/4)-(-25)=(82-31√2)/4
=(√6724-√1922)/4>0

とやると出来るねんけど


20170509015622939.jpg

少し手間がかかります。

それ絵を載せたかっただけやろと言う厳しい意見もあります。


二つポイントがあって、数学2での微積で使うテクニックやから特に文系の人に重要やな。


2017050901562494f.jpg

○yの値ではなくてxの値で考えてみるねん

例えば図のグラフではx_1<x_2と言えたら、y_1<y_2と言えるやろ。

20170509015711aca.jpg

○極値と同じ値になるxの簡単な求め方があって
3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=αで極値f(α)をとると
f(x)-f(α)=ax^3+bx^2+cx+d-f(α)

これがy=f(x)とy=f(α)はx=αで接するから、(x-α)^2の因数持つはずやねん。

ax^3+bx^2+cx+d-f(α)=a(x-α)^2(x-○)
と言うかたちになるはずで、そしたら○のところは展開したときの定数項なわけやから
-(d-f(α))/a・1/α^2になるはずとやると、早いねん。

20170509015714fcb.jpg
例としてはf(x)=x^3-x^2-x+2の極小値と同じ値をとるxを求めるとすると
f'(x)=3x^2-2x-1
=(3x+1)(x-)
f(1)=1が極小値で
f(x)=1を解こうとすると、(x-1)^2の因数をもつはずやから
x^3-x^2-x+1=0⇔(x-1)^2(x-○)=0
○のところには定数項のところだけ考えて1×(-○が1になるはずやから○=-1とわかるねん。

ということでこれらを駆使してもう一回解いてみると

2017050901571466e.jpg

g(t)=t^3-9t^2+15t
=3(t-1)(t-5)
よってy=g(t)の増減表から

g(5)=-25
g(t)=-25とすると
t^3-9t^2+15t+25=0
(t-5)^2(t+1)=0
よってt=5,-1
-1≦-1/√2より

グラフからg(-1/√2)>g(-1)=g(5)
とわかって最小値はg(5)=-25
ってわかりました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説


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東京大学2014年度理系第6問軌跡の問題の解説
今日もスヌーピーのご加護のもと東京大学2014年度理系第6問軌跡の問題の解説をします。

[問題]
2017043011044039c.jpg
座標平面の原点をOで表す。
線分y=(√3)x (0≦x≦2)上の点Pと、線分y=(-√3)x(-2≦x≦0)上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通貨する領域をDとする。
(1)sを0≦s≦2をみたす実数とするとき点(s,t)がDに入るようなtの範囲を求めよ、
(2)Dを図示せよ。


[解答と解説]
(1)
20170430110440114.jpg
まずはP(p,(√3)p),Q(q,(-√3)q)とおけるな。
それでOP+OQ=6やろ。
これで2p-2q=6やから、p-q=3ですね。

と言うことで直線PQは

y=(√3)((p+q)/(p-q))(x-p)+√3p
=((2p-3)x-2p(p-3))/√3

傾きが(2p-3)/√3,切片-2p(p-3)/√3みたいやな

p=1のときはy=-(1/√3)x+4/√3
p=2のときはy=(1/√3)x+4/√3
p=0のときはy=-(√3)x

ってy=(√3)x上に指をそっと置いてPをツー…ってだんだん奥に向かってじゃなくて、Oに向かってなぞっていったら-2≦q≦0やのにp=0でq=-3やから

途中で

ガっ!って止まるねん。


だから今度はy=(-√3)x上に指をそっと置いてQをツー…ガっ!

って何回も何回もやっていたら

20170430110440400.jpg

終らないパーティーがはじまります。


どういうことやねん。


こうやって軌跡の問題具体的に入れていっても、難しいことが多いねんな。

そこで三つやり方を紹介しようか。

20170430110440ecc.jpg

1、だから僕は独立変数と従属変数にわけて同値変形して文字を消去する。(逆像法、逆手流のこと)

2、文字固定

3、接線を考える


1からやりますね。

まずは条件を全て式に表すねん。
20170430110441b4d.jpg
P(p,(√3)p),Q(-q,(√3)q)とおいて
0≦p≦2,0≦q≦2
OP+OQ=6よ2p+2q=6⇔p+q=3
線分PQ:y=((√3)p-(√3)q)/(p-(-q))・(x-p)+(√3)p
-q≦x≦p

これで条件を羅列して

p+q=3
t=√3(p-q)/(p+q)・(s-p)+(√3)p
0≦p≦2,0≦q≦2
-q≦s≦p
0≦s≦2

これからp+q=3を使ってq=3-pを全部に代入して同値変形してq消去やな

q=3-p
t=((2p-3)s+2p(3-p))/√3
0≦p≦2,0≦3-p≦2
-(3-p)≦s≦p
0≦s≦2

これで下の4つを満たしておけばqはq=3-pによって自動的に決まっていくから、後はqのことは考えなくてよくなるねん。

これがほんまに文字消去やねん。

20170430110656e9a.jpg
そしたら今度はpを消去するためにpについて整理しよか。
pについて整理するってことはpについて解くようなもんやからな。

q=3-p
2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s=0
max{1,s}≦p≦2
0≦s≦2

これでpが存在するような(s,t)を求めて、解の配置問題に持ち込んどこか。

イメージとしては(s,t)の定義域を求めて、pが二次方程式の解で自動的に決まっていく感じやな。

f(p)=2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s
とおいてy=f(p)がmax{1,s}≦p≦2でp軸と共有点を持てばええやろ。

f(p)=2(p-(3+s)/2)^2+(√3)t-(s^2+9)/2

これで定義域のふるまいと、最大値と最小値考えて定義域の軸との関係で場合分けをしないとあかんから
軸(3+s)/2が1となるのはs=-1,(3+s)/2が2となるのはs=1
max{1,s}が切り替わるのはs=1
軸(3+s)/2が1≦p≦2の中点(1+2)/2と等しくなるのはs=1
と言うことはs=-1とs=1が切りかわりで場合分けするところになりそうやな。

201704301106570f6.jpg

厳密にはsp平面を考えて
右の端点p=2と左の端点p=max{1,s}とその中点p=(左+右)/2の3つのグラフ
軸p=(3+s)/2のグラフを書いて場合分けしたらええねん。

そしたら0≦s≦1で中点≦軸≦右、1≦s≦2で右≦軸ってわかるな。

(i)0≦s≦1のとき
定義域は1≦p≦2
(中点)=3/2≦(s+3)/2=(軸)≦2
よって
最小値(√3)t-(s^2+9)/2≦0
最大値f(1)≧0
これを整理して
-(1/√3)s+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3)

(ii)1≦s≦2のとき
定義域はs≦p≦2で
(軸)=(s+3)/3≧(1+3)/2=2

だから最小値f(2)≦0
最大値f(s)≧0
これを整理して(√3)s≦t≦(s+4)/√3

(i)(ii)より

-(1/√3)s+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3) (0≦s≦1)
(√3)s≦t≦(s+4)/√3 (1≦s≦2)

(2)
20170430110658e71.jpg
これであれやな。
後はy軸対称になるはずやから(1)のグラフを描いてy軸で折り返します。


そしたら次は

2、文字固定でやってみよか
20170430110700fde.jpg
t=((2p-3)s+2p(3-p))/√3
max{1,s}≦p≦2
ここまで同じですね。

これでsを固定して
t=1/√3(-2(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/2)

max{1,s}≦p≦2からsと1との大小関係で場合わけして
(i)0≦s≦1のとき
1≦p≦2で
(軸)=(s+3)/2≧3/2=(中点)
(軸)=(s+3)/2≦(1+3)/2=2
より図から
軸から遠いp=1が最小値、-(1/√3)s+4/√3
頂点で最大値、(s^2+9)/(2√3)
だから
-1/√3+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3)
20170430110718f12.jpg
(ii)1≦s≦2のとき
s≦p≦2で
(軸)=(s+3)/2≧(1+3)/2=2から
単調増加でp=sのとき最小値t=(√3)s
p=2で最大値t=(s+4)/√3


と言う感じで後は同じやな。

1と2の解き方は、この問題についてはほぼ同じようにはなるな。

20170430110701fda.jpg
最後に3、接線を考える。

こっちは若干怪しいような気もして、1や2の方が満点狙いやすいと思うんけど

3の接線はとにかく瞬殺できるのが強いねん。


0≦p≦2かつ0≦3-p≦2より1≦p≦2で
t=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)でf(s)=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)とおいて
これをpで平方完成するねん。

f(s)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/(2√3)

f(s)-(s^2+9)/(2√3)=-1/(2√3)・(s-2p+3)^2

で右辺が(s-2p+3)^2の因数を持つからst平面において、直線PQ:t=f(s)と二次関数t=(s^2+9)/(2√3)にs=2p-3で接することがわかるねん。
2017043011072057f.jpg
よって1≦p≦2でp動かすと接点のs座標は-1≦s≦1と動くねん。

そうやって接点を-1から1まで動かすように接線を動かしたら出来上がりやな。

こっちはかなり場合分けして処理が面倒な問題でも、瞬殺で終わることがあるねんな。

時間なければ、これで解いてしまってええかもしれん。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)

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