わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

息子にてつろうって名前をつける時の気持ち
そういえば、この前NHKでポアンカレ予想がこの前、解決された話をやってたな。
100年ぐらい未解決な状態やったらしい。


「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」


なんか、大学で習う幾何学の演習問題みたいに一見思えて全然そういうレベルの問題じゃないって言うやつやな。

同相って言うのは、同じ位相構造を持つと言うような意味で二つの空間の全ての点がお互いに一体一に対応してて、それが滑らかに対応してるってことかな。
数学的に言うと連続で全単射な写像が存在すると言うことやな。

例えば、紐と定規は紐の端を30cm定規の0cmのとこ、紐のもう片方の端を定規の30cmの点を対応させると、紐と定規は全ての点が一対一で連続的に対応するやん。
こういうのが同相で、位相空間として同じと考えればええかな。
071031_1.jpg



3次元球面はS^3って書くけどS^3って最初ちょっと間違えることあるけど普通の球じゃないねんで。

S^2が普通の球で
S^1が円やねん。

直感的に言うと次元はまあ変数の数やな。
単位円S^1は一つの変数、例えば角度のみで表せる。
x=cosθ
y=sinθ
単位球面S^2は二つの変数、例えばオイラー角とか考えたら二つの角度で表せる。
x=cosθcosφ
y=cosθsinφ
z=sinθ

071031_2.jpg




だから、S^3は4次元空間にある球の表面のことやねん。
またよかったらこっちを参考に→四次元空間の球の図と体積の求め方。ついでにn次元の球の体積も。

単連結はなんか、宇宙にロケットにロープを結び付けて適当に飛び回って帰ってきて、そのロープの両端を結んで引っ張ると回収出来ることみたいな説明をしてたな。
宇宙にドーナッツみたいに穴が空いてたら、回収できない可能性があるってわけやな。
つまり単連結でない。
単連結は数学的に言うたら、基本群がただ一つの元からなるってことやな。

071031_3.jpg



まあ宇宙がほんまに三次元閉多様体かどうかは知らんねんけど、あれはわかりやすいように例えとして宇宙にしてるんかな。
もしかして、ただ単に三次元空間って意味のtree dimensional spaceを三次元宇宙って誤訳してるだけやったり。

閉多様体は、コンパクトで境界の無い多様体のことで、このコンパクトは普通に使われる
もっと荷物をコンパクトにまとめろ
みたいな意味と全然違って、位相空間の任意の開被覆から有限個の開集合を選んで被覆出来る時にその位相空間はコンパクトって意味やで。

071031_4.jpg



だからな、数学をやってたら
コンパクトで可愛い
とか聞いたら、
ああ確かに有限個の開集合で被覆出来て可愛いやつやな
とか言うて病院に連れていかれるわけや。


実際はただ単に有界な閉集合と同値になることが多いかな。
だからコンパクトって有界閉集合と覚える人も多いねんけど、それじゃあ一般的な任意の二点が開集合で分離できないような位相空間に通用せえへんし証明でも有限個の開集合を選んで被覆できるってよく使うから、やっぱりコンパクトって概念は任意の開被覆から有限個の開集合を選んで被覆出来ると言う概念を身につけた方がええと思うな。

多様体って言うのは、簡単に言うとさっきの任意の二点が開集合で分離出来て、その空間の任意の点を内点に持つ開集合がユークリッド空間のある開集合と同相になるように出来るようなものかな。
071031_5.jpg


だから三次元多様体ってその開集合が三次元空間に同相って言うだけで、4次元とか5次元とかの物体の表面みたいなイメージやねんけどな。

まとめると宇宙は三次元閉多様体の誤訳と仮定して、ロープを結び付けたロケットがぐるって一周してきて、そのロープが回収できたとすると、つまり単連結だったとすると、宇宙はおおむね丸い、つまり三次元球面S^3に同相であると言えるみたいな対応なんかな。



でもポアンカレ予想を解いたペレルマンは、数学だけじゃなくて物理も得意で証明には物理の概念が使われててほとんどの数学者が証明にトポロジー(位相)が使われなかったことや証明が理解出来なかったことがショックやったみたいなこと言うてた。
これは、物理と数学は両方やらなあかんって何回も言うてほんまにそうやって干されたオレには夢のある話やな。
その証明を見たこと無いし、絶対理解出来んやろうから実際どうなんかわからんけど。
しかもあのペレルマンはもっと数学とか物理が両方世界一出来るレベルやからな。
そういう人がポアンカレ予想に出会って、それから人が変わって引きこもるようになって失踪して、インターネットに証明が出てるとか言うて失踪したペレルマンが投稿してて、廃人になってしまってた話は、ほんまものすごい壮絶な世界やって感じたな。


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