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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

直交する円柱の共通部分の体積と表面積
今日も役立ち質問コーナーがやってきたか。

毎回名前変わってるやろ!


でも、今日のは敢えて日記側に書いて間違ってたら指摘をしてもらおうと思ってこっちに書くことにした。

円柱を直交させた時に出来る共通部分の体積を求めろって問題はよくあるけど、今回は表面積を求めろって問題やねん。



東北03年AO2期の問題

半径1の無限に長い2本の円柱C_1,C_2の軸が互いに垂直に交わっているとする.
このとき,C_1とC_2の共通部分の表面積を求めよ.



[解答と解説]
円柱を直交させた共通部分は、高校の先生とかが

「どうなりかわかりますか?」

って生徒に聞いて、先生一人で

「こうなります、うへ~」

って黒板にヨダレだらだら流しながら書いてる姿が見受けられることが多いんですが、体積を求めるときはあまりそういうことを考えなくても

それぞれ円柱の方程式は
c1:y^2+z^2≦1
c2:x^2+z^2≦1
と置けてこれをz=kで切ると
c1:√(1-k^2)≦y≦√(1-k^2)
c2:√(1-k^2)≦x≦√(1-k^2)
で一辺の長さが2√(1-k^2)の正方形になってるから、面積は4(1-k^2)でこれをk=-1から1まで積分して
∫(-1,1)4(1-k^2)dk
=[4k-4k^3/3](-1,1)
=16/3
とか意外と機械的に求まりました。


それと同じように
090205_m3.jpg
正方形の周の長さは8√(1-k^2)だからこれを積分すれよさそうですが、体積は断面積を垂直な軸で積分するでしたが、表面積は断面の周の長さを垂直な軸で積分するなんかそんな定理あったでしょうか?

例えば半径1の球x^2+y^2+z^2=1の表面積は4πです。

それで同じようにz=kで切ると円周は2π√(1-k^2)でこれをk=-1から1まで積分すると

∫(-1,1)2π√(1-k^2)dk=π^2

とかなります。


だからやっぱり間違えてるわけです。


と言うのは、変化量Δzを考えるた時にその正方形の周は斜め方向にゆがみます。
090205_m4.jpg
他の言いかたで言えば、表面積は展開図の面積ですが展開した時にz軸にあわせていくとz軸のメモリからグニャって伸びてずれてます。


立体の表面積を求めるっていうのはかなり難しい話で、大学で数学の専攻して幾何学とかでやらないと習わないレベルです。


そしたら、どうしたらええんかって言う話しですが、x軸またはy軸で切ることに注目しみてください。

ここの断面の周の長さは変化量xに対して、ゆがんでません。

展開しても、x軸のメモリの位置と測ったとこの長さの位置がずれません。

直交した円柱の共通部分の性質がよくわかってないと、わかりにくいですが。

共通部分の形については、z=kの断面図から考えてみるのがわかりやすいです。


と言うことでx軸に垂直に切って積分していきます。
引き続き
c1:y^2+z^2≦1
c2:x^2+z^2≦1
で考えます。

090205_m1.jpg

共通部分を展開すると、豆状(?)の形が四つできますが左右対称なので更に半月の形が8つ分と考えます。

それでx=k(0≦k≦1)でその半月をから切り取る線分の長さをl(k)とします。

求める表面積は

8∫(0,1)l(k)dkです。

090205_m2.jpg
x=kの断面図は

c1:y^2+z^2≦1
c2:k^2+z^2≦1⇔√(1-k^2)≦z≦√(1-k^2)

z=√(1-k^2)とy^2+z^2=1の交点はちょうどy=±kになってます。


l(k)はこの断面図のちょうど、右側の曲線の長さです。

点(k,√(1-k^2))と原点を結んだ直線がx軸正方向となす角度をθとすると

l(k)=2θ

です。
それでk=cosθになってます。

置換積分になるから

dk=-sinθdθ

k|0|…|1|
θ|π/2|…|0|

と計算しておいて

8∫(0,1)l(k)dk=-∫(π/2,0)16θsinθdθ
=[16θcosθ](π/2,0)-∫(π/2,0)16cosθdθ
=[-16sinθ](π/2,0)
=16

で表面積はたぶん16です。


確か体積は16/3でした。


半径rの球には表面積Sと体積Vの間には

V=rS/3(=4πr^2/3)
と言う関係がありました。
090205_m11.jpg
これは細かく球の表面を細かく三角形に分割すると、頂点を中心Oとした三角錐に近似できて、その三角錐は高さはrで小さい三角形の面積をskとすると体積は

rsk/3

でskを全部足しあげれば表面積Sになるから体積Vは

V=rS/3

と言う意味の関係でもあります。


この円柱が直交してる共通部分でも

16/3(体積)=1(半径)×16(表面積)/3

が成立してるのが面白いところです。


まあ円柱の半径rの体積16r^3/3をrで微分すると表面積16r^2になるってことやな。
でもそのこと自体を証明するのは難しいと思う。

数学、物理

高校数学の入試問題などの解説

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モダン焼きを食べにお好み焼き屋に入った人が出てきたら、アフロヘアーになっとった
最近、朝起きて窓を開けると白いぶへらっ!


と言うことで数学の計算ばっかしてたからシャーペンの芯を買いに行ってん。

それで駅に座ってると電車が通過する時

ごがががー!

ってなるから、みんなその時に大きい声で歌を歌うと思うねんけど、オレも特急が通過する時に

「うすべにの、コスモスが秋の日の~」

ってばりでかい声で歌っててん。


それでちょっとミスって、通過して何も騒音がならなくっても

「この頃涙~もろく~なった母が~」

って歌ってもて、近くに座ってたおばさんが恐がって急速な勢いで離れていった。



まあこういうことはみんなよくあると思うねんけど帰りに駅で電車を待ってたら、白髪のおっさんがイヤホンをつけて大きな本を見てめっちゃ大きい声で歌いながら歩いてきてん。


そこに電車が来て、そのおっさんと離れた車両に乗ったら、そのおっさんもそのまま真っ直ぐ歩いてきてオレの車両で乗りよった。


それで、電車に乗ってる人ら恐がって隣の車両とかに移動しとった。


そんなん外で歌ったら、みんな恐がるに決まってるやろ!

この人ちょっとおかしいんちゃうかな思うわけや。

やっぱりな、一人で歌ってたり話してたら周りの人が不安になるねん。

また電車が通りすぎる時に歌ったりするやつもおるしな。

ほんま歌うんやったら、カラオケに行って歌えって話しや。

周りの人のこととか考えたことないんちゃうか。

なんで外で歌うねん。

そういうやつ一番嫌いや。

一筆書きの場合の数の問題、京都大学2008年度の文系第5問の解説

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英検を受験する時に、証明写真にふつうの写真持ってきてその場で切るやつは受かる
今日は去年数学セミナーを一緒にやってたまさゆきが東大から京都にやってくると言うことでまたいつもの京大の数学系のメンバー6人で鍋パーティーをすることになってん。


オレがついたときは、たけしとただしとてる子しか揃ってなかってん。

それで、節分やからって水菜の横辺りに豆まき用の豆が一応置いてあってん。


しばらくしてから、まさゆきが来てとりあえず鍋がはじまった。


ほんなら、なんかまさゆきが

「怒らないでね、怒らないでね」

とかなんか言うてるねん。


それで

まさゆき「豆まきしようと思って」

って豆出してきた。


シーン…

微妙な空気になった。

しかもアーモンドやねん。


てる子「もう豆あるんだけど」



それでしばらく沈黙が続いて


まさゆき「君たちが、どうしても僕と豆まきをしたいと言うんなら僕はいいんだよ」

とかまた始まって

てる子「誰もしたくないから」

たけし「あ、私豆まきしてきました」

てる子「えー!うそー!よかったじゃん!どんな豆?」

って盛り上がってたら、なんか一人で

まさゆき「まさゆき~、アウト~」

って言うてガラガラってドアを開けて出ていってしまった。

てる子「放っておこうね」

机の上には、まさゆきのアーモンドががただむなしく茶色い光を放っていた。


私はあれ以来今でもアーモンドを見るたびにまさゆき氏の

「豆を投げつけられて喜ぶのはどエムじゃないと思うんだ。
本当のどエムは、豆を投げつけてもくれないことに快感を感じるんだよ」

と言う言葉を思い出すのであった。

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君は磨けば歯茎から血が出る人間やからもっと自信を持ったらええねん
昨日は、どうしても見なあかん本があるから閉店15分前に本屋に行ってん。


そしたら、後15分しかないのにちょっとおっきい方をしたくなってきてん。

でも今トイレに行ったら、確実に本を買えずに閉店になって電気が消されてトイレの中に閉じ込められて次の日スルメみたいに干からびてる姿で発見されるわけや。


トイレかスルメか…。

いや、悩んでる暇は無い。


とりあえず、この本を買えばええわけや。

そうや本を買えばええわけや。


と言うことで、脂汗だらだら流しながらカクカク歩きでレジに向かった。

本を買えば、トイレに行ける。


後もうちょっとでレジや。

本でうんこ出来るわけや。


レジまであと少し…後少し

そしたらだんだん、
「うんこしたい」
から
「うんこさせてください」
に変わってきた。


そんなんどうでもええわ!


店員「903円になります」

かずゆき「1003円したいです」

店員「おつりは100円になります。カバーはどうしますか?」

かずゆき「あ、いつもトイレットペーパーを引いてからやるので大丈夫です」

って本をもらって、急いでトイレに入った。


でも洋式じゃなくて和式やったから、トイレットペーパー引く必要なかったな。

しまったな、そしたらカバーしてもらったらよかった。


この人はうんこと本がもう頭の中でめちゃくちゃなことになってるんやろな。
もう全部うんこに見てるんやろな
あの時はうんこのことしか考えてなかった
何もかもがうんこやった。
自分からうんこをとれば一体何が残ると言うのか

トィレ

数学の更新…地図上の最短距離の問題、京都大学2008年度理系乙の第6問の解説

物理の更新…万有引力の位置エネルギーの計算の仕方と何故基準点を無限遠にとるか
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地図上の最短距離の問題、京都大学2008年度理系乙の第6問の解説(後半部分甲共通)
久しぶりに日記の方で数学の解説でもしよか。
地図上の2つの都市の最短経路の話しで結構おもろそうやったからな。

と言うことで京都大学2008年度理系乙の第6問の問題を解説するふにゅ。

ほんまにこんなノリで大丈夫なんかこれ。


この問題について、地図と言えばだいたいこういう長方形の地図やん。

090201_m3.jpg

メルカトル図法とか言うてたな。
この地図を見せて、例えば東京からワシントンあたりに最短距離で行くにはどうすればいいですか?って先生が聞いて

「真横に行けばいいです、うへ~」

って答えて鼻血出る程しばきまわされる生徒を一回は見たことあると思うねんけど、ちょっと上に弧を描いた曲線上に移動した方が距離が短いって言うやつを証明するような問題やねん。


[問題]
090201_m5.jpg
地球上の北緯60°東経135°の地点をA,北緯60°東経75°の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路R1,R2を考える。R1は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。R2は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短いほうとする。R1に比べてR2は飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ。

注:大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。


[解答と解説]
三角関数表は教科書かなんか見たってくれ。


まず図を書いてください。


余りよくない解答の例としては

090201_m4.jpg

こうやってリアルに書くことです。

地球の話ですがこうやって地球を手のひらに乗せてる神様とか、そういうのに騙されないでください。


数学的に計算するために自分で設定をします。
まずxyz空間を考えて地球の半径をrとします。
だから地球の球面は
x^2+y^2+z^2=r^2
です。

それで、
Aは北緯60°東経135°
Bは北緯60°東経75°
とか書いてますが、135-75=60だから
Aは北緯60°東経60°
Bは北緯60°東経0°
の図で考えたらいいわけです。

AとBの座標の表し方ですが、これはよく大学の解析力学とかで使うやり方なんですが球面上の点は2つの角αとβ(0≦α≦360°,-90°≦β≦90°)を使って、
P(rcosβcosα,rcosβsinα,sinβ)と決める方法があります。
これはどういう点かと言うと

090201_m8.jpg

まず、βは線分OPとxy平面のなす角度でz座標は三角比からrsinβです。
そしてPからxy平面に垂線を降ろした点をP'とするとOP'は同様に三角比からrcosβです。

xy平面で考えると、αはOP'がx軸性方向から反時計回りを正にした角度でOP'の長さはrcosβだから三角比から
x=(rcosβ)cosα,y=(rcosβ)sinα
です。


この方法を使えばαに東経、βに北緯を入れたらいいからA,Bの座標が求まります。


次にR1とR2の求め方ですが


090201_m9.jpg

R1ではz軸に垂直にA,Bを通るように切ります。

切り取った断面は円になってますが、その弧ABの長さがR1です。


R2では球の中心とA,Bの3点を通るように切ります。

すると断面は半径rの円になっていて弧ABの長さがR2です。



よし、ここまで来たら一人出来るかな?

そうか、まだ不安か。

そしたら、お兄ちゃんと一緒にやろか。


090201_m6.jpg

Aは北緯60°東経60°
Bは北緯60°東経0
で考えても一緒やからまず座標は
A(rcos60°cos60°,rcos60°sin60°,sin60°)
B(rcos60°cos0,rcos60°sin0,sin60°)
数字になおすと
A(r/4,(√3)r/4,(√3)r/2)
B(r/2,0,(√3)r/2)
です。

まずはR1の方を求めるとz軸に垂直にA,Bを通るように切るには平面z=(√3)r/2で切ればよくて、
R1は半径rcos60°=r/2の円の60°に対応する弧の長さになってます。

この長さは円周の60/360=1/6倍だから
1/6×2π(r/2)
=πr/6
とわかりました。

090201_m7.jpg

次はR2の方を求めるには原点とA,Bの三点を通る平面で切るわけですが、そこまで大げさにしなくても扇形のOABを考えればオッケーです。

このR2を求めるにはこの扇形の∠AOB=θがわかればいいわけですが、よく考えたらABの長さは座標がわかってるから
AB^2=(r/4-r/2)^2+((√3)r/4-0)^2+((√3)/2-(√3)/2)^2
=r^2/4
で求まって三角OABに余弦定理を使って
cosθ=(r^2+r^2-r^2/4)/2r^2
=7/8
=0.875

です。

三角関数表で余弦の値が0.875くらいになってるところを見ると

28.5°<θ<29°
がわかります。

そしてR2の長さは円周2πrのθ/360倍です。



後は、最後の仕上げでR1に比べてR2は何%短くなったかだから

(R1-R2)/R1×100
を計算します。

値を代入していくわけですが、これが3%以上と言うにはR2=2πr×θ/360は
2πr×28.5/360>-R2>2πr×29/360
だからθに29を入れて計算して


(R1-R2)/R1×100>1/30×100=3.33333…
だから3%以上と示せました。


京大の問題はかなり計算が簡単になるように作りこまれてるわけやな。

数学、物理

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高校数学の入試問題などの解説

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コウノトリが交尾しながら子供を運んできた時は、一卵性双生児である可能性が高い
ふにゅ帰ってきました。


ふにゅ志摩のホテルで会長さんとお食事会をしててん。

会長さん「いかがですか?スープの味は」

ふにゅ「すーふにゅ」

そしたらふにゅ、濡れ雑巾で背中ばっち~ん叩かれた。


ふにゅ…


会長さん「ところで、ふにゅの方の今年の抱負は何なんだ?」

ふにゅ「ほうふにゅ」

そしたらふにゅ、鉛筆のキャップを鼻にどブス!って刺された。


ふにゅ…


会長さん「自動車産業も頭打ちして今年は厳しい年になると思うが、君はどう思うかね?」

ふにゅ「生活給ふにゅ」

そしたらふにゅ、健康サンダルで哲学の道を全部歩かされた。


ふにゅ…


ふにゅは会長さんから、父と思えない冷たさを感じとった。

ふにゅもう会長さんと食事せえへん。

ふにゅ

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ヤドカリの殻の中身を見るのと、バスの中でおっさんがゲロ吐いた鞄の中身見るのどっちか学問的か
最近ちょくちょくビジネス系っぽいメールが来るようになってきたけど、どうもみんな上手過ぎてどう返したらええんやこれはって悩み続けてまうな。

これは社交辞令のメールちゃんと練習せなあかんな。


「ごめんあそばせ、今朝の気分はいかがかしら。
まあ、例の件は、およろしいの。嬉しいわ。
あなたもうおやすみになられたら?」

とか。


あかん、全然あかん。

こんな書き方では無から何かを生み出す力が感じられん。


もっと

「ひとけのない季節はずれのペンションで、焚き火の炎を見ながら静かに紅茶を戴くと、変なとこに入って、ぶほー!って吐き出し、秋の訪れを感じる…」




わかるか、自分で考えるからあかんわけや。


例文集を見て書くのがコツや。


「謹啓
時下ますます貴社のこととお喜び申し上げます。
平素は私どもに貴社を口頭で申し上げたしだいです。
今後貴社に指導いたしますので、貴社が困惑しております。
つきましては、早急に貴社してくださいますようお願い申し上げます。
敬具」

こんな感じやな。

ビジネスメールは

最初に謹啓、
最後に敬具をつけて

貴社と申し上げるを使ったら何とかなるわけや。

数学の更新…○倍数や余りの整数問題、神戸大学2008年度文系の第2問の解説

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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

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勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
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