わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

遠足に熱さまシートを持ってきた子をどう教育するか
今日は電車に乗って端の方に座ってたら、車両移動するとこのドアが開いておっさんが出てきて

チャリーン

ってなんか音がして、そのままおっさんが歩いていってん。


そしたらオレの足元に100円玉が落ちててん。

かずゆき「あ、さっきのおっさんのや」

って思って、それを拾って立っておっさんのとこまで歩いていってん。

そしたらその100円玉が妙に軽くてよう見たら、なんか外国のコインやってん。

ギリシャのコインみたいやねん。


それで

かずゆき「落としましたよ」

っておっさんに渡したら

おっさん「おお、すいません」

って受け取ってん。


だからオレはこれはなんかおかしいって思って、次の駅でおっさんが降りたからオレも降りて後をつけてん。


駅を降りるとおっさんは、雑居ビルに入っていってエレベーターを乗ってん。

だから見失うって思ったから、急いで階段を全速力で昇って追いかけた。

5階くらいでおっさんがドアを開けて入っていくのが見えた。


それでオレ、ドアをそろ~って開けて中を覗いて見てん。


そしたらなんかホームレスのおっさんがソファーに座り込んでて宙を見ててん。

一体何なんやろ?ってそのソファーを見たら

ゼウス用

って書いてあるねん。


これは…ギリシャ神話が忠実に再現されてるやないか!


そのゼウスに横にアルテミス用って書かれた椅子があって、そこにおっさんが裸エプロンでちょっと半腰をかけて黄色い弓を引いたまま静止しとった。

さっきのおっさんですやん!


まさかこんな日本においてこれだけクオリティーの高い神々を拝められるとは…!



反対側を見ると、足を組んで椅子に座ってタバコをふかしてるサングラスかけたアフロヘアーのおっさんがおった。

そのおっさんはテーブルの灰皿にタバコをこすりつけた。


その灰皿にメドューサって書いてあった。



興奮する私はその光景で正直声を失い、確信は更に確固たるものとなった。
まさに自然に対しての敬い、宗教や思想といったものなどから来る人類が思い描いてきた理想像が抽象的に表現されてるではないか!


その時、

メドューサ「もう一人神様がいるんじゃねえか」

って立ち上がって、ドアを開けてきた。


かずゆき「えっああっ…」

ってメドューサは私を引っ張り出した。

メドゥーサ「こんなにぐちゅぐちゅに汗をかきやがって」

ってメドューサが

パンパン

って手を叩くと、神々がクリームとか剃刀とかワセリンとか持って集まってきた。



メドューサ「さあ、儀式を始めるとしよう」



かずゆき「うわあ…!!」

……

おっさん

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アイラインは少し剃りこみを入れる感じにしてください
しばらく院試の失敗から目標が中々思いつかんかったけど、やっと思いついてん。

キャッチフレーズは

『数学物理を勉強したやつはビジネスも出来る』

って言葉や。


数学を勉強したやつはビジネスも出来るにしたほうがわかりやすいようやけど、オレはやっぱり大学の数学を勉強する前は小さいころから物理に憧れて研究者目指して大学でも量子力学とか相対性理論とか勉強してきて単位とってるし数学と物理の両方の血が流れてるし両方の学生に影響を与えてきたからな。

だからややこしいけど数学物理やねん。


なんでこんなキャッチフレーズか言うとオレのブログを読んで理学部に入って物理勉強した人や数学が好きになった人とかぎょうさんおるわけやねん。
そんなめっちゃ有名なブログってわけではないけど、読んでる人の人生を左右したりするから影響力は絶大やねん。

大学で数学とか物理を勉強したきたそんなオレが例えどういう理由があったとしても、就職が無いわとか言うたら夢も希望も無いやろ。

影響を与えた人らに対してそれでええんかって話や。
それにこれからの受験生も見てるわけやん。

オレが就職無いと言えば、受験生も数学を勉強することに夢を持たなくなるやろ。


だからオレは二度と就職が無いとは言わん。

もうそう決めた。

そう決めたし、本来ならそれだけ勉強したなら何らかの実力があるはずやのに、それを生かす場所が無い、自分で生かせる職場や職業がわからない、視野が狭くなってて生かそうとしないとかそんなとこやと思う。
オレはそれを考えるのがしんどいから就職が無いって言葉で逃げてたとこもあると思うねん。


これからは数学物理を勉強したその論理的思考力や発想でビジネスもやれるってことを証明していくことに全力を注いでいく。


ビジネスって言葉はかなり大きな概念やけど、まあ手段はどうであれお金を稼ぐってことやな。
数学教えるのもお金が手に入ればビジネスやし、そのまま数学と物理を使って技術者になって稼ぐのもビジネス、ほんまにビジネスらしく営業とかしてそこに数学的思考とかが役に立つ可能性もあるかもしれんし、何か小説とか本を書くのも数学と物理を勉強したならそれが随所にあらわれると思うしそれも売れればビジネスやしな。

その辺はまだ目標設定が具体性にはかけるけど、簡単に言えばお金を稼げばええわけですわ。


オレはこれから積極的に話しかけたり仕事についても勉強して探したりして色々とビジネスの勉強もはじめていくわ。
苦手なとこは素直に頼っていくのも大切やし、頼るだけじゃなく吸収していきたいし、自分が出来ることは名乗り出ていっていつものように燃えてたらええしな。

それにしてもやっと浮かんだなこれからのキャッチフレーズが。
言葉を考えてるだけやのに、全然やる気とか抱くビジョンが変わってくるねん。



でもよく考えるとセミナーでの先生が大学院は君の場合は受からないみたいな話をされてショックやったにはショックやったけどあの時、先生は

ビジネスでも何でも数学の考え方は必要

みたいな話を実例を交えてちょっとしてくれてん。

それが先生の信念らしい。

数学で養われた思考を使えば本来は他のことをやっても成功すると言うことやな。



まあオレはそんな数学者みたいには数学出来なかったとして、相対的にはあほみたいに数学が出来るわけやん。
普通の人から見たら、もうわけわからん領域に達してるわけやん。


だからオレも

数学物理を勉強したやつはビジネスも出来る

って言うのを数学的な思考力を使って実現して、これから勉強していく人に夢と希望を与えられるようになるのが目標やねん。

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確率の問題、得点1~nが等しい確率で得られるゲームを3回繰り返す時、2回目の得点が1回目の得点以で、3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ(京大理系甲)
この前の小問の次の問題で京大2007年度の数学理系甲の問題を今日はやります。

まあ小問形式は無くなるかもしれんし、甲はあまりたくさん受けないと思いますがさすが京大の問題だけにどこを受けるにも関係無く勉強するのに良い問題です。
勉強してる時は京大は良問やって聞かされ続けて何のこっちゃ思ってましたが、やっぱりこういう記事を書くとなると良さがわかってきました。


[問題]
080529_6.jpg

得点1,2,…,nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。
このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。



[解答・解説]
まずは得点の出方の総数を求めます。
080529_1.jpg

確率の一つの基本的な求めかたは場合の数を使います。
そら当たり前ですが場合の数を使う時に少し注意があります。

同様に確からしい根元事象を考えて場合の数を求めます。

例えば
○が書かれたカードが2枚、
×が書かれたカードが1枚があるとします。

これからは○が書かれたカードを選ぶ確率は2/3なのは直感的にわかりますが、

場合の数でやると
カードを取り出すすべての場合の数は
○と×の2通り

○が出る場合の数は○だけなので1通り
だから確率は
1/2
とわけわからんことになってウナコーワを背中に塗りまくって気絶することになります。

これは○が2枚あって×より多いから○と×は同様に確からしい根元事象では無いからです。
普通の場合の数と、確率で言う場合の数は少し違って確率で言う場合の数は同様に確からしい根元事象で場合の数のことです。
だから二つの○のカードにそれぞれ1と2って数字を書いたりして区別すると
1、2、×が出るのはそれぞれ同様に確からしい根元事象になって
2/3
と求まります。



確率の基本的な話をしたとこで、この問題では1回目の得点Xと2回目の得点Yと3回目の得点Zとすると(X,Y,Z)になるのは同様に確からしい根元事象なので単純に場合の数を求めればよいわけです。

その総数は1回目がn通り、2回目もn通り、3回目もn通りだから
n^3通りです。

ここまでは大丈夫ですね。


後は2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる場合の数を求めますが、ここからが血吐いて倒れます。


方法として二つぐらい考えてみました。
まずは重複組み合わせを使う方法です。
とは言っても重複組み合わせを使おうとするんじゃなくて、結果的に重複組み合わせを使うことになってしまっただけです。
だから図を書いて棒で区切りを入れてみる方法を考えます。
どっちか言うとこの方法が図を書いて考察して数式を立てる理想的な思考法でまずはこっちを考えてほしいです。
080529_2.jpg

n=10で具体的に考えてみます。
1~10まで書いてみましょう。

すると例えば一回目3点をとったすると次は3点以上をとらなければなりません。
とりあえず3の右に棒を入れてみます。
次は3点以上だから、この棒より右に入れることになります。

例えば5の右に棒を書いたら2回目は5点で次は5点以上です。
最後に棒を8の横に書いたら3回目は8点で終了です。

さらに
例えば2回目が6での右に棒を書いて、次に同じとこに棒を書くと3回目も6点と考えられます。

080529_3.jpg

また棒を入れうる場所は、1の左に入れると0点になってしまうから1より右で10の右に入れても10点だから10の右までオッケーで10箇所あります。

と言うことは10箇所から重複を許して3個棒を入れる場所を選ぶ方法を考えればいいわけです。
それは
10_H_3=(10+3-1)_C_3=12_C_3
でした。
nの場合は
nH3=(n+3-1)_C_3=n+2)_C_3
通りです。


解答としては、図を書いて
1~nのある数字の右に棒を書き、その数字を1回目の点数として
その棒と同じか場所かそれより右にもう一つ棒を書いてその左にある数字が2回目の得点
、さらにもう一つ同じように棒を書いて3回目の得点を決めるとすると棒を入れる場所は1の右からnの右までのn箇所でn箇所から重複を許して3つ棒を入れる場所を選ぶ方法を考えれば良いから
nH3=(n+3-1)_C_3=n+2)_C_3
通りって感じでよいと思います。



もう一つの方法は定石的です。
整数問題のいつもパターンを使います。
080529_4.jpg

1回目の得点Xと2回目の得点Yと3回目の得点Zとすると
1≦X≦Y≦Z≦n
となる整数X,Y,Zの組の総数を求めよって言う整数問題みたいになります。

これは
1≦X<Y<Z≦n
ならやったことあるかもしれません。
単にnから三つ数字を選んで、それを小さい順に並べてX,Y,Zとすれば良かったから
nC3です。

そこで整数問題でよく使うのがm,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
です。

これは具体的ん言うと3より大きいってことは4以上、4以上ってことは3より大きいってことです。


そこで整数問題でよく使うのがm,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
です。


さて使ってみましょう。
使う時には

m,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
に注意します、うへ~。



1≦X≦Y≦Z≦n

1≦X<Y+1≦Z+1≦n+1

まずはXとYのとこに使います。

1≦X<Y+1≦Z+1≦n+1

1≦X<Y+1<Z+2≦n+2

とY+1、Z+1のとこに使います。

これで完成しました。


後はX、Y+1、Z+2の組はn+2から3個選べばよかったから(n+2)_C_3です。
X、Y+1、Z+2の組が決まればX,Y,Zが一対一に対応して決まるから(n+2)_C_3通りです。

例えば
(X,Y+1,Z+2)=(2,3,9)は(X,Y,Z)=(2,2,7)に対応
080529_5.jpg


答えは
(n+2)_C_3/n^3=
(n+2)(n+1)/6n^2
です。


高校数学の問題と解説

整数問題の解法の解説と問題演習

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ペンギンとダッフルコート着用したおっさん、どっちか選べ。
昨日はハローワークの帰りとかにカラオケ行ってきた。


そしたら、めちゃくちゃ歌えるようになっててん。

どんな高いキーでも楽に出るねん。


ちゃうちゃうほんまやって。

急に歌えるようになってん。

だから、ほんまやって。



ほんまオレなんか夢みたいで、気持ちええから今までキーが高くて歌えんかったのとか歌いまくったもん。


ある日突然狂ったように歌えるようになるってあるもんやねんな。



めっちゃ嬉しい。

ほんま最初カラオケ行った時は、声がひっくり返りまくって学芸会の声やって馬鹿にされて、歌ってたら外から金髪の兄やんが
キモっ
て言うてきたのが聞こえてきたりとかして、仕方なくヒトカラとか概念が無いうちから一人でカラオケ行きまくって店員とかをびびらせまくってたあの時から信じられん。
オレ高いキーでえへん人なんやってショックやったもんあの時は。



どこまでも高いキーが出るねん。
なんかキーが高過ぎるとこは女性みたいな声になるな。
自分で、オレこういう声が出るんやって不思議な感じやったわ。


なんで高いキー出るようになったか教えてたろか?

しゃあないな、100円くれたら教えたるわ。



なんか一ヶ月くらい前にインターネットでカラオケで高いキーのことを歌う方法を検索してん。
そしたら、ミックスボイスって発見してん。

ミックスボイスって奴は、地声と裏声がミックスされた声やねん。
ミックスボイスで歌うと、裏声と地声の境目がなくなるねん。


それからミックスボイスについて色々書き込みとか、ミックスボイスを目指して素人がアップロードした歌をダウンロードして聞いたりとか研究してん。


それで親とかがおらん時に、家の中でミックスボイスを目指して歌いまくっててん。

ほんま、どういう声の出し方かわからんから変な奇声を発しまくっててん。


そしたら

ピンポ~ン

ってほんまにインターホンがなってん。


それで怒られる!って思ったから、家の中の電気を消してしばらく大人してその日は外に出んかった。


たぶん、せっかく京大を卒業したのにどこにも就職が無くてこんなわけわからんことなってて

「あ~あ、かわいそうに…」

って思われてるんやろな。


でもな、そんなことでヘコんでたらミックスボイスできへんわけや。


やっぱりなオレは、カラオケを平気で歌えることって大切やと思うねん。
人前でいざと言う時に自信持って大きい声で話せな、そんなやつはビジネスで使われへんやろ。

それにはカラオケで恥を捨てる必要があるわけや。
要するにヒトカラの概念が無い時代に一人でカラオケ行かなあかんわけやねん。
その恥ずかしさを乗り越えて、歌えてる奴はやっぱり頼りがいがあってカッコええわけや。

しかもな、君らはまだ社会を知らないが上司とカラオケ行って点数によって水着姿の女性のモザイクが除去されるグラビア採点やらなあかん時があるわけや。l

そこで上司がトイレ行ってる間に部下が歌って98点までしか出んかって、

部下ら「どうしよ…」

言うてた時に帰ってきて、上司が

上司「一番ええとこが、モザイクかかっとるやないか!」

って怒られるのはよくある話なんや。


そんなことではスムーズに上司、部下の上下関係がいかないであろう。



ミックスボイスを極める必要性がわかってきたとこで、どうやってミックスボイスを出したかと言うと変態みたいな声やな。

変態のマネをする時の声やな。

町を裸に黒いコートを羽織って女の人の前にたって

バ!!

ってコート開いて何もかもがさらけ出されてしまって、うへ~って追いかけるときの声やな。



そういう変態な声が不思議なことにカラオケではマイスウィートハニーな声になるねん。


いやあ、ほんま高いキーで歌えるようになるとは思わんかった。
これからも人付き合いでカラオケに行きやすくなるわ。

仕事にも恋にも役立つやろ。


ほんまオレにとってはこの問題は結構大きかってん。


わんこら日記も7年目で最初の方は声をひっくりかえしまくって歌った話をたくさん書いたけど、この問題まで解決されるとは夢に思わんかった。


なんか2日くらい前の親父がかわってくれたことと言い、一気にとても解決しないと思われてた問題が解決していってるな。
もう親父もオレにリーダーシップをバトンタッチする予定らしくて、長年気を使い続けて疲れてたのに、もう気を使わずに自分の考えで行動できるようになったしな。
まあそれは責任をともなうことではあるねんけど。
しかも我慢して根気よく家族をつなげ続けた会あって、地盤がしっかり固まって周りの人の協力が得られるようになったから今は就職とかも広告とか見つけてくれたりとか色々電話で問い合わせてくれたりとか話がどんどん進んでるねん。
オレ自身も失業したおっさんらと一緒にハローワークに行ったりとか、また行動が活発になっていってるしな。


ほんま風が吹くときは吹くな。
種撒いてたのが、芽が出てきた感じや。


それにな、受験生とかに数学教えてると今まで数学やってきたことがそこに生かせられるから、反対に全然数学と関係無い職業に就いてもええから金を儲けようとか考えられるようになってきてん。
物理と数学を勉強した人は、ビジネスでもこれだけやれるって言う夢を与えようと思ってきてん。


あかん時は、あかんな。
あかん時は失敗を繰り返して、周りも四面楚歌になっていくやろ。

上手くいくときはどんどん上手くいくな。
上手く行くときは思いもよらない成果が出来て、周りも協力者が多くなってきて仲間も集まってくるねん。


努力をし続けてあかん時はあかんかもしれへん。
それでも周りからどういう評価が下されようともやり続けてみると、それがタイミングとか時期がまわってきた時に報われてくることがあるんかもしれへんな。

カラオケ

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ポテトチップスをパーティー開け出来るやつは何でも出来る
ふにゅ今日はハローワークに行ってきました。


ふにゅ何をしたらええかわからんから、フラフラしてました。
そしたらふにゅ知らないおばちゃんに話しかけれれました。

職員「職をお探しですか?」

かずゆき「ふにゅ」

職員「学生さんですか?」

かずゆき「ふにゅ」

職員「ああ、今年卒業されたんですね。」

かずゆき「ふにゅ」

職員「そしたら、これを持って二階のパソコンで検索してください」

かずゆき「ふにゅ」


ふにゅエレベーターに乗りました。



ベルマーク一番多く集めた人が一倍偉いと思ってるふにゅ。



ふにゅ検索ルームに行きました。

そしたら、おじさんたちが一杯パソコンの前に座って血吐いて液晶にもたれかかって気絶してました。
悲鳴をあげてる人もいました。
ふにゅめっちゃ恐かった…



テレホンカード集めて大切に保管してたら紛失したふにゅ。



ふにゅ受付に行きました。

職員「求人検索パソコンご利用ですか?」

かずゆき「ふにゅ」

職員「そしたら、整理番号券をとってください」

かずゆき「ふにゅ」

ふにゅ整理番号券をとったら1番やった。

ふにゅふにゅ♪


職員「もしかし初めてですか?」

かずゆき「ふにゅ」

そしたら、ふにゅ整理券番号を取り上げられてわけわからんプラカード持たされました。
職員「印刷は五枚までとなってます」

かずゆき「ふにゅ」


ふにゅ1番のとこに行った。



マンションの管理人にマインドコントロールされるふにゅ。



ふにゅ横においてあるペンをとって液晶をつつきました。

面白かったです。



どでかいニンテンドーDSやと間違ってるふにゅ。



ふにゅキーワード検索してみました。

数学って書くふにゅ。

キーボード無いからペンで数学って書くふにゅ。

難しいふにゅ。

なんか点だけになったりするふにゅ。

ゆっくり書いたらいけそう、ふにゅ。


ふにゅふにゅ。

ふにゅふにゅ。

あ、ふにゅ間違えた。


ふにゅふにゅ。

ふにゅふにゅ。

あかん、もっかいふにゅ。


ふにゅふにゅ。

ふにゅふにゅ。




職員のおばちゃん「利用時間は30分までや言うてるやろ!」


パーン!!

080527_1.jpg



かずゆき「ふ、ふにゅっ!!」


もうふにゅの知ってるおばちゃんじゃなくなった。


ふにゅ

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行列A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3Eを求めよ。(京大文系、理系甲)
2007年と2008年の京大の問題は制覇したいってことで今回は京都大学の2007年の文系と理系甲の共通の問題です。


そういえば理系は甲と乙とわかれてるのはわかりますか?

乙が難しいとされていますが
2007年度は
甲は、

総合人間学部(理系)
教育学部(理系)
医学部保健学科看護専攻・作業療法専攻

乙は
理学部
医学部医学科、保健学科理学療法専攻・検査技術専攻
薬学部
工学部
農学部

2008年度は総合人間学部(理系)乙に、医学部保健学科は全部甲になりました。

自分が受験する年の範囲は京都大学のサイトでしっかり範囲など調べておきましょう。

今回の問題は文系なのに行列です。

そこが京大の厳しいとこですね。

ただ2009年度は文系は数学Cは範囲外になります。
と言っても間違ってたらしばかれるので自分でちゃんと京都大学のサイトでしっかり範囲など調べておきましょう。



x^nはxのn乗を示す
[問題]
080525_1.jpg

A=
2,4
-1,-1
E=
1,0
0,1
とするとき、
A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3Eを求めよ。



[解答・解説]
080525_2.jpg

これ絶対覚えてください。

終わり。



今しばかれそうになった。



行列の問題はそんなにバリエーションが高くは無いと思います。
まずはお決まりのハミルトン・ケーリーを考えます。


ハミルトン・ケーリーについてちょっと補足ですが、
080525_4.jpg

Aの固有値を求める時に出てくるxの方程式と同じと言うよりも、このxのとこをAに置き換えた式(定数はEをつける)が成り立つのがハミルトン・ケーリーの定理です。
ハミルトン・ケーリー忘れたらこうやって計算できます。
n次正方行列でも成り立ちます。
証明は大学の線形代数の参考書とかに載ってると思います。
もう何のことかわからん余計わからんようなった人は、今すぐ忘れてください。


さてこのハミルトン・ケーリーの式
A^2-A+2E=0
が成り立ちますが、これをどう
A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E
に使うかと言うと次数を下げます。

ハミルトン・ケーリーの式を
A^2=A-2E
と考えると、左辺は二次で右辺が一次です。
と言うことは、どんどんこの式を使って次数を落としていけます。
この方法でもすぐに解けます。

ただ本質的にはまったく同じですが、式が長かったりややこしい場合には整式の割り算を使います。
080525_3.jpg

行列はどこまで普通の数のように扱えるかって言うのを注意してください。
そういうのは大学に入って厳密にやりますが、理学部数学科くらいじゃないと一生やらないかもしれませんが、このAとEは足し算と引き算は普通に出来て掛け算もAE=EAと言うようにEとAは交換出来るから、AとEで出来た式は和差積については数と同じ扱いが出来ます。


まずは
x^2-x+2=0
の時
x^6+2x^4+2x^3+2x^2+2x+3
はどうなるかって問題を思い出してください。

これは
x^6+2x^4+2x^3+2x^2+2x+3をx^2-x+2で割って商と余りを計算して恒等式で表すと
x^6+2x^4+2x^3+2x^2+2x+3=(x^2-x+2)(x^4+x^3+x^2+x+1)+x+1
になってx^2-x+2=0だから余りのx+1だけ計算すれば良かったですね。

この恒等式
x^6+2x^4+2x^3+2x^2+2x+3=(x^2-x+2)(x^4+x^3+x^2+x+1)+x+1
は右辺は展開するのに和と差と積しか使わないから、xをAと置き換えて定数にEをつけて
も成り立ちます。


この計算で
A^6+2a^4+2a^3+2a^2+2a+3e=(A^2-A+2E)(A^4+A^3+A^2+A+E)+A+E
と言う式が成り立つのがわかります。
ハミルトン・ケーリーから
A^2-A+2E=0
なので
A+E
だけ求めれば終了です。



ただこの問題はわからんかったら、もう根性で普通に計算してください。
思いつかんかったら、その方が早いと思います。


高校数学の問題と解説
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楽しいムーミン一家に棒持って殴りこみにいく会
いやあ、ほんま良かった。


親父が一家路頭に迷う夢を見たらしいねんや。

そらもう歳で働けんようになるかもしれんからそんなん見るんやろな。

それで、これからは家族で仲良く協力してやっていかなあかんとか言うて、もう怒らんから妹と一緒に暮らすとか言いだしてん。


オレこんな時が来るとは思わんかったもん。
ちょっとトイレで一人で涙が出てもたもん。

まあオレが就職が決まらんからこうなったって言うのはカッコ悪いけど決まらんかって反対に良かった。
ほんま、失敗と思われることがどこでどうなるかわからん。


しかもおかんの誕生日にプレゼントとかしたことない癖に買っとったしな。


ほんま良かった。

妹がオレと一緒に暮らしたい言うててん。

やっぱりな、一人じゃ夜中パニック障害にならへんか恐くて寂しいらしいねん。

だからせめてオレが一緒に暮らそうと言う話になってきててんけど、まさか家族で暮らすとかそういう言葉が出るとは思わんかった。


親父は厳しすぎてすぐにキレるから、妹とは実質絶縁状態みたいになっててん。


妹はもう一生私のこと嫌いなんやろなって親父のことを恨んでたから、オレがかわりに優しくしようとずっと何年もやってきてん。

それがこんな風になってくるとは思わんかった。

まあよくゲームやってて電話でなかったことあったけどな。



今まではどっちにも気を使ってもて何も出来ない状態が続いてたけど、これからは気を使わずに妹と協力して仕事もやれるな。


しかもオレがずっと裏から親が離婚せんように二人に気を使い続けて、喧嘩してやばなった時には仲介役に入ったりしてたかいがほんまあった。

オレもうそれでエネルギーを使い果たしてもて家で疲れて外で疲れると言うことになってたから、この家族とおったらもうあかんのかなとか思ってたもん。


こんな実りがあるとは思わんかった。



これからは妹とも協力もしやすいし親に気を使わず行動できるわ。

やっぱりな、親父に気を使ってもて何も出来んことが多かったからなあ。



そらオレがやってきたことは、みんなにおかしいと思われてきたかもしれん。
友達も親とかもうはよ切り捨てて自分のしたい仕事しろ言うてたし、なんでそんな妹に時間とか気を使うのかがわからんとも言われた。
オレは自分のことをせずに余計なことばっかしすぎてると思われてるかもしれん。


でもな、それによって得るもんはとてつもなく大きいねん。

心の問題だけじゃなくて現実的な話、仕事もそうやな。
いや、むしろ結局は人を大切にすることでもっと凄い仕事が出来るようになるねん。
まあオレの親族は自営が多いから余計やな。



そもそもどんな理由あって大学に7年おったにせよオレのような京大みたいな学歴の高い理学部数学卒で職歴無しでは仕事が無いって言うのはよくある話なんや。
全て書類選考で落とされると。
まずオレはみんなと同じように点数をとったとしても面接や総合評価で大学院に受からないことを知らずに受けてもたし、何もわからんまますぐに就職活動せなあかんようになってもう既に新卒採用はだいたい終わってて、中途採用しかないことになってからな。
もう色々見て回ったりしてるけど職歴無しの中途採用なんか全然無いもん。
先生にも、君はどこを受けても書類選考の段階で落とされるって言うてたしな。
積極的に人脈を作りなさいって話やったな。



まあ親父はすぐに大企業に受かると思い込んでるけど、まあそんなん言うてもわからんやろうしな。

でもまあこここまで来たら、細かいことはどうでもええな。

親父にもオレはどう思われてもええから、こうなってよかった。

いや、むしろオレがこの状況やから反対によくなったわけやしな。

今までやってきたことが失敗じゃなくて成功に思えてきた。

わんこら日記も7年目くらいか。
一つの問題がこれで解決したな。
ブログ書いてきた良かった。
やっぱり書くことで心が整理されていくんやろな。


なんかみんな学歴があったり資格があると就職できると幻想を抱いてしまうもんやねん。
でもそれは新卒の話やからな。

でもな、そういう幻想は抱くのにすぐ近くに協力してくれる仲間がいることに気づかんもんやねん。
親とか兄弟とか友達は幻想じゃなくてそこに確かにいることに気づかんもんやねんな。


だからまずは周りの人から大切にすることで確かな協力が得られるわけや。

いや、まあそらこれは極論で大学に行くことや資格を得ることはめっちゃ大切やで。
でもすぐそこにやれることがあるのに気づかない時があるねん。



しかもオレは言うても京大理学部をしかも数学でしかも数学がまだよくわからない学生用の演習形式じゃなくて、ちゃんと専門科目の数学を理解してきたと言う前提のセミナーで何のごまかしも無く卒業してるわけや。

そら周りの友達はみんな同じかもしれへん。


でも他の人から見ると、とてつもなく賢いわけや。


外の世界の色々な人と話さないと、そういう視野が狭くなってしまうわけやな。


しかも言うても大学院の試験は超難関の数理解析の筆記試験まで受かってるわけやしな。

だから京大とか学歴高いとこ卒業したから就職無いとかじゃなくて、卒業したからその頭脳を使ってこれから色々な大学を目指す人にこんなことも出来るって言う実力を見せることが大切やねん。

それがこれから大学目指して勉強する人にも夢と希望を与えるねん。


まあそうは言うても現実的に何が出来るんかって話になるかもしれへんけど幸いにもやっぱり人脈がそれなりに無いことが無いし、やっと気使う必要が無くなったのが仕事をするのにも助かるわ。



でもな、いつもキレてて厳しくてガンコで身内に冷たい人が急にそうやって変われるのは凄いことやと思うねん。
とりあえず今までどういうことがあったにせよ、これほど良いお父さんって言うのはそうはいないと思う。
オレも妹と一緒に、良いお父さんやって思えたらええと思う。


とりあえずは親父がそういうことであれば、妹と協力できるかがネックやったから何とかなりそうやな。



親父シリーズ

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チャックにソーセージを入れたら何故いけないのか
今日はお外をうへ~って歩いてたら、メガネとお肌に
チョビ
って水がかかって、若干口に入ったみたいで甘ずっぱい味がしてん。


それでパッと上を向いたら、鳩が

ニター

ってやらしい目つきでこっち見とった。



どうやら、オレは鳩の小便を飲んだ伝説の男のようやな。



まあええやん。

よくウンがついてるってことや言うやろ。

ウンコじゃなくて小便がついてんけどな。


それで急いで家に戻って、メガネを洗って顔を洗ってお口くちゅくちゅした。



あかん、もう明日朝起きたら

「中々飛び上がりまへんわ」

ってバサバサを両手を羽ばたかせて、その辺走り回ってるあほなおっさんになってるかもしれん。


そういえば、一回小学生ぐらいの時に妹が

「このまえ、おしっこ飲んでん♪」

ってなんか自慢してきたことがあってん。


だからオレも飲まなあかんって思って、お風呂で手におしっこを溜めて

「さあ…いくぞ~」

ってそれを見つめててん。


何分ぐらいたったんやったかな。


ペロ

ってちょっと舐めてみてん。


それで妹に

かずゆき「おしっこ飲んだで」

言うたら

妹「ええ、お兄ちゃん飲んだん!?」

とか言うて

妹「あれ嘘やってん」

って笑い出して

妹「うわあ…」

って引いていって次の日学校に行ったら

友達「おまえ、おしっこ飲んだらしいな」

とかすれ違いざまに言われたりしとってん。


そうかあ、オレはあの時から小便フェチになったんか。
もう鳩の小便とかも飲まずにはおられん。

ちゃうちゃう、話がおかしなりすぎやろ。



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微分と極限の問題、f(x)=e^x/(e^x+1)のグラフを描け(九大)
質問受けた問題を解説します。
九州大学の問題のようです。


x^nはxのn乗を示す。

[問題]
080525_5.jpg

f(x)=e^x/(e^x+1)とおく。
ただしeは自然対数の底とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)y=f(x)の増減、凹凸、漸近線を調べ、グラフをかけ。
(2)f(x)の逆関数f^-1(x)を求めよ。
(3)lim(n→∞){f^-1(1/(n+2))-f^-1(1/(n+1))}を求めよ。



[解答・解説]
この関数は数3Cやってたら、そこそこ見かけると思います。
f(x)=e^x/(e^x+1)
=(e^x+1-1)/(e^x+1)
=1-1/(e^x+1)
と変形するとだいたいの感じが直感的にわかるかもしれません。


(1)まずは微分する以外に生きていく道が無いと思います。
080525_6.jpg

一階微分は常に正になります。
これは常に増加してることを意味していま。
凹凸を調べるので二階微分をします。
数三Cでグラフを描け言われたら、普通はだいたい二階微分まで調べます。
二階微分は1-e^xがあるから、これが正負に関与します。
x=0が境目です。
x<0では正なのでここでは増加の仕方が増加していくから、どんどん急になる形で下に凸です。
x>0では負なのでここでは増加の仕方が減少していくから、どんどん緩やかになる形で上に凸です。
一応問題で増減や凹凸について聞かれてるから増減表に書いてから側にそっと書いておくと良いと思います。

漸近線はこの関数は連続だからx軸に垂直なものは存在しません。
だからx軸に垂直でないものを求めます。
080525_7.jpg

これは
lim(x→∞)f(x)/x=a
lim(x→∞)(f(x)-ax)=b
ならy=ax+b
(x→-∞も同様にする)
とやり方が決まってますが、まあ空気を読んでこの問題は漸近線の傾きが0になるのは直感的にわかるから
lim(x→∞)f(x)=b
の部分だけ求めてもたぶん大丈夫です。

この問題では、x→∞の時とx→-∞の時で漸近線が違うので注意です。
普段から分けてちゃんと両方考えるようにしておいてください。

極限求めるのに1-1/(e^x+1)
にしてますが、e^x/(e^x+1)の形のままでも当然オッケーです。

グラフを書くとこうなります。
080525_8.jpg

変曲点はたぶん書いた方がええと思います。
よく
「グラフを描けってどこまで描くんですか?」
って無表情で聞いてきて誠意ある解答があるまで微動だにしない子がいますが、それがわからいのは僕も同じです。
でも恐らくは理系の試験なら二階まで調べて増減と極値、凹凸と変曲点、漸近線は求めておくと妥当です。

(2)の逆関数のf^-1(x)は1/f(x)のことでは無いのに注意しましょう。
y=f(x)をxについて解いて
x=g(y)
って形に表したときに、このgをf^-1と書いてfの逆関数と言います。

だからx=g(y)の形にして、yをxに書き換えたらオッケーです。
yをxに書き換えるのは単に表記の問題です。

一応(1-y)でわるときはこれが0にならないと言うことも書いておきましょう。
当たり前かもしれませんが、fにf^-1を作用させるとちゃんと元に戻ります
f^-1(f(x))=x
やってみると意外に面白いですよ。
吹き出してまうと思います。


(3)
ちゃんと計算間違いしないように、f^-1に丁寧に代入していきましょう。
080525_9.jpg

微妙にパジャマが見えますが、logが出てくるので引き算に見えますがlogの中で割り算です。
こういう形を見たら、
lim(h→0)(1+h)^1/h=e
とか
lim(x→±∞)(1+1/x)^x=e
を思い浮かべてください。
それでこの形を無理矢理に作り上げていきます。
logはeが底からlogeは1です。




高校数学の問題と解説
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そんな柴犬、ロシアの犬と交換してもらいなさい
ほんまもう疲れた。

あかんな、やっぱり家の中じゃ親に気を使ってしまってバンバン数学の記事を更新したくてもそうはいかんな。


おとんとか今さら
もう仕事とか無くなって一家路頭に迷ったら、どうしよ。
オレがわがままで働かん。
とか解釈してるけどな。

まあ別にどう思われてもええけどな。
どう思われたとしても、仕事を見つけて家にお金を入れるだけや。


オレが前からおかんとおとんが喧嘩してるのを、そんなん浮気とか絶対無いしみんなで協力せなそのうち路頭に迷うことなるで言うても、

そんなんならへんわ

って聞いてくれんかったしな。


普段からもう二人に気を使いまくって疲れ果てて終わってたからな。

それをオレにこのままやったら、家族路頭に迷うことわかっとんかって言われてもなあ。


しかも二人とも昔の人やから、京大さえ卒業したら仕事はあるって思い込んでてオレが働く気無いみたいに思ってるしな。


まあどう思われても仕方ない。
オレはお金を稼げてないからどう解釈をされようが仕方ない。
そう演じるしかない。



もう去年もあらゆる会社落ちたし面接まで進めばその度に嫌味言われて即行落ちるのは経験したし別に覚悟してるわけや。
それなりに実績やスキルが無いと採用してくれへん。
オレがかなり厳しい状況にたたされてるのはあの人らには理解できへんのやろな。
それは仕方ないことやけどな。
失敗を繰り返したオレが悪いわけやし。


そらオレのわがままで7年京大に居て大学院受けて落ちたとか思ってるんかもしれへんけど、オレはもうドイツ語の教官から毎回出席扱いされるようになってから、どんどん教官恐怖症になっていってもったからな。

大学に行こうとすれば喘息が出てしまう。
ほんまは大学やめようと思ったこともたくさんあったで。

でもな、オレは親父が物理好きやったのに親が早く死んで大学行く言うたら預けられたおじさんに叩かれた話を悔しいそうにしてからオレがなんとしても卒業して大学院に行って勉強したかってん。

まあそら自己満足の世界かもしれん。

他人からどう思われたとしても、自分の親からどう思われたとしても、教官で悩んでるのが気が小さくて小物と思われようとも、オレは5年目でやっと教官とのコミュニケーションが重要な語学の単位を全部とって、それから死ぬ程数学を勉強した。
それで一年半の勉強で大学院にも東大と京大と、まさかの数理解析研究所の筆記試験には合格した。
でもなこういう経歴やからな。
面接で話せば話す程、失敗して全部落ちた。
そら面接でも先生らに色々言われた。
それに、先生にも君は就職も厳しいって言われてほんまにその通りになってるわけや。

でもな、それを親から見れば単にオレが気まぐれに生きていて失敗してまだ甘えてるから仕事せえへんとか思われててもまあ仕方ない。

どうでも思ったらええんちゃうん。


でもオレは人からどう思われてたとしても、わずかな可能性にかけてブログで日記も毎日書いて、数学も教えてやれることはやるし、色々仕事も探して、やっと就職出来て収入が入れば家にお金を入れる。

それに、どう思われたとしても逃げずに正面からぶつかれば卒研のメンバーとか一緒になった人らと仲良くなって、ほんまに支えになるようなええ友達とか出来るもんなんや。
ブログでもそうやな。

そら自分が何年目とか知られると、あほやと思われるとか色々と考えるしプライドもあるかもしれへん。
でおな、そこを
オレは7年目やぞ!かかってこいごら!
って言うくらいの気持ちで行くことで、そんなプライドよりも大切で素晴らしいものがたくさん手に入るもんやねん。
いや、むしろそんな自分をみんな好きになってくれたり頼りにしてくれたりすると思う。

そうやな、人と話すのもええもんやって思うと思う。


オレもこれからは親にも周りにも
わがまま
気が弱い
根性が無い
甘えてる
あほ
考え方が子供
とか色々と思われるかもしれへん。

バイトをするにはやっぱり親父にバイトするなって言われてたし気を使ってしまってバイトさえ中々やりにく状況でもそれをどう思われてもええ。

どう思われたとしてもオレは何としても仕事を探してお金を稼いで親にも渡すだけや。

親にも気が小さいとか、肝が座ってないとか、わがままとか、甘えてるとか、弱い人間とか、どう思おわれても構わん。

オレは色々な失敗があって人からどう言う評価をされても、逃げないってそう覚悟を決めて生きてるからな。
それはそんなに辛いことじゃないねん。
それによって得るものの方がはるかに大きいからな。

親父シリーズ

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何もかもカリフラワー状に加工するのはやめてくれ
今日は電車に乗って家に帰っててん。
まあなあ、こんなん言うたらあれやけどオレ実は車両の一番端に座っててん。


そしたら連結部の向こうの車両の端におっさんが座っててん。
そうやな、絵とか上手そうなおっさんやな。

それでなんかこっち向いてるような気がしてん。


こっち向いてるような気がする。

こっち向いてるような気がする。

こっち向いてるような気がする。

ってパって向こうの車両を見たら絵上手いおっさんがこっちを汚れのない笑顔で見ててん。


それで恐かったから、もう見んことにした。

真っ直ぐ前を見て座った。

正面に座ってる係長クラスのおっさんの額の辺りを見て座った。



あかん、いくら係長クラスのおっさんを見ても絵上手いおっさんがなんかこっちを見てるような気がする。

何か感じる。

何か耳たぶが舐められてるような感じがする。

ってパって向こうの車両を見たら絵上手いおっさんがほんまにこっちを見とった。

汚れのない笑顔やった。

めっちゃピュアやねん。

どうやったらあんな汚れのない笑顔できるんやろ。



駅に着くとおっさんも降りてきた。

絵上手いおっさんはオレにもたれかかってきて

絵上手い「かずゆきさんのこと、好きになっていいかな…」

言いだした。


オレはどうしたらええかわからんかった。

ただ絵上手いの頭に手をおいてなぜてあげることしか出来へんかった。



その時、

パコ…!

って改札口が開いて閉まる音が聞こえた。



その改札口の方に走っていくと、全速力で走っていく正面に座ってた係長クラスのおっさんが見えた。


係長クラスのおっさんに見られてたか…

オレは本当は係長クラスのおっさんが…


オレは、急いで改札口を出て係長クラスを追いかけた。

待ってくれ、係長クラス

って係長クラスのおっさんが交差点に差し掛かったとこで横から車が飛び出してきてスローモーションになって、

係長クラスが

はっ!!

ってなってオレも

ああ!

ってなって車が

キキキキー!!

ってブレーキをかけてオレが手を届くはずもないのに伸ばした瞬間にスローモーションが終わって

ガン!!!

ってなった。


明日に続く。

電車わんこら

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漸化式と極限の問題、a1=0,an+1=xan + y^(n+1)(x,yは異なる正の実数)im(n→∞)anが収束する(x,y)を図示せよ(京大理系、甲乙共通)
今日の問題は京大理系、甲乙共通問題で2007年の問題です。



以下x^nはxのn乗を示す。

[問題]
080523_3.jpg

x,yを相異なる正の実数とする。
数列{an}を
a1=0,an+1=xan + y^(n+1) (n=1,2,3,…)
によって定めるとき、lim(n→∞)anが有限の値に収束するような座標平面上の点(x,y)の範囲を図示せよ。




[解答・解説]
これは漸化式や極限に慣れていれば問題ないと思いますが、ちょっと具体的な数字ではなく抽象的に文字になっているのは余りやったことが無いかもしれません。
こういう一般的な文字の式の場合、基本に戻って具体的な数字の場合ははどうであったか考えてそれを一般的な文字の場合にはどうなるか考えてみるのが一つの数学的な思考です。

まずは漸化式です。
080523_4.jpg

これはx=2、y=3とかならやったことあると思います。
それを文字でやってみます。
まずはan+1=2an+3^(n+1)を見ると3^(n+1)で割って
an+1/3^(n+1)=2/3・an/3^n+1
でan/3^2=bnとして
bn+1=2/3bn+1
と言う形にしました。
と言うことでこれを文字でやるとy^(n+1)で割って
an+1/y^(n+1)=x/y・an/y^x+1
にします。
これは
an+1=pan+q
型の漸化式なのでよくやったことあると思いますが、オススメの解き方はan+1とanをxと置いて解いてx=q/(1-p)で
an+1 - x=p(an - x)
として解く方法です。

これはa1の条件が無かったらan=q/(1-p)も漸化式の一つの解と解釈できます。
anと漸化式のある一つの解との差をとるとqのとこが消えます。


080523_5.jpg

もう一つの方法は階差数列にして解く方法です。
階差数列は
an=pan-1 + q(n≧2)
との差をとってn≧2をつけなあかんと言うややこしいことなるのが注意です。
まだぴちぴちの短パン履いてパパとママと手を繋いでお出かけしてた、まだウブやったころの僕は
an+2=pan+1 + q
とすればn≧2が必要なくなるんちゃうん!
ってやってみましたが
an+1-an=(a2-a1)q^(n-1)
を解くときに結局
an=a1+Σ(k=1~n-1)(a2-a1)q^(k-1)(n≧2)
と必要になることがわかってもう短パンは履かない大人になりました。
パパはまた友達が息子にしょうもないこと言うたんちゃうんかってキレてました。
大人への通過儀礼やったんですね。



an=y^2/(y-x)・(y^(n-1) - x^(n-1))
となりました。
これが収束するかどうかは
y^(n-1) - x^(n-1)
だけが関係してきます。

直感的にはxとyは両方1以下ちゃうんかいって思いますが、それをどう示すかって言うのをちゃんと数式で論理的に示す必要があって出題者もそれを聞いてきています。

でも文字なのでちょっとやりにくいとこです。

またここで具体的に考えて、2^n - 3^nの極限ならやったことあると思います。
080523_1.jpg

これは大きいほうの数字の3^nでくくり出してやりました。


と言うことは、yとxがどっちが大きいかで場合わけして調べればよさそうです。

こういう風にまずは具体的にやってから一般性を考えるって言うのが特に難しい問題に取り組む時には非常に重要です。
080523_2.jpg

y>xの時はy^(n-1)でくくって
1-(x/y)^(n-1)
のとこはx/y<1だから極限とると1になります。
だからy^(n-1)のとこが収束しないといけないからy≦1でなければなりません。
y<xの時はx^(n-1)でくくって
(y/x)^(n-1)-1
のとこはy/x<1だから極限とると1になります。
だからx^(n-1)のとこが収束しないといけないからx≦1でなければなりません。

図示すると、上図の斜線部で境界を含みx軸とy軸と破線部を含まないです。
図示する時に境界線を含むとこと含まないとこがあるややこしい答えがたまにありますが、線が足りなくなったら破線とかを使ってみましょう。
波線使ったらしばかれると思います。



高校数学の問題と解説

京都大学の入試の数学の過去問の解説

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それはペットボトルに汗を集めて入れた飲料水とポカリスエットの違いみたいなもんや
ちょっと妹と遊んでたら、中々家に帰らしてくれんようになって今帰ってきてん。

あかん、なんか糖質が足りなくてパリパリの気分や、


そういえばまた昼ドラの話をしてきてん。

なんか妹は最近昼ドラのまさしさんが好きらしいねん。
花衣芽衣ってやつやったかな。


それで
妹「まさしさんは、結局お姉さんと結ばれるねん」
言うてきて、

妹「お姉さんは最初まさしさんと結婚できへんって言うて別れるねん」

言うから

ああ、近親相姦の話やったんか

って思ってて、

妹「お姉さんは子供生まれへん身体やねん。だから双子の妹と結婚するねん。それで13年間たって子供が死んでもっかいお姉さんが好きになるねん。双子の妹が車に引かれて終わるねん」


ちょっと待ってくれ

整理しよう。

まさしさんにはお姉さんがおって好きやってんけど、お姉さんは子供が生まれへん身体やから自分から去ったわけやんな。
それでまさしさんには双子の妹がおって、そっちと結婚してまうわけか。
それで13年間たって誰の子供からわからんけど死んだシーンを見ることで、やっぱりお姉さんが好きって目が覚めたわけや。
ほんで最後に妹が車に引かれたわけやな。

なるほどだいぶんわかってきた。


うん、だいぶんわかってきた。

妹「でもな、まさしが一番悪いやろ。私、最後に二人でまさしを殺して終わる思っとったもん」

そんなあほな終わり方するドラマ聞いたことないわ!



と言うことで今回は妹の家でドラマを見ててん。

今度のドラマはラストフレンズってやつやな。

それでドラマ見てたら

妹「この人が、長澤まさみにドースティックバイオレンスするねん」

ドメスティックバイオレンスや!


それで一時間全部見た。

最近のドラマは中々おもろいな。
オレももっとドラマ見とかなあかんな。


それから妹がずっと電話がかかってくるのを待っててテナルニア国物語を見てたら、しょうもな過ぎて妹寝とった。


なんか昔、妹と図書館行くときに可愛い鳴き方考えよか言うて「ふにゅ」の取り合いになった話をしてん。
そしたら
妹「でも、ふにゅは私が考えたやろ」
かずゆき「いや、そんなことないで」
ってまた「ふにゅ」の取り合いになった。


それからやっと妹に電話かかってきてん。

妹「ラストフレンズ見たで。」

そしたらさっきのドラマの話をしだして

妹「あの、ドースティックバイオレンスの男いるやん。あの男が…」

だからドメスティックバイオレンスやって。



まあそれで何回も帰ろうとしたら阻止されて、次の日の4時くらいにようやく解放されました。



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おろしざるそばのおいしさがわかってくるまで帰ってくるな
それにしても最近はじめた数学の問題の解説ほんまにこんなペースでやり続けるのかって話やな。


ちょっとハードかもしれんけど、でも今何時間をかけて書いてそんなにたくさんの人が見なかったとしてもまだ数年後にも誰かが読んで役に立ったり楽しんでくれたり、やる気が出たりするかもしれんからな。

とりあえずは、しばらくは続けていくか。

間違えてたら受験生とかが教えてくれるのが嬉しいな。
あれはほんま助かるわ。
まあちょっと微妙に頼りないとこがあるんかもしれへんけど。



問題を解いたりノートに書くのはすぐ出来るねんけど、やっぱり写真とか貼っていくの結構大変やねんな。
写真を撮るいうても頭の中でどうやって説明するか組み立てて携帯で写真撮れる大きさに書いて写真を撮って貼っていかなあかんねん。
そらデジカメで撮って大きいサイズで載せたら楽やろうけど、わんこら日記の読者は携帯の方が多いからな。
だから携帯で見れるように計算してあるねん。

でも結局携帯で見れるサイズで撮ってるがために何枚かに写真が分かれて説明を丁寧にしやすくなって独特な説明スタイルが出来上がっていったと思う。

別にオレはノート型パソコンをlinux専用マシンにしてるからtexとか普通に使える環境やねんけどtexとか使って書いたら格好はええけど続けるのが非現実的やし携帯で見られんし学校のテストみたいで頭痛なりそうやろ。
別に自分なりのやり方でやったらええ自由なわけやし。


ずっと院試を筆記は合格しても面接とかで落ちてしまってオレはもう大学院には受けたとしても通らないと先生に教えられて落ち込みまくって悩みまくって就職も全然無くて…
って状態で今までやってきたことを生かして勉強してきた数学と日記の文章とかを使って何か作られへんか?
ってことを考えてきて中々出来んかったけど、
なんか読者とかのリクエストやニーズに答えたり、数学教えて~って振り回されまくることで何か自然と形が出来てきた。

そらまあこれで何かお金儲けが出来るか言うたら難しいかもしれんけど、どこで何があるかわからんやろ。
そもそも挑戦することにリスクは無いしな。


このまま続けたら何か状況が打破されるかもしれん。
そういうとこ以外にオレが頼れるとこが無いしな。
やっぱり若い人がオレが頼れる人らなんかもしれん。



でもそういうのって自分の親父もそうやったことに最近気づいてん。


話は長くなるけど、やっと家の中がギスギスしまくってた黒い家はやっと終わってん。

ほんま大学の勉強が忙しいときに黒い家になって邪魔されまくって卒業してから終わると言う絶妙なタイミングですわ。


やっと親父が説明してん。
その若い女の人と遊びに行ったのは昔その子のお父さんが遊びに連れていってやらんかったかわりに遊んでやっただけで、しかもそんな恋愛感情とか沸くにはちょっと何と言うかまあその辺は空気読んで欲しいねんけどあれな人らしいねん。

それで親父はもう歳やし仕事が無くなりそうやってんけど、その人がオレの親父が凄い若い人らみんなから面白くて頼りにされる人やからって上司にかけあってくれて親父の次の仕事の依頼が出来たらしい。

それでやっとおかんが納得してん。
オレは途中から明らかにそんなん浮気とかどう見ても違うやろって思っててんけど、絶対言うこと聞かんからなあのおばはんは。
まあそら家族には冷たい癖に外ではそんな親切にするのは納得いかんかもしれん。
でもオレは親父と話したら0.2秒くらいでキレるし、一緒におったらほんま気使って何も出来へんからちょうどそれぐらいがええねんけどな。
しかも二人っきりになろうもんなら何を話してええかわからんかって気まずすぎる。

だからな自分の娘とかには冷たかった癖にとか家族とはカラオケ行かん癖にとかオレには何も教えなかった癖によその人には教えるとか、まあそうは言うても家族が路頭に迷わんようにそういう勘違いをされながら親切にして仕事をやってるねんからそこはわかってあげなあかんやろ。
それをなんであのおばはんはオレの説明ではわかってくれんかったんやろな。

しかも男って勘違いされたとしても、どうでも思っとけばええやんって話さんやろ。
男にはなんかそういうとこがあるな。

オレもそういうとこあるな。
なんで損をする方向にもっていってまうんやろな。

まあそれは恐いとこやな。
気づいたら奥さんが実家に帰ってるみたいな。

男からしたら、なんでや~!?って何も理解できへん。



まあでもオレはここ2年くらい家の中が地獄やったな。

ほんま地獄やった。
でも結構、そういうブログの内容も面白かったみたいやけどな。


ただでも、オレの親父も次昇進するはずやったのに上司が何故か別の人を選んだりとかして管理職やったのに会社辞めたりとかそういうとこ苦労してるねん。
だから若い人を育てて楽しく話したりして、その人にかけあってもらうとか結局オレも親父と同じようなことをやってるねんな。
ほんまその女の人が上司にかけあったらすぐに言うことを聞くらしい。

そういえばオレも物理はオレが学年トップやのに先生が来てオレの横の生徒に
「君やったら、学年トップいけるで~」
とか言うてきたりしてたな。

ほんまなんでそういうこと苦労してまうんやろなあ。

でも普通に生活してるだけでサッカーの練習してたら、近所の小学生の男の子がサッカー教えて~って別にオレ何も上手じゃないのに来るからな。

だからそういう子を頼るようになっていくねん。

それはオレの親父と同じやってんなあ。

そういう遺伝子があるんかな。


そういえば親父の親父、要するにお爺ちゃんも自動車会社の重役をやってたらしいねんけどその時は主な業務がタクシーやってお前は重役やから行くな!って社長とかに言われてるのに何故か高級車で客を乗せて運んでて若い従業員らに絶大な人気があったから労働組合が無かった言うてたな。

やっぱり代々同じようなことをやってるねんな。


それでお爺ちゃんは親父が6歳ぐらいの時に死んで、親父はお父さんの愛情を知らんねん。

それでオレも親父が0.2秒でキレるからあんま話さずに育ってん。
しかもこの前、親父死にかけたしな。


まあ何か同じようなことを繰り返してまうねんなあ。

オレも何らかの形で息子に苦労かけたり、疎遠になってしまったりするんかちょっと不安になるな。

オレは小さいときからオレは親父と違って子供に優しくするってず~って思っててん。

親父のように絶対なりたくなかってん。

めっちゃ憎んでた所があってん。


でも蓋を開けたら同じことやってるわけや。

どっちも物理の研究者になろうとして失敗したしな。
オレの親父も親がはよ死んだりとかして親戚のおじさんに預けられたりとかして、せっかく進学校で物理とか学年トップとってたのに大学に行く言うたらおじさんに叩かれたらしいねん。
まあ結局一応大学に入学できたみたいやけど、かなり肩身が狭かったんやろな。
その時のこといっつも悔しそうに言うてたな。


しかも就職とかも全然無かって落ちまくってて、友達とかのツテでやっと入れた言うてたしな。

まあなんか結局同じようなことやってるねんなって思ったわ。


親父が嫌いで絶対同じようにはならんって思っても結局親父と同じようなことをやってるか。


嫌いと言っても尊敬してたりするしな。
複雑やなあ。


でも結構そういう人いるからな。

やっぱり友達とかでも自分の親父の仕事について、もの凄い深いことを実は考えてる人がいて、それはもう深いことを考えてるって言うわかったような陳腐な言葉を使ってはいけないものやねん。

そういうの感じる瞬間があるな。

まあそこだけは誰にも理解出来ないし一人で悩んで一人で努力して一人で解決しなあかん問題やからな。

それがその人の人生に莫大な影響を与えてて、他人に理解されない行動や決断でもその理由は語らんな。

笑いにして誤魔化してたり、急に話さなくなったり、機嫌悪くなったり。


そういう時の友達と自分のことを照らし合わせると、理解出来ないとは言えただ戦ってるのは自分だけではないって思うな。

親父シリーズ

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関数の問題、長さlの線分がその両端を放物線y=x^2の上にのせて動く。この線分の中点Mがx軸にもっとも地階場合のMの座標を求めよ。(l≧1)(東大)
今回のは半年以上前に受けた質問でこれは東大受ける人に良さそうと思った問題です。

それがたまたま今日、今年の東大の問題を印刷してたら何故か今年の理系の問題にほぼ同じ問題が出されていました。

ところが、質問を受けたのは入試前です。

それでおえ~?ってなってましたが、どうやら質問を受けた問題は1974年の東大文系で出された問題で今年は過去問とほぼ同じ問題が出たと言うことらしいです。


と言うことは、やっぱりこれは東大らしさきわまりない問題やったんですね。
ただ今年の理系の問題の方が誘導がついてます。

これは東大受ける今の理系の学生の数学力は昔の文系以下ってことか。

だからおじさんたちに負けないように、1974年の文系の方をやりましょう。
こっちの方が誘導がついてないぶん勉強になると思います。



(以下x^nはxのn乗を表す。)

[問題]
080521_1.jpg

長さlの線分が、その両端を放物線y=x^2の上にのせて動く。
この線分の中点Mがx軸にもっとも地階場合のMの座標を求めよ。
ただし、l≧1とする。




[解答・解説]
いつのもにようにまずは適当に図を書いてみましょう。
080521_2.jpg

1974の文系の方は誘導が無いので、まずどうやってパラメーターを置いていって解析していったらいいのか迷うとこです。
でもそういう方が東大らしいと思うからこっちの問題をやって欲しかったわけです。

この長さがlって言う条件を数式にして表すには、PとQの座標を置くと良さそうです。
P(p,p^2)、Q(q,q^2)とおくと
l^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2
です。
pとqはこの式を満たして動きます。

Mの動きを知りたいから、Mの座標(X,Y)をp、qで表してみると
X=p+q)/2
Y=(p^2+q^2)/2
です。


pとqがl^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2を満たしながら動く時、Y=(p^2+q^2)/2の最小値は?
って問題になります。
と言うことは、この二式からpを消去して、Yをqで表して…


う、うひょー!ってわけわからんことなって気づいたら橋の下で裸になって倒れてて乳首にビタミンの錠剤がセロテープで貼り付けられていました。


こういう一体何が起こったかわからんことなりたくなかったら、一回落ち着きましょう。
080521_3.jpg







もうこんな世界に入ったら、魅せられて帰ってこれなくなるかもしれんな。






さてだいぶん落ち着きました。

式がややこしくなりそうな場合、無闇に展開したり消去したりせずに少し大きな視点である数式を塊としてみたり対称性とか使ったりすると上手くいくことがあります。

このl^2はp,qの対称式になってます。
と言うことはpqとp+qで表せるはずです。
しかも
X=(p+q)/2です。
対称式を介すとX,Yであらわせそうです。
実際
pq=2X^2-Y
です。
080521_4.jpg

だいぶん見通しがよくなりました。
ただ注意しなければならいのは、p,qを消去する時にX,Yはp,qが存在するような範囲でないといけません。
文字を消去する時によくその辺を間違えます。

この場合はp,qを解に持つような二次方程式の判別式が0以上であれば良いですが、このY≧X^2はy=x^2の上側にあるときのことを示しています。
つまり放物線より上なら任意にMをとっても点P、Qが存在します(←PQの長さがlの条件がない話)
でも今回はPQの長さがlの式でその辺は勝手に満たされてるので大丈夫です。



このように東大の問題は簡単そうに見えてやってみると文字の置き方や、式の変形の仕方とかで適当にでないことをするとカオスになることが本当によくあります。
そこを根性で計算していって時間が無くなって一問も解けないことはよくある話です。

まあそれでも他の科目で稼げば年によっては0完で合格するから大丈夫と言えば大丈夫です。

と言うことで、そういうことがよくわかる良い問題です。


ここまで来ると簡単にYはXの式で表せます。
さっき注意書きしたようにXは自由に動かしてもこの式が成り立てばp,qも存在するから大丈夫です。
080521_5.jpg

後は最小値を求めるだけですが、これは文系の問題です。
だからたぶん分数関数があるから微分せずに解けってことです。

こういう
y=a/x+bx
の形は基本的にはxを両辺にかけて
bx^2-yx+a=0
としてこれがx=0以外に解を持つようなyの範囲を求めるとか二次関数の解の問題を使って逆像法の考え方を基本はやります。

この問題ではX^2=tとでも置いてt≧0で解を持つ範囲ですね。

練習としてやってみると良いと思います。


ただこの問題の場合は一項目も二項目も正なので相加平均と相乗平均の関係が使えそうです。
二項目を一項目の分母の形の関数に無理矢理して使うと変数が消えます。
相加平均と相乗平均を使って最小値を求める時は注意しなければならないのは最小値をとる時の変数の値は等号成立が成り立つ条件でその値を変数はちゃんととるのかどうかです。
ちゃんとその値をとる時は、それが最小になるから使えます。

この問題ではl≧1がここに効いてきます。

l≧1なので等号成立を満たすようなXが存在して、それがYが最小になるときのXです。

相加平均と相乗平均は意外にも最小値や最大値に結構よく使えてすばやく答え出せて便利ですが、使える条件や等号成立するかなどに気を付けましょう。



最後に今年の問題を紹介しときます。
l≧1はないのが違うとこで、理系の問題なので微分オッケーです。

こっちは傾きmをパラメーターにして解かせるようです。
傾き使ったらもっと簡単なんかなあ~。

[問題]放物線y=x^2上に2点P、Qがある。線分PQの中点のy座標をhとする。
(1)線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。
(2)Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。


高校数学の問題と解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説


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そんなんポン酢のビンで頭どつかれたこと無い人間にはわからん
そういえばこの前、神戸ハーバーランドのモスバーガーで食べててん。

なんか久しぶりに昼飯とかをモスバーガーで食べたいな思って楽しみにしててん。
昼飯としてセットとチキン一本くらいじゃ、そんな高いわけではないしな。


モスバーガーについた。

モスチーズバーガーをオニポテセットで頼んでん。
後からチキンも一本食べよかな。
あれおいしいやろ。

やっぱモスバーガーはおいしいわ。

そうやって食べてたら友達から電話かかってきて

友達「今どうしてるん?」

言うから

かずゆき「モスバーガーにおるけど」

言うたら

友達「なんでそんな高級なところで食べてるん?」

とか言うてきてオレはモスバーガーで食べる身分でない男扱いしてくるねん。



それで

友達「どこのモスバーガーなん?」

とか聞いてくるから

かずゆき「ハーバーランドやで」

言うたら

友達「ハーバーランドにあったっけ?」

とか言うから、

かずゆき「ダイエーがイズミヤになったやん。そこに出来てん。」

って教えたら

友達「オレはそんなマイナーとこ通らん」

とか何かオレを全否定してくるねん。

かずゆき「いやマイナーって…」

友達「キツいこと言うけど、一つ言うていい?」

かずゆき「え?何?」

友達「やっぱやめとくわ」



もうオレ

「そんなんやったら、もういらんわ」

って手に持ったオニオンフライをパーンって地面に叩きつけてモスチーズバーガーとか半分くらいのこしたたまま店を出て行ったもん。

それで、海を見ながらモスバーガーで

「うわ~お腹すいたな~!おいしそう!どれにしようかな~」

って楽しそうにメニューを選んでたのを思い出してた。


ほんまモスバーガーで食べるだけでこんなボロクソに言われるとは夢に思わんかった。

なんか疲れてる時に電話してみてモスバーガーで昼飯とか食べてたらもうむかついてくるんやろな。


ミスタードーナッツやったらええねん。
あれはポイントも溜まるからな。

モスバーガーは食べてても、それは言うたらあかんことや。

そんなやつは社会に出たらもうすぐ潰されるからな。
そんなもん一瞬で潰されるからな。

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整数問題、pを3以上の素数、4個の整数a,b,c,dがa+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧dを満たすときa,b,c,dをpを用いてあらわせ(京大、文理甲乙共通)
昨日に続いて2007年の京大の問題です。

この問題は文理甲乙共通です。


ちまたでよく言う整数問題です。
いかにも京大らしい、イカ京な問題です。


[問題]
080520_1.jpg

pを3以上の素数とする。
4個の整数a,b,c,dが次の3条件
a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧d
を満たすとき、a,b,c,dをpを用いてあらわせ。





[解答・解説]
イカ京な問題です。

この問題は一般に難しいとされてますが、整数問題を練習してきた人にとっては
キタキタ
ってええカモになります。

解くのにもそんな無理が無くて、整数問題の醍醐味が使われているからこの問題はかなり勉強になると思います。
特に京大受ける人はこの問題の解き方を丸暗記すると、これから生きていく上でも役に立ちます。


京大受けるならこういう整数問題はちゃんと勉強しておきたいところです。


さて問題ですが、まず素数と聞くともうやめてくれ~って頭が痛くなるかもしれません。
でもそんな君にもお兄さんがいるから大丈夫。
今日は素数の使いかたをばっちり教えます。


素数と聞くと、問題でこういう論理をよく使います。
pは素数⇔
p=mn(m,nは整数)とすると(m,n)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)

これは例えば5は素数ですが、整数二つの積で表すと
5=1・5=(-5)・(-1)
しかありえないってことです。



なんか当たり前過ぎて、ピンとこないかもしれませんがこの問題で実際にやってみましょう。
080520_2.jpg



まずはa+b+c+d=0の式があるからこれを使って一つ文字を消します。
不等式からaかdを消去するのが良さそうです。

この方針が正しいかどうかはわかりませんが、世の中まずは文字を消去してみるもんです。
なんとなく、aを消去してみました。
080520_3.jpg

不等式の方にも代入するのを忘れないでください。
こういう同値変形をしていくと条件を忘れにくくなりますが、下手に⇔の記号使って間違えても困るから本来なら解答には⇔って記号はあまり使わずにごまかすのがコツです。
この問題の答えは必要条件でええわけやし。


a=-b-c-dを代入してaを消去すると
ad-bc+p=0は-d^2-cd-bd-bc+p=0でp=(d+c)(d+b)と因数分解できます。

ここで最初に言った素数の性質を使えます。
不等式にa=-b-c-dを代入した
-b-c≧b+d≧c+d≧2d
式から、b+d≧c+dなので
d+c=-p,d+b=-1

d+c=1,d+b=p
のどちらかです。


と言うように、

pは素数⇔
p=mn(m,nは整数)とすると(m,n)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)

を使えばここまでbやcが限定されてきます。
この凄さがわかったら、大人やと思います。



mとかnとか抽象的なことを言われてもピンこないかもしれませんが、この問題がそれを実際に使えて理解するのに良い問題です。


ここまで来ると、後はbとcがdとpで表せるから不等式に代入してbとcを消去します。
080520_4.jpg


ちなみにd+c=1,d+b=pの方は同じようにやると不等式で矛盾が生じます。
なんか写真の解答ではわけわからんことしてb+dは0以下と証明してますが、こんなこと考える暇があれば解いていって矛盾を示す方が早いし実際今日解いた時もそうしました。
だからd+c=-p,d+b=-1を求めます。

不等式をpとdだけにすると
-p/2-1≦d≦-p/2
となります。

これは区間の幅が1なので、その区間には整数が1つしか入らないのでdは一つに決まるはずです。


ここでまた素数でよく使う論理が
pは3以上の素数⇒pは奇数
です。


これも偶数なら2の倍数になるから奇数になるのは当たり前の話ですが、何故か問題解いてると気づかないし使うことが意外にも多いです。
奇数ってものすごいユルユルな条件で素数から比べると情報がなくなりまくってて使えそうにないような感じがしますが意外にもよく使います。


だから-p/2-1=-(p+2)/2と-p/2の間にある整数は-(p+1)/2です。
よってd=-(p+1)/2
とdが決まります。

080520_5.jpg

後はどんどん代入していけば答えがでます。


このイカ京な問題で素数の扱いかたを勉強して明日学校で友達に自慢すればもうあれですよ。

高校数学の問題と解説

整数問題の解法の解説と問題演習

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北陸の運送業界で活躍できる子に育てるのが親の役目やろ
毎年恒例の神戸祭りに行ってきた。


今回はなんとちゃんとカメラを持って写してきてん。

そらもう神戸祭り言うたらあれやろ。

神戸サンバチームやろ。



もうちゃんと撮ってきたから、わんこらさんに任せとけ。


まあ一回落ち着け。



そんなな、焦らんでもな、後からゆっくり見れるやん。





080519_11.jpg




080519_12.jpg


おっさんばっか写すなあ!






080519_13.jpg

だからこれは誰やねん!



すまん後はちっちゃい子とかしか撮ってへんねん。

いや、そらオレも出来ることなら女性とか撮りたいよ。

別にそういう意味じゃなくて健康で文化的な最低限度の生活を営むには必要なことやしな。


でもな、フリフリの女性が来たらおっさんがぶーわー集まってきて押し合いになりながら必死に写真を撮るねん。

オレもかなりもみくちゃにされたもん。

わかるか写真を撮ると一緒にされるわけや。

しかも、この中で周りのカメラ持ったおっさんを押しのけて写真を逆行補正で手振れ防止機能のスイッチを押しシャッター押して10秒後に撮影を選択して画質調整をヴィヴィッドにして記録画素数を2560にしホワイトバランスを屋外晴れに設定しISO感度を瞬時にその場の的確な数値に設定しフラッシュを瞬き防止モードにして汗を手ににじませながらシャッターを押せるかって話や。

押されへんやろ。
そんなんやったらもう写真いらんねん。


オレは女性の写真は心の中にあるのが一番美しいと思う。

それで周りのおっさんは、男性のサンバの写真は心の中にあるのが一番美しいと思ってるわけや。
撮る必要がないわけや。
いや、撮ると何か価値が下がるんかもしれんな。

わかるよその気持ち。


だから、オレのこの心の女性の写真とおっさんたちのその心の男性の写真…あわせてみいへんか?

神戸の写真
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積分と場合の数の問題、∫[0,2]{(2x+1)/√(x^2+4)}dxと15段の階段を昇る昇り方(京大理系乙)
どうも読者に京大を目指してる人も結構いるみたいやから、今日は京大の過去問です。

京大はオレが入った時(2001年度…ぶへらっ)にはまだ難しかったらしいですが、2003年以降どんどん簡単になっていって2007年から難易度が少し上がったらしいので、まずはここ2年の問題を解説してきたいと思います。

京大は問題が非常によく練られてて数学的センスを問いてくる良問になってるのが特徴です。


2007年の理系乙の1番の基本問題みたいなやつです。

勉強するのに非常に良い問題なのでどの大学志望でもみんなやってほしいです。



[問題]
080519_6.jpg

問1,定積分∫[0,2]{(2x+1)/√(x^2+4)}dxを求めよ
問2,1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。





[解答・解説]
問1は単に積分の計算をちゃんと勉強したかって話です。
問題としては積分の計算を勉強するのに本当によく出来たかなりの良問だと思います。
積分に必要な知識、経験を良いバランスで使うように出来ています。
080519_7.jpg


ぱっと見た感じは√(x^2+4)が目に付きます。

これはアヒルちゃんがなんか間違えたこと言うてますが、√の中が二次式の時、まずは平方完成をして
√(a^2-x^2)型の時は、x=asinΘ
√(x^2-a^2)型の時は、x=a/cosΘ
√(x^2+a^2)型の時は、x=atanΘ
と置換します。


前にも東大の問題でこの√の中が二次式の積分で同じこと書きましたが、その時に覚えられなくても先に進めることでこうやって同じような問題が出て自然と覚えられるようになるって言うのはこういうことです。

この場合は√(x^2+a^2)型なのでx=2tanΘと置きます。


√x^2=|x|なので√(1/cosΘ^2)をはずす時は気を付けてください。
この積分区間では正なのでそのまま外れます。


整理していきます。
こういう三角関数が入った積分はだいたい
∫f(sinΘ)cosΘdΘとか∫f(cosΘ)(-sinΘ)dΘみたいな形にしてsinΘ=tと置換してcosΘdΘ=dtで∫f(t)dtとなるように考えると上手くいきやすいです。

もっと簡単に言うと
sinだけの式×cosΘ
または
cosだけの式×sinΘ
にします。


tanΘもsinΘ/cosΘなので-(1/cosΘ)×(-sinΘ)と言うように、cosだけの式×sinΘの形に元からなってるから1/xの積分です。


と言うことでまずはcosΘとsinΘだけにします。
080519_2.jpg

前のsinΘ/cosΘ^2はすでに-1/cosΘ^2×(-sinΘ)でcosだけの式×sinになってます。
後ろは1/cosΘなので、とりあえずcosΘ^2=1-sinΘ^2なので分母分子にcosΘをかけます。
すると1/(1-sinΘ^2)×cosΘでsinだけの式×cosになります。
だからこれは1/(1-x^2)の積分です。

この積分は分数の積分でよく使う部分分数
1/(1-x^2)=1/2{1/(1-x)+1/(1+x)}
を使います。

最後のlogは計算に慣れてないと、どうやったらこの形になるねんってよくしばきまわされてる先生がいますがこの場合は分母を有理化するとまとまります。

結構最後のこのlogを綺麗にまとめるの苦戦しますが、まあ積分さえ出来たらたぶん別にええと思います。
なんでこんな綺麗に見えるとか意味の無いことに拘るのか思いますが、なんか数学を長年やってると
(a-b)(b-c)(a-c)
を見たら、
-(a-b)(b-c)(c-a)
って書き直す以外に道が無くなってしまう病気になります。

もうおられへんねん。

それで高1の因数分解の練習問題してる子が問題集の答え見て、なんで(a-b)(b-c)(a-c)じゃだめなんですか?
ってしばいてくるパターンを今まで何回見てきたか。



と言うことでこの積分は暗記してしまってもいい程、勉強になる良い問題です。
計算も簡単やしな。




さて問2です。

どういう基準で数えあげていくか考えると、
1段昇ったのは何回かって基準で考えると、例えば8回なら残り7階になるからこれを2段ずつ昇ると話がおかしなことになります。
最後で階段無いのに昇ろうとしてガクってなって親指に全体重をかけて倒れて剥離骨折をしてしまいます。
ぼーって階段昇ってると、よくありますよね。

と言うことで次は2段ずつが何回かって基準で考えるとこれはうまくいきそうです。


一段を○
二段を×
と表記して実際に全部書いてみましょう。

テストで85通りって答えがなるやつを全部書き下した子がクラスにいて、みんなからおまえあほやろ言われてましたが結構それは大切です。
そういう子は意外と難問になると強いと思います。

まずは×が0個の時は、○が15個必要です。
080519_3.jpg

これはもう一通りですね。

×が1個の時は、階段は後13段なので○は13個です。
×を入れるところは○と○の間と両端の14箇所です。
14通りですね。

×が2個の時は、○は11個です。
×を入れるところは○と○の間と両端の12箇所です。
この12箇所に2個×を入れる方法は、12個から2個選ぶ組み合わせ12C2通りです。

×が3個の時は、○は9個です。
×を入れるところは10箇所です。
この10箇所に3個×を入れる方法は、10個から3個選ぶ組み合わせ10C3通りです。


080519_4.jpg

全部書いていきます。


15段って数字は小さいので全部書くのは容易です。


080519_5.jpg

×6個は×が二個連続して続いてしまうのでもうここで無理です。

全部たして答えです。


こうやって全部書き出すと法則がわかってきます。
だからもっと一般的に×がk個の時は○は15-2k個必要で、×を入れる場所は15-2k+1=16-2k箇所です。
これからk個選んで16-2kCk通り。

で、16-2kより×の個数kが多いと二個連続してしまうから
16-2k≧kより16/3≧kでkは5以下です。

よって答えは
Σ(k=0~5)16-2kCk
と、一般的に文字で出来るようになってきます。

こういうことをやるには、具体的に書き出していってからわかってくるもので、それが慣れてくるといきなり出来るようになってくるわけです。
つまりこの問題はわざと微妙に書き出しても出来るように作ってて、具体的に書き出してるうちに一般性が見えてくると言う数学的な思考を教えてくれてるのです。
いや、全然違うかもしれへんけどな。


更にn段の時も考えて式を立ててみましょう。


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確率の問題、四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。(東大)の続き
前回の問題の話の続きで工夫した解答を考えてみました。

[問題]pを0<p<1を満たす実数とする。
(1)四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。
このとき、頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。
ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。



[解答・解説]
080519_1.jpg

四面体の辺の結び目とかの構造は上図のようにAとBを頂点とするダイヤ型とそのAとBに横から長い紐で結んだ構造と同じです。

ダイヤ型を経由してAからBへ電流が通る事象をX
右の長い紐を電流が通る事象をY
とすると求める確率は

P(Y)+P(X∩Y~)=p+(1-p)P(X)
(Y~はYの余事象)

で事象Xは
①または②どちらかを少なくも通る事象X1と
右を通って間を通って左を通る事象X2と
左を通って間を通って右を通る事象X3
の三つにわけられてこれられは全て排反事象であるから
P(X)=P(X1∪X2∪X3)
=P(X1)+P(X2)+P(X3)

まずX1ですが、①を電流が流れる確率はp^2だから、反対に流れないのはその余事象を考えて1-p^2で、
①と②両方とも流れない確率はP(X1~)=(1-p^2)^2よって余事象を考えてX1の確率は
P(X1)=1-P(X1~)=1-(1-p^2)^2

また

P(X2)=P(X3)=(1-p)^3p^3

よって
P=p+(1-p)(P(X1)+P(X2)+P(X3))
=p+(1-p){1-(1-p^2)^2+2(1-p)^3p^3}
=-2p^6+7p^5-7p^4+2p^2+p


こうやると、なんでそんなにややこしいことしてたのかって思いますね。


高校数学の問題と解説
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確率の問題、四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。(東大)
また過去問に戻って今回は1999年の東大理系の問題です。
文系は下の問題のpのとこを1/2に置き換えた出題です。
確率とか場合の数の範囲だけで出来ます。


[問題]pを0<p<1を満たす実数とする。
(1)四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。
このとき、頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。
ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。
(2)(1)で考えたような2つの四面体ABCDとEFGHを図のように頂点AとEでつないだとき、頂点BからFに電流が流れる確率を求めよ。
080518_1.jpg




[解答・解説]
AからBへ流れるにはA→B
A→C→B
A→C→D→B
A→C→D→A→B
A→C→D→A→C→B
と三角形ACDをn周回ってBについた確率とかを足していって極限を求めればいけそうです。

どうやらそれは問題を読み間違えてるようです。
080518_2.jpg


考えてみると、電流は一瞬で流れるし全体的に自由電子が流れる現象なので一周目とか二周目とか言う概念は無いと思います。


恐らく問題は各辺はpの確率で電流が流れるか流れないか最初に決まっていて、そこに電流が流れると言うことだと思います。
080518_3.jpg

このようにpの確率でスイッチが閉じていると考えてください。


さらによく考えると電流が流れるには回路が閉じていなければならないのではないかとか考えると、考えれば考えるほど問題の意味がよくわからなくなるのでここでやめときましょう。
もしかすると、各辺が電流を通すか通さないかは独立でとか言う注意書きがpの確率でスイッチが閉じているとかみたいなイメージなことを言ってるのかもしれません、



この問題は難しいと言うわけではありませんが正解するには苦戦をすると思います。
東大ではこういうややこしい問題がよく出るような気がします。



工夫をして綺麗に解ければ言うことはありませんが実際試験会場でわけわからんことなってる時に、そうやって解けるのかって話になります。
もうトイレで和式に入ったらドアを閉め忘れて他の受験生に開けられて気まずい雰囲気になるような精神状態です。
それはオレか。


と言うことで、あまり工夫はしてませんが普通の考えで解いて正確に数えていくと言う方針でやっていきたいと思います。
たぶんそういうことをやることで基本的なことなのに曖昧になっていたり理解出来て無かったとこを発見して底力がつくかもしれません。
たぶん。



正確に数えるって言うのは簡単に言えますがどう正確に数えるかと言うと、明確なルールを決めて機械的に数えてあげようとします。
そういう基本的なトレーニングがきっと役に立つと個人的には思います。


本当に基本的なことを理解してたら出来ると言うことにはなってます。


問題に入りますがまず最初に思いつくのが
080518_4.jpg

AからBへ直接流れる場合です。
これは単純に確率はpです。

図の○はそこは電流が通ることを意味してます。
×は電流が通らないことにします。

ですが普段はあまり意識しないと思いますが、この確率pには色々なものが含まれています。
A→Bが○でA→C→Bが○とか×とかも含まれています。
このpはAからBへ直接流れるもの全てを含んでいます。


と言うことは、これでA→Bを通るものは全て網羅したことになります。


すると次はA→Bへ直接に電流が通らないものでAからBへ通るものを考えます。
080518_5.jpg

こうやって網羅した経路を次はそこが封鎖されたものを数えていくルールをはっきり意識して数えていきます。
今度はA→Bは塞がっていてA→C→Bは通るものの確率を考えます。
これも確率は簡単にp^2(1-p)と求まります。


この確率にも

A→D→Bも通ったり通らなかったりするものが含まれています。
だからさっきと同じでA→Bは塞がっていてA→C→Bは通るものは全て網羅されたことを意味してます。


そこで次はルールに則って、今までのルートを防ぐ。
A→Bが通らなくて、C→Bが通らないものを考えます。
080518_6.jpg

今度はA→Cを経由するものではA→C→D→Bが通らなければBにつかなくてこの確率は
p^3(1-p)^2
とわかります。
図で×の数が1-p、○の数がpの因子の数になってるから簡単にでます。


それでは、A→Bが×なのは前提としてますが、これまではA→Cを経由するものを全て数えたのでここの経由でBにたどりつくものを今度は全て塞ぎます。
それにはA→C経由でBにたどりつかないが遠くまでたどりつくようなものから考えます。
つまりA→C→Dが○ものを考えると
C→Bが×で
D→Bが×
ですが、これはBまでたどりつかなくなるので考えなくてオッケーです。


と言うことで、A→Cが○ものを次に考えて
C→Dが×で
C→Bが×
の場合ならオッケーです。

今度はA→Cを×にするとこれは、A→C自体が通れないのでこの場合も大丈夫です。


この二つの場合について考えます。
080518_7.jpg

一つ目はA→D→Bを○にするしかないので確率は
(1-p)^3p^3

二つ目はA→D→Bを○にするものは(1-p)^2p^2です。
これはA→D→C→Bが○の時と×の時を含んでいます、



後はA→BとA→Cを経由せず更にB→Dを×にしたものを数えることになりますが、これはA→C→D→Bの一通りに決まっていて
(1-p)^3p^3
です。


最後に全部たして
080518_8.jpg

ようやく完成です。



これを間違えずにやるのはキツいかもしれません…

ですが東大としては難易度は低い方だと思うから落としたくは無い問題です。


もっとわかりやすいやり方とかあると思いますが血吐いて死んだとしても解ける!と言う力を付けてください。
小手先の技術は通用しないことが多くて、ほんまにこんな数えあげや場合分けをするんか?ってことが東大にはやっぱりあります。
逆に言うと、基本的なことなのに解けない、基本は大切とはこう言うことかと、基本のすごさを少しはわかったような気にさせられます。


(2)は一瞬でわかると思います。
(1)の答えを2乗するだけです。
おまけみたいな感じですね。



それと辺の結び目の構造が同じであればよいので
080519_025903.jpg

こう言う図で考えた方がわかりやすいし図も簡単に書けます。

こういうややこしい確率や場合の数の問題が過去問に出てるので、この問題も色々と考察すると役に立つと思います。


高校数学の問題と解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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大人の青空教室では30cm定規を使いフトモモのしばきあいをしてます
[神戸まつり須磨音楽の森花火大会2008年]

今日は離宮公園の花火に行ってきました。

それが一回食べに行ってから電車で帰ってきて行くことになってんけど、電車待ってる時に前に並んでるおっさんが横を向いて鼻の穴に指を突っ込んで鼻をこれみよがしにほじりまくっててん。

指を刺して、

にゅ~

って鼻を外側に伸ばしながらほじるねん。


ものすごい気持ちよさそうにほじってますわ。


それを見ながら電車を待つことになった。

電車が着て乗った。

おっさんの向かい側に座って、鼻をほじる姿を見ることにした。


ずっと見てたら、鼻に刺してた指を服とか座席にガサガサなすりつけはじめた。


これはな、このおっさんが降りて、ちっちゃい子供とか乗ってきて
わ~い
ってそこに寝転びだすと言う現実の厳しさを意味してるんや。



指を擦り付けてから、なんかカバンからデジカメを出してん。



さては…おっさんデジカメを持ってるな。


そんなんわかってるわ!


おっさんは、あれや。
恐らく花火を見に行くんや。


しゃあない一緒に見にいくか。


かずゆき「あの、良かったら一緒に花火を見に行きませんか?」

鼻ほじり「兄ちゃんもあれか?」

かずゆき「はい、そうです」

ってことで鼻ほじりと一緒に花火に行くことになりました。


離宮公園につくとコンサートをやってました。

かずゆき「歌ってるの風かおるですよ、知ってますか?」

鼻ほじり「あの演歌歌手か?」

かずゆき「そうそう、あの宝塚歌劇団出身のシャンソンの人」

鼻ほじり「わしも若いときは、過激なことようやったわ。
この辺の女は全員わしが手つけた」

って話が結構鼻ほじりとあって盛り上がった。



花火が始まった。

080517_3.jpg

鼻ほじり「それ、ええやないか」


080517_4.jpg
鼻ほじり「なかなか、上手いやないか」



080517_5.jpg

鼻ほじり「上出来や」

ええから、鼻ほじりは黙っといてくれ。


080517_6.jpg

鼻ほじり「でも、わしに比べたらまだまだやな」


080517_7.jpg

鼻ほじり「色々な写し方のテクニックとか教えたろか?」

こういうのはどう対応したらええんやろな。



この離宮公園の噴水も色々な色にライトアップされてて綺麗やった。

080517_1.jpg

080517_2.jpg

デジカメで写真を見てると、横から鼻ほじりが

「綺麗にとれとるやないか」

って言うてきたけど、この噴水を見てるとそんなことはもうどうでもよくなった。

鼻ほじりは鼻の穴にティッシュ詰めてて赤~くなってたけど、そんなことはもうどうでもええんや。
おっさんがデジカメの液晶に触って、何かちっちゃい粘土状のものが付いたけど、もうそんなことどうでもいいじゃないか。

神戸の写真

おっさん
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問題訂正
下の問題、間違えててしばかれました。

a,b,cはc<b<aを満たす自然数とする。
ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1
が成り立つ時a,b,cを求めよ。

解答じゃなくて問題文を書き間違えてました。
a、b、cの大小関係が反対です。
家に帰ったら直しますわ。

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整数問題、ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c<b<a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは?
整数問題は甘くて切ないことで有名ですが、今回は整数問題を取り扱いたいと思います。
質問された問題なので出題は不明です。



[問題]
a,b,cはc<b<aを満たす自然数とする。
ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1
が成り立つ時a,b,cを求めよ。




[解答・解説]
この問題は整数問題でよく使うパターンを上手く使えば意外に結構簡単に解けます。


まずは
ab+1≦abc
について考えてみましょう。


080516_3.jpg
ab+1≦abc

ab<abc

1<c

2≦c


これは整数ならではの変形です。


整数でよく使うのが

m、nを自然数とすると
n+1≦m⇔n<m

です。

具体的に言うとエンピツが3本以上ってことは2本より多くて、
エンピツが2本より多いってことは3本以上ってことです。


当たり前のようですが、これを上手く使うと
ab+1≦abcがab<abcになって余計な1が消えてabで両辺割れます。

こうやって不等式が不明な文字で割れるように持っていくと
1<c
が出ます。

1より大きいってことは2以上つまり2≦cです。


もっかい言おか?
m、nを自然数とすると
n+1≦m⇔n<m
をよく使います。


今の場合必要十分な変形でしたが、整数特有の変形をして必要条件な範囲を出していって答えの候補を絞っていくのがコツです。


次は右側の不等式abc≦ab+bc+ca+1を変形してみます。
080516_4.jpg
abとbcとcaではabが一番大きいです。
と言うことは右側は3abで抑えられるかもしれません。
そうなればabc<3abになってabで割れます。

まず
ca+1<ab
です。
これはc<b<aだから当たり前かもしれませんがちゃんと計算するには
ca+1よりはca+aの方が大きくて
ca+a=(c+1)a
またbはc+1以上なので
ca+1<ab
とやればやれます。
ちょっと複雑なことやってますがca+1<abのはずとわかるところが大切です。

またbc<abは当たり前です。
と言うことは、

ab+bc+ca+1<3ab
になるから

abc<3ab
でabで割れて
c<3

となって2≦c<3だからc=3と決まります。
こうやって一番大きな文字の項abで抑えていくとabで割っていくのがコツです。

整数特有の変形で必要条件から出た範囲で答えを絞るどころか、答えが出ました。



c=2を代入しましょう。
080516_1.jpg
左の不等式に代入しても何も出ないので、右の不等式を考えます。
すると
ab≦2b+2a+1
になります。

またここで同じように一番大きな文字の項2aで抑えていってaで割ったら何か範囲が出ると思われます。
だから
2b+1<2a
にならないか考えます。
これはb<aだから当たり前ですが一応さっきのように
2b+1<2b+2=2(b+1)≦2a
とやれば計算で出来ます。

よって
ab<2a+2a=4a
になってaで割れて
b<4つまりb≦3とわかります。
c<bつまりbは2より大きいので、b=3と決まります。


さて、
m、nを自然数とすると
n+1≦m⇔n<m
をよく使うことを頭の片隅に入れてください。


c=2、b=3と決まりました。
もう後は簡単です。
080516_2.jpg
代入すると
3a+1≦6a≦5a+7
でこれを解いてa≦7だから3=b<aとあわせて
a=4,5,6,7
とわかりました。



この問題は答えが決まりましたが、だいたい範囲を出すと整数だから候補は絞られて後は実際に代入して調べてみるって感じになります。


実はm、nを自然数とすると
n+1≦m⇔n<m
をよく使います。

もうええわ!


他の解き方には
2≦c<b<aのところから


2≦c<b<a⇔0≦c-2≦b-3≦a-4

と全部≦の形にしてこの前の問題1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)を示せ。(a,b,cの三角形の辺の長さ)みたいにx=a-4、y=b-3、z=c-2と置くと0≦z≦y≦xと条件が簡単になってabc≦ab+bc+ca+1に代入してxyzで表すとそこそこ解けます。

こっちの方がどっちかと言うと機械的に解けるから、解けない時はこれもためしてみましょう。


もうひとつの解き方はまた2≦c<b<aのところから
f(c)=ab+bc+ca+1-abc=(b+a-ab)c+ab+1
2≦c<b
とcの一次関数と考えてb+a-ab=-(a-1)(b-1)+1<0だから減少関数だからf(c)≧0(←示すべき不等式)であるにはf(2)≧0であることが必要で
f(2)=2b+2a-ab+1
またf(2)を
g(b)=2b+2a-ab+1=(2-a)b+2a+1
3≦b<a
とbの関数と考えてこれは2-a<0だから減少関数だからf(2)≦0であるにはg(3)≦0が必要であるとわかります。

g(3)=-a+7よりa≦7
でaの考えられる候補は4≦a≦7よりa=4,5,6,7とわかります。

まあこういう感じで、しんどいですが機械的にいつかは解けます。
孤独との戦いです。

これは解析的な解き方ですね。

高校数学の問題と解説

整数問題の解法の解説と問題演習

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リアル一休さんは橋を渡るなって漢字で書いてあったらしい
今日は近家におったら身体がだるいから夜の7時くらいに散歩してきた。

怪しいおっさんやったんやろな。


だいぶん暗くなってきた。
こんな夜道を一人で歩いてたら危ないかもな。

それでマンションの前を通ったときになんとなく窓を見たら、おっさんがベターって窓に張り付いててこっちを無表情で見ててん。


オレはそれを見て


あ、このおっさんは離婚もして息子も母の方についていって寂しいねんな


って一瞬で悟ったから、ドアのとこに行って

ピンポ~ン

ってベルを鳴らした。


おじさん「おお、なんや。
どないしたんや」


かずゆき「一緒にゲーム2千円
耳掃除5千円
一緒にお風呂7千円
でどうですか?」



って言い終わるか言い終わらないかの瞬間に

パーン!!

って頬っぺたをぶたれて、髪の毛を掴まれて壁に

ガン!
ガン!

って頭を打ち付けられて、ドサって壁に倒れ掛かったとこをお腹に膝蹴りを

ぶほー!ぶほー!

ってかまされまくって、血が口からツーって流れて白目むいて倒れた。


おじさん「自分を安売りするな言うてるやろ!」


かずゆき「お…おじさん…?」


おじさん「ええか、おじさんはな、自分の身体をもっと大切にしてほしいんや」


かずゆき「お…おじさん…?」


おじさん「今日は帰って休め。疲れてるやろ。」


こんな僕を本気で怒ってくれた人、初めてで正直嬉しかったです。



安売りするな、その商品に見合った価値の値段で売れか…
僕はおじさんに言われた言葉を繰り返し口ずさみながら帰った。

頬っぺたが痛むとおじさんの分厚い手の暖かさが甦ってきた。
かずゆきは、そのたびに自分のお金は自分で守らなあかんと言うおじさんの教えを天に向かって約束をした。

おっさん
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不等式の問題、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)を示せ。(a,b,cは三角形の辺の長さ)
今日の問題は数学Aくらいの知識でたぶん出来る問題です。

質問を受けた問題なので出典はようわかりません。


[問題]
三辺の長さがa,b,cの三角形があるとする。
次の不等式を示せ。
1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)
080516_232843.jpg




[解答・解説]
この
a+b-c
b+c-a
c+a-b
って形を見て何かを感じるような感受性の強い子に育ってください。

そうです、この形はあの三角不等式を思い出させます。
『三角形の 2 辺の長さの和は残りの 1 辺の長さよりも大きい』
a+b-c>0
b+c-a>0
c+a-b>0

三角形の辺の長さと言われた時にそれらの数字が満たさなければならない条件は三角不等式であることは覚えておいてください。

反対にこの三角不等式が成り立っていないと三角形になりません。


ということで、a+b-c、b+c-a、c+a-bは正だから
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)を両辺にかけて整理したら不等式がたぶん証明出来なくも無いと思いますが、6行目辺りで腱鞘炎になって気絶すると思います。(←実はノート何ページにもわたって計算をした)


何故こういうことになるかと言うと三角不等式が複雑すぎてこの性質を生かすのが難しいわけです。
と言うことで、こういう時はどうするかと言うと

a+b-c=x
b+c-a=y
c+a-b=z

と文字を置き換えると条件が
x>0
y>0
z>0
とかなり条件が簡単になります。

しかも

x+y+z=(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)=a+b+cになるから問題の不等式が

1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z)
(x>0、y>0、z>0)
とかなり簡単になります。

こういう文字の置き換えを使って条件を簡単にすると問題が凄い簡単になることがよくあるので出来ない時は試してみましょう。



080517_000143.jpg
更に同値変形していって、
(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz≧0
を示せばよいことになります。


展開すると-6xyzの項だけマイナスになってます。
これを上手く対称性を生かして

y(x-z)^2

みたいな形にしていけないか考えてみます。

たまに使うから、こういう変形は覚えといてください。


二乗は0以上だからこれで不等式は証明できました。
一応、統合成立を求めておいたらよいかもしれません。

a=b=cは正三角形ですね。


と簡単には書いてますが、実際この問題は難しいような気がします。


高校数学の問題と解説
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サンタクロースにニンテンドーDSを頼んで朝起きたら靴下に万歩計が入ってた子は不良になるかどうか
昨日は大学の友達が4人くらい遊びに来て離宮公園に行った話書いたけど、その後みんなで須磨海浜水族園に行ってん。


ちょっとアスレチックを張り切り過ぎてドロドロになってたけどな。

水族園なんか、かなり久しぶりやな。


それでエイとかサメとか見たり、魚ライブとか言うて鉄砲魚が水面上のエサを口から水鉄砲を発射してヒットさせて落ちてきたのを食べたり、電気ウナギにドジョウを放して電気を流して感電させて食べたりとか、ピラニアの集団にエサを掘り込んで一瞬で無くなるのとかを見た。


懐かしいわ。

でも思ったよりみんなめっちゃ楽しんでるな。


それからイルカショーを見た。
080515_10.jpg

この二匹がまだ子供らしいねんけど可愛いねん。

080515_11.jpg

こんな飛ぶもんやねんな。
昔こんな高く飛べるやつおらんかったと思うねんけど、


かなり懐かしいな。


イルカショーをただしとたけしの間に座ってみてたら、なんか背中を触ってきてん。

それでまた、たけしがホモごっこしてきたんかなとか思って後ろ見たら小さい子がオレの背中をトントンしてて女性が

「すいませ~ん!!」

ってその子を抱えてどっかいってん。


それからチーム内でのポジションがパパになってもた。

パパオーラを出してるんかもしれへん。


でもな、オレ普段からよくこうなるねんけどな。

子供とかが勝手に面倒を見てきたりするねん。



それで須磨海岸とかも見て、須磨で一体何をするんやって思ってたけど、こんなに楽しいところは無い!って感じで終わった。
かなり意外やったな。
楽しめるとはオレが一番思ってなかったもん。
なんか離宮公園とかすぐ北に山とかで遊べるし、水族園とかすぐ南に海があるかって一日で両方遊べて一通りのもんがあるところがかなり良かったみたいやな。
こういう山と海に囲まれてて箱庭のように狭い範囲に一応何でも一通り揃ってるのが神戸の特徴やねん。


それで家に帰ってただしに貰った手作りケーキをリビングに置いて今日は一時間くらいしか寝てなかったから一回寝た。


起きたら、

おかん「なんや、このケーキはてる子が作ったんか?」

って

そうかあ、あいつも女性から手作りケーキを貰うようになったか

って感じで家族会議になっとった。

もうへなへなへな~って否定する元気さえ出えへんかったもん。


わかるやろ、たけしもまさゆきも。


しかも、てる子はケーキ作るような人材ではないやろ。

日本酒で頭どついてくる人材やろ。



それで

かずゆき「みんな、こんな楽しいとこ無いみたいに言うとったで」

言うたら、泣きそうになりながら

おかん「あんた…!!三ノ宮も行かへん言うから、どんなけ心配したと思ってるの!」

って言うてきて、

かずゆきがこんなとこ何も無いやんってみんなに責められて落ち込んで帰ってきて一人で泣きながら寝てたと思ってたらしい。

とりあえず、このおばはんをなんとかしてくれ。

おかんが登場する話

神戸の写真

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回転体の体積の問題、回転体を平面で切ってできた立体図形の体積(東大理系)
今日の問題は1983年の東京大学の理系の問題です。

(以下、x^2はxの二乗を示す)
[問題]
放物線y=3/4-x^2をy軸のまわりに回転して得られる曲面Kを、原点を通り回転軸と45°の角をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ。




[解答・解説]
難易度としては難しいと言うより方針をミスると、どえらいことになります。
一回はこういうこと経験をしとくと良いと思います。
立体図形の体積を求める積分の問題としては良い練習にはなると思います。

まず最初はとりあえず図を描いてみることが一番最初にやることです。
080515_8.jpg

この問題の図は描くのちょっと難しいかもしれません。


図を見ると平面Hで切れる直前まではただの回転体だから、そこで分けて考えたらよさそうです。
080515_9.jpg

でこうやると血吐いて肋間神経痛になって倒れました。


たぶんこうやってしまうと積分得意な人が

この問題イケるんちゃうん!

って必死に積分を計算してるうちにどんどん時間が立って計算を書いては消して、書いては消してる内に紙がびり~!!ってなって
何もかも終わった!
って人生が変わることになります。


まあ出来んこと無いんかもしれへんけどな。


回転体って聞くからy軸に垂直に切って考えてしまうのかもしれません。
なんかおかしいなって思ったら、一回落ち着いて切り方を変えてみましょう。

と言うことで単純にx軸に垂直に切って求めます。
080515_1.jpg


やり方は立体の体積を積分で求める問題の典型的なパターンで

x=kの平面で切って、その断面積を求めます。
そしてその断面積をx軸に沿って積分します。



断面積を求めるために、まず回転体の方程式を求めましょう。

yに垂直なある平面で、回転するまえの図形において|x|が回転した時に半径になります。
x^2=|x|^2でこの|x|のとこに回転した時の半径√(x^2+z^2)を入れると完成です。


y=3/4-x^2とy=xの交点を求めておいてkで積分する範囲を出しときます。
080515_2.jpg


x=kで切った断面を図に書きます。
yz平面に正射影した図形を書きます。


080515_3.jpg

放物線のとこは回転体の方程式にx=kを代入した式で
下の直線のとこは平面y=xのとこなので、x=kを代入してy=kになります。

この放物線と直線に囲まれた面積S(k)を求めます。

これはよくやったことあると思います。

交点のx座標をα、β(α<β)として
∫(x-α)(x-β)dx(αからβまで積分)=-1/6(β-α)^3
を使ってすばやく出しましょう。

これを使う時は写真に書いてあるようにやると良いです。



後はS(k)をkで積分です。
080515_4.jpg

こういう√の中が二次の場合、とりあえずは平方完成するのがコツです。
この問題はcosθ(もちろんsinθでも良い)で置換すると出来ます。
平方完成して
√(a^2-x^2)の形はx=asinθ
√(x^2-a^2)の形はx=a/cosθ
√(a^2+x^2)の形はx=atanθ
に変換するとだいたい高校の問題なら上手く行きます。
他にもやり方ありますが、まあ色々言いすぎてもあれやし三角関数の置換だけでええか。
√(1-cosθ^2)=|sinθ|なので注意してください。
例えばθ=3π/2なら
√(1-cosθ^2)=1
sinθ=-1
だから、√(1-cosθ^2)=sinθではありません。

この積分区間ではsinは常に正だから絶対値は外れます。


080515_5.jpg

もうsin^2とかが出てきたら、倍角に直して積分って言うお決まりです。
文字はこのくらいのサイズの方が見やすいですね。

たぶんだんだん慣れてきたら、見やすくなると思います。
これで計算は終了。
答えはかなりシンプルです。



他のやり方としては、平面y=xに平行に切っても出来ました。
080515_6.jpg

注意して欲しいのは、積分は積分する面に対して垂直な軸にしなければなりません。

予想としてはこの断面は楕円になりそうです。


この平行に切った面がどんな図形なのか積分のこともあるし、xy平面を45°回転させたXY座標を用いてみるとスッキリしそうです。

座標の回転は習うのかどうかわかりませんが、極座標で考えたらわかりやすいと思います。

そして回転体の方程式に代入してX,Yであらわします。
平面y=xに平行な面、Y=kで切ります。

もうしんどいからYそのままでやります。
Yは今、定数と考えてください。
こうやって説明書いてる方がもしかするとしんどかったかもしれません。

代入して整理すると楕円になります。
080515_7.jpg

Xとzで平方完成すればよいです。


後は(x/a)^2+(y/b)^2=1の楕円の面積はabπを使います。

これをYで積分すれば求まります。

この方針は最後の積分があほみたいに簡単になりますが回転座標はあまり使ったこと無いかもしれないし楕円になるとかそんなん普通わからないと思います。


高校数学の問題と解説
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関西人と完済人は意味は似てるけど読み方が全然違う
今日は昨年から一緒に飲み会してた京大の友達が四人くらい須磨まで遊びに来た。

今は大学院やな。



卒業した後も、遊びに来てくれるとは良い仲間に恵まれたな。

080514_2.jpg

そんな須磨で一体何を楽しむんやってことで離宮公園に行った。


080514_1.jpg

うへ~。



ただしを作ったケーキ食べた。
おいしかった。
しかも、もう一つ作ってきたらしくて家族で食べられるようにもらってしまった。

オレはケーキを受け取った時、ただしの愛を感じた。

ケーキのぬくもりはただしのぬくもり。

ケーキの甘さはただしの甘さ。


それで小学生の子供たち一緒に子供の森冒険コース言うアスレチックに行ってん。


最初ちょっと気が引けてんけど、ただしがいきなり

うへ~

ってロープの網を昇って高台に昇ったり、ハシゴを降りてロープで重りが吊るしてあるのを両手で思いっきり引っ張ったりして本気になって遊びだしてん。

それ見て


こんなことする子じゃなかったのに…


ってオレもたけしも心を打たれて、後に続いてやることにした。


てる子とたか子は最初の橋渡るとこで、下の地面が見えるから恐くて無理ってことで帰っていった。

オレのおかんでさえ40歳くらいの時にその橋を普通に渡ってロープ持って急な丸太の坂昇ったりしてたことを言うと、しばかれると思ったから敢えて言わんかった。


それにしても、かなり難易度の高いアスレチックやな。
ここで縄とか踏み外したり、滑ったら死ぬやろって言うとこがあるもん。

なんか小説の宝島がテーマやねん。

一周500mで40~50分かかるらしい。


三人とも

楽しい楽しい

ってテンションがあがってもて、だんだん子供らがおらんようになって徹底的にアトラクションをクリアしていくと言う本気モードになっていってん。

もうただしが丸太が並んだ壁で微妙に足と手がかけらえるように切り込みが入ったのとかを一回も地面に落ちずに制覇したりして凄かった。


どんどんロープの縄を昇って展望台に行くとこも最後昇るところの斜面が90度を超えてるねん。
そこを昇るんはええねんけど、上の水平な面に這い上がる所がまた落ちそうで恐いねん。
またカバンを持ってるしな。
しかもオレはただしからケーキもらったから、二つカバン持ってるもん。


そして展望台に登って須磨の景色を眺めた。

080514_3.jpg


それでイカダが岸から岸へ張ったロープに滑車で空中に吊り下げられていて、それを手綱で引きよせて乗って

うへ~

って発射して向こう岸に凄い速さでたどり着くやつがあってん。


オレとただしがそこに着くと、たけしが一人で

「これ、重い…」

ってロープを必死に引っ張っててん。


それで先にオレとただしがうへ~って発射して向こう岸に行ってん。


最後にたけしが自分も行かなあかんって焦ってイカダに乗って、うへ~って発射してん。

それで岸にたどり着いた時にスローモーションになって、たけしが足を上げて降りようとした時に

たけし「ああっ!!」

ってイカダが反対側に向かって進み出して、オレとただしがたけしの方に向かって

ダッダッ

って走り出して

かずゆき&ただし「たけし~~!!!」

って叫んでイカダを掴もうとして、

間に合うか!

って2cmくらいのとこまで手が近づいたけど、そのままたけしを乗せてイカダが

うへ~

って戻っていって、たけしは丁度岸と岸の間に取り残されて肋骨が折れて肺に刺さって血吐いて気絶してん。


シーン…

それから、しばらく二人とも放心状態になった。

どれくらいの時間がたったんやろ。

13秒くらいかな。

たけしの分も頑張ることがたけしのためになるんちゃうんかってことでオレらは進むことにした。


オレとただしの前に今度は90度くらいの急斜面の丸太に結び目のついたロープが釣り下がっててん。

これを昇れというのか。

まず、ただしが昇っていった。

そうやな、オレも落ち込んでいる場合じゃないな。

ただしを見習わなあかんってロープを手にとって昇っていった。


それで一番上に着くところで足をかけたようとした時に、スローモーションになって足が
ズルっ

って滑って、

かずゆき「ああっ!!」

ってズルズルズル~滑っていって、地面に頭から突っ込んで首が変な方向に曲がって首の骨が飛び出して動けなくなった。


かずゆき「ただし、後は任せたぞ…」

バタ。


それから、子供の森の管理人のおっさんが言うには

ただしは宝箱を見つけたけどもう既に中身が無かったらしい。

それで

あんなに悔しそうな、ただしの顔を見たんは初めてや

言うてたらしい。

神戸の写真

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暑い時は背中にウナコーワ塗りまくれ
最近、数学の問題を解説し始めたけど、少しは役に立つんかなあ。


前までは他のSNSで数学を教えててんけどなあ。
なんかSNSは話してもあわんし、うざがられたりして意味不明やったからずっと辞めようと思っててん。
そこで自分で数学のコミュニティ作ったら最初は全然集まらんかってんけど、だんだん人が集まってきて中高生から高専の学生や公務員試験受ける社会人や講師兼任してくれる数学科の大学生まで集まってきてん。
塾講師まで入ってオレの説明の仕方を勉強してたという変なことになってたな。

そうしてるうちにあほみたいに人が集まってきて、このままやったら増えすぎて質問に答えるの追いつかんから500人くらいで止めといてん。

集まる時はごっつ集まるわけやな。

人が集まることで自分が引きたてられて、そのことによって更に人が集まってきて、また更に引きたてられて、なんか知らんけどカリスマ化していくと。

でもオレ自身が大学院も落ちてもう立場がなくなってたし就職も悩んでたらアクセスせんようになったな。


まああれだけ毎日数学の問題を写メとかに書いて教えながらよく大学院も筆記試験に合格したもんやな。
だからと言って教えなかったらその時間は何もせえへん上に、結局だるいまま勉強せえへんかったりするけど。


オレみたいに何もかも社会的なもんを無くした人間が教えても…って引っ込み思案になってきてしまってん。


でもだいぶん時間もたって就職は予想よりもはるかに厳しいとわかってきたことで反対にオレ自身に気持ちの整理がついてきてん。
そんなもん塾とか就職を受けようものなら書類選考でそっこう落とされまくったからな。
だから自分の実力を自分で見せて自分で道を切り開かなあかんねん。

ブログでもそんなん記事を投稿してもいつも却下されるし、そんなメジャーなサイトに書き込むようなことはせえへんからな。

人を頼るのは苦手やねん。
でもほんまは助けて欲しい時がよくあるわけや。

どっちやねん!

妹とか年下の人に頼るのは得意な方やねんけどなあ。
自分に無いものがたくさんあって必要としてるんかもしれへん。


それにまた問題の解説をやるようになったのは、わからん問題あったらこんな汚い字のオレをわざわざ追ってきて教えてくれって言う人がいたりとか、今だに必要とされたり、新たに教えてくれってメール来るようになったのが大きいねん。

だからまあこれからは、ブログで同じことをやるか。
やっぱりブログやとたくさんの人が気軽に見られるしな。


本当は質問されたのに答える方が全然やる気が出るけどな。

質問された問題を紹介する時は、誰からの質問かとかは絶対書かへんから大丈夫。
そういうのなんかもっと出来るのにこんな簡単な問題わからんのかとか思われたりとか色々あるやん。


今は仲間も集まってきてるし微妙に風が吹きつつあると感じるねん。

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