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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

サロンパス買うぐらいのお金あったら、何でも出来るやろ
昨日オレの家では親父が

「ミンチカツが欲しかったよ~」

ってキレだして、家の中のもんを破壊しだして大変やった。



世の中、ミンチカツさえあれば何もかも解決するからな。

でもミンチカツがなかったら一家離散になると言う、諸刃の剣でもあるわけや。
そもそもミンチカツがこの世に存在せんかったらこんなことならへんからな。

しかも黒豚のミンチカツじゃないとあかんねん。



例えば、小学生の時に親に新しいゲームソフトを買ってもらったから一緒にやるために友達を家に呼んで遊んでた時に
「別に、人の勝手やろ!」
って喧嘩になって、友達がそのゲームソフトを手にもって
「そしたら、これも人の勝手やな」
って
パーン!
地面にゲームソフトぶつけて、
「お…おまえ…!」
って微妙な空気になって後ろから妹が
「お兄ちゃん…」
って覗いてて見てはいけないものを見てしまった気分にさせたりとか誰もが経験したことあると思うねんけど、それもミンチカツさえあれば

「あ、そうか…挽肉と小麦粉と衣と溶き卵はそれ自体ではたいしたことないけど、みんな協力することでミンチカツになれるんか。
オレらもお互いに勝手なことしてたらあかんな。」

って気づいて

「ごめん、オレが悪かったわ。自分一人でやれると思いあがってたわ」

「いや、オレも悪かったわ。オレもお前がおらなあかんしな」

って握手して後ろから妹が

「なんか、お兄ちゃんばっかり良い友達がおってせこい…」

って仲直りするわけや。



ところが、喧嘩してる時にミンチカツがなかったら

友達「おまえんち、ミンチカツ一つも家にないん!?うわ…」

って次の日、学校でみんなにミンチカツ一つも無いことがみんなに知れわたってて、いつも一緒に遊んでたグループに近づくと、
サー…
って去っていってみんなに無視されて、廊下すれ違う時に

「キモ」

ってささやかれるわけや。

それで家に帰って一人で泣いてたら、妹に
「あんた友達から無視されてるやろ。」
ってツッコまれるねんけど空気読んで、お母さんには言わんようにしてくれるねん。



この話、オレのことやないか!


とりあえず、ミンチカツは諸刃の剣ってことさえわかってくれればオレはそれでええわ。

親父シリーズ

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障子に穴を空けてそっと覗いたら、おっさんが筋トレしてたことよくありますよね
だんだんブログがひろがってきたな。
そう言い続けて何年もたつような気がするけど。


でも、結構ブログを書くって言うのは大変なことやねんな。

人間の心理って言うものを感じとっていかなあかんからな。


例えば家に帰ると一匹のスヌーピーが無防備にも裸で寝ていたとしよう。
080703_2.jpg

さあ、どうするか。




布団をかけてあげる。
それは面白い考えやな。




ただ、それはスヌーピーって言う人形にある清らかなイメージ持ちすぎてるんちゃうかな。
そして、そのことが無意識にスヌーピーを縛り付けてるんちゃうか思うねん。
スヌーピーって人形はこういう人形やから、こうでなくてはならないみたいに考えすぎやしないだろうか…。
もしそうだとしたら、それは結果的にスヌーピーを不幸にするおそれがあるんちゃうかな。




一度は人を傷つけることになっても、幸せになるために勇気を持ってほしい。
キスしてしまったらええやん。


080703_4.jpg

はぐ、う~

080703_3.jpg

あ、う、う…

080703_1.jpg

う…あう…


080703_5.jpg

ふっ

最後に口を拭って、目で殺すねん。



ほら、スヌーピーを見てみろ。
080703_2.jpg

「かずゆきさんに…こんなにされたら…わたし…」


ってもう頭真っ白になってるやろ。


元から白いかもしれへんけどな。



オレはスヌーピーと幸せになる。

みんなも幸せになるために勇気を持ってほしい。

スヌーピー

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人間はお月さん見てると丸坊主の子を後ろからおもいっきりどつきたくなるらしい
今日は起きたら、去年セミナー一緒やった友達のてる子からメールが入ってて、
ブログを発見したとか書かれててしばきまわされました。


ちょっとまだ肩が脱臼してるねんけどな。


ちゃうちゃう、オレは教えんかったわけちゃうねん。
別にオレは自分から教えたりせえへんねんけど、勝手に京大生に広まっていくわけやねん。

それで最初にセミナー一緒やった、いつもまさゆきって書いてる友達が実は発見しててセミナー終わってから実は読んでたことを告白されて

まさゆき「てる子ネタはおもろいから、黙っとけ」

言うてたから黙ってたわけや。
オレは悪くない。
全然悪くない。

まさゆきはセミナー中、何回もてる子って名前呼びそうになって笑いそうになってたらしいからな。


おかんはこのことについて

「てる子パソコン使えるんか?あんたアナログの子や言うてやないの」

とか言うとった。


オレの家ではおかんも何故か、てる子って言うてるからな。



てる子って名前はいつも全然知らん人を全然関係無い名前付けていきなり呼んだりするからそうなっただけやねんけどな。

まあ敢えて説明するなら、それはオレが高校生の時やった。

授業中に隣に座ってた奴がオレのこと全然芸能人の名前とか知らんやろって馬鹿にしてきて

「なんか綺麗やと思う女優の名前とか言うてみてん」

言うたら、

かずゆき「オーロラてる子」

って答えたら、そいつと周りの女子が

ぶほー!!

って血吐いて倒れて、しばらく授業が停止してん。



なんか後から聞いた話しでは、オーロラ輝子はNHKの連続テレビ小説の演歌歌手らしいな。

その時は友達が昔オーロラ輝子が好きとか言うてたのを真に受けて、そのまま言うてもてん。

だから、てる子はそこから来てるわけや。



とりあえず、てる子の
左Haar測度の存在の証明で先生が机の下で倒れてた話しとか、
飲み会でしばき回されて気絶した話しとか、
鍋パーティーでオレンジ色のコートが鍋に落ちて気まずくなった話しとかについて、
あばら骨2本くらいで許せてもらいました。

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今日は学研のおばさんの包容力を教えたるわ
今日は家庭教師してたときの夢を見てん。

家に生徒とそのお父さんがおるねん。
それで、オレが人差し指の爪の尖ったとこをお父さんの足の裏にそっと当てて

ツー…

ってなぞるねん。


そしたら、お父さんが
ひげぇあーー!!
って白目むいて痙攣するように暴れるねん。
だから生徒に
「ちょっと、押さえて」
って足とか押さえてもらって、また足の裏
ツー…
ってやったら
うぎょらったー!!
って狂ったように暴れ出すねん。
もうビクビクやねん。


そこで目が覚めた。


そういう夢を見た自分が凄い不安になった。


でもそういうことをほんまにしたら、みんなが悲しむと思ったから我慢した。

オレってホモりやすいんか。


自分がホモれないなら、オレが強引にホモるしかない。

やっぱり一日考えたけど、人って何回足の裏をなぞられてもくすぐったいんやと思う。

靴下履いてても脱がせてまうんやろうし、穴が空いてるとこを重点的にくすぐってしまうんやと思う。


そら真っ赤な顔して耐えられるやつもおるんかもしれんけど、それは一部の人間や。

だからそれが水虫のうつし合いになるとわかってても、すぐに男同士で足の裏をくすぐりあってしまうねん。


それで実は自分が1番そういう人間なんやと思う。

まあこうやって家庭教師先のお父さんの足の裏を一回でもええからくすぐりたいと言う自分の醜いとこを晒しておいて、

人の足の裏をくすぐるとはどういうことなのか、それをもう一度考えてみたいと思う。

見た夢

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正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。(東大理系)
7月になりました。
と言うことは、論理的に考えれば先月までは6月でした。

さて今回は東大理系2008の問題の第三問です。



[問題]
080630_1.jpg

(1)正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。
この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。

(2)
正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心をG1,G2とする。
G1,G2を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただし八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。





[解答・解説]
(1)は平面図を描けってことですが、これって正直どこまで説明して証明して書いたらいいのか全然わかりません。


ただ自分としての解釈は、厳密な証明より正射影の図が描けるかどうかって言うことを聞いてると思います。
やっぱり大学でも数学の先生に言われることはまずは絵を描けってことですが、絵を描いて考えて計算できるか証明できるかって言うことを求めてると思います。
たぶん。


これが描けない人は、たぶんノート落書きして先生にしばかれて刺し歯がぶっ飛んだことが無いんやと思いますわ。



普段から立体的な落書きをせなあかん。


なんて言うか、みんなオレの絵をバカにしてるやろ。
ちゃんと立体的な絵とか描けますよ。
080630_2.jpg




そうやって立体的な絵を練習したところで、この(1)は絵を描けるかどうかにかかってます。
そらイメージ力があれば、すぐにわかるかもしれません。
ただイメージ力があるかどうかと言っても仕方ないですが、絵を描く練習ならある程度みんな上手くなっていくと思います。

まずはよく見かける正八面体を書いてみましょう。
意外にも結構難しいです。
080630_3.jpg

今度は、その正八面体を横に倒してみましょう。
正八面体の特徴として、向かい合う面が平行です。
まあ(2)に書いてありますが。
だから、倒して一つの面が水平になるとその向い側の面も水平になります。

横に倒した図を書くのはちょっと難しいですが、最初に正八面体を書いた紙をくるくる回すだけでも出来ます。

横に倒した図を描くと、それを真上から見た図は水平になっていて二つの向かいあった正三角形の面が反対向きに重なりあってることがわかります。

後はその二つの重ねた正三角形の頂点同士を結んでいけば出来ます。

六角形になりますが、これは正六角形です。

何故かと言うと、上図においてAFで線対称で図のように120°回転させても対称性から元の図に一致するはずだからです。
それかAFとBDとCEに線対称だからでもオッケーです。
その辺のことは書いた方が良いと思います。


(1)の平面図を描けって問題は(2)をやるための誘導です。
だからまずは絵を描けってことをしつこく要求してるわけです。

と言うよりも、オレがしつこく要求してるんかもしれませんが。


ただ(2)はそうは言っても内容的には難しいわけではありませんが、やり方によっては処理が複雑になりやすくて正直試験会場で時間内に出来るのか言うと厳しいような気がします。
後回しが無難かもしれません。

そういう自分の力量と問題の難易度を見極めたうえで判断を下せるかって言う判断力が実際合格するに非常に重用だと思います。
それが上手い人と上手くない人で定期試験はイマイチなのに何故か模試になると点数がとれるとか、その反対の人とかに分かれてる一つの原因で、しかもそれが社会で活躍出来るかにも少し関わってると思います。



まずは重心はどのような位置にあるか言うと、正六角形の性質からちょうど正六角形の真ん中になります。

だからG1とG2は真上から見ると重なっていて、直線G1G2はその二つの面と垂直に交わっています。


と言うことは直線G1G2に沿って、断面積を積分していけば良いわけです。

また正六角形の一辺の長さは1/√3です。

出来るだけシンプルに考えて線分G2G1をt:1-tに内分する点を通るG2G1に垂直な平面で切ることを考えます。

(1)では真上から見た正射影を描かされましたが、今度は真横から見た正八面体の正射影を書いて見ます。
恐らく正射影ってのがこの問題を簡潔に解くためのポイントです。
正射影の場合、比が非常に扱いやすくなります、
だから図を描いて、平行線と線分の比を使って正三角形ABEと正三角形FDCの間の辺がt:1-tに内分されいってるのがわかります。
080630_4.jpg

さらにこれを真上から見ると、断面図は(1)の正六角形の各辺をt:1-tに内分していった点を結んだ平面図になることがわかります。

この平面図をG1G2との交点である正六角形の中心を軸に回転させると、一番中心から遠い部分を回転させた円になるはずですがどの頂点も比から言うと明らかに中心から同じ距離です。

その距離rは色々な方法で求まりますが、正六角形の性質を使って余弦定理を使いました。

また、線分G1G2の長さも必要なので適当に三平方の定理とかで2/√6と求めてしまいます。
080630_5.jpg

後はG1の座標0、G2の座標2/√6と言うように直線G1G2を軸とした座標で線分G2G1をt:1-tと内分された点の座標をyとすると
∫(0,2/√6)πr^2dy
を求めるだけです。
2t/√6=yで置換積分するだけです。


とは言うものの、わかりやすく説明しようと考えてるから正射影を使って簡単に書けたとしてもこれを試験会場でやれと言われると、もうなんか
うへ~
ってなってるから複雑なやり方でやってしまってそう解けるものではないかもしれません。

でも落ち着いて大きく丁寧に絵が描けるようになっていれば、そこそこいけるかもしれません。


高校数学の問題と解説
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確率の問題、白黒2種類のカードがたくさんある。 そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。 (A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。(東大文理共通)

最近もうあれやから、今回は2008年の東大、文理共通の問題いっときます。

[問題]
080624_1.jpg

白黒2種類のカードがたくさんある。
そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。

(A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。

以下の問(1)(2)に答えよ。

理系は
(1)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2)最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

文系は
(1)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)を4回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

[解答・解説]
この問題は簡単だとは思いますが、とは言っても若干ややこしくて試験会場では

よっしゃこれで1完はした!

って思って帰って新聞で解答速報見たら、肋骨が2,3本折れて肺に刺さることにもなりかねません。

落ち着けば解けるはずです。
一回落ち着きましょう。

080624_7.jpg

さてだいぶん瞑想して、リラックス出来たとこではじめましょう。

(1)ですが、文系の問題でn=4の時とあるように、まずはn=1,2,3,4…って実験してみます。
解こうとするより、むしろ問題を調べてみます。
こういうような思考は本当によく使うから身につけてください。

実験しても解決しない問題もありますが、やっぱり東大のような知識を問わない問題にはやってみる価値はあると思います。

080624_2.jpg

n=4までやっていると、実はそんなに複雑ではなくある単純なパターンがあるのがわかってきます。
ここまでわかれば、後は落ちついて正確に処理しましょう。

そう簡単に言っても東大はそこがややこしいんですが、ここは正確の解いておかないともったいないと思います。

まずはnが奇数では、同じ色のカードはそら奇数枚になるから4枚同じ色になることは無いので求める確率は0です。

図からも明らかですがnが偶数の時を考えればよいわけです。

080624_3.jpg

色々な方法がありますが、ここでは
パターンごとに1/4の確率で全部同じ色になって、3/4の確率で次のパターンに続くことを使いました。

だからn回目に初めて全部同じ色になるには
確率3/4がn/2-1回続いて、最後に確率1/4で同じ色になって
1/4(3/4)^(n/2-1)です。

まあこの辺は上手く解くよりは、思いついた方法をやってしまった方が早い可能性があるから余り考えすぎず神経質にならずに、だけど正確にやりましょう。

文系はここまでです。

ですが練習のために理系の(2)をやってもいいかもしれません。

(2)同じように実験してみましょう。
080624_4.jpg

これもちょっとややこしいが同じようにパターンが見えてきます。

080624_5.jpg

まずn=1はさすがに同じ色にならないから求める確率は0
今度はnが偶数の時は、同じ色のカードは奇数枚になるから6枚同じ色にならなくて求める確率は0

とわかります。

nが3以上の奇数の時のを求めばよいわけです。

これも色々なとき方があると思いますが
080624_6.jpg

ここではパターンごとに確率1/18で6枚同じ色になって、
確率17/18で次のパターンに続くから

確率17/18が(n-3)/2回続いて、最後に確率1/18で同じ色になって
1/18(17/18)^((n-3)/2)
となります。



高校数学の問題と解説
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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

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迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

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