わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

二次不等式の問題
いつものように数学の問題の質問を受けたけどメールアドレスが無かったのでブログに書いときます。
たぶん見てると言うことで。
携帯でも見れるようにちゃんと携帯で写メのサイズの設定で撮ってます。


[問題]
aが実数の定数で、二次不等式x^2-x≦0…①、x^2-2ax+a^2+2a-8>0…②のとき、
(1)①を満たすすべてのxが②を満たすようなaの値の範囲を求めよ。
(2)①②を同時に満たす実数xが存在しないようなaの値の範囲を求めよ。


[解答・解説]
(1)
080510_201421.jpg
①は因数分解してxの範囲が出ます。
その範囲で常に②の不等式が成り立つようなaの値の範囲を求めます。
f(x)=x^2-2ax+a^2+2a-8
=(x-a)^2+2a-8
は軸がx=aの二次関数でaの値によって0≦x≦1の左側、0≦x≦1の中、0≦x≦1の右側の三つの場合が考えられてその通り場合わけすれば良いですが、
0≦x≦1で常に成り立つようにするってことは具体的な値x=0でも成り立つはずだからx=0で成り立つaの範囲を求めるとa<-4,2<aで範囲をしぼることが出来て軸x=aが
0≦x≦1の左側、0≦x≦1の右側
の二つだけ考えればよいことになります。

よくこうやって

『全ての値で成り立つ⇒ある値でも成り立つ』

と言うように必要条件を使うと範囲が絞られて簡単になったり難しい問題でもこう考えると簡単に答えが出ることもあります。

軸x=aが左側のときはf(0)≧0
軸x=aが右側のときはf(1)≧0
であれば良いですが最小値の候補f(0)とf(1)が0以上であればよい、つまり
f(0)≧0かつf(1)≧0
であれば良いのでこれを求めます。

(2)

080510_201544.jpg

①の範囲で②を満たさない、つまり①の範囲で常にf(x)≦0になるようなaの範囲を求めます。
y=f(x)は下に凸な二次関数だから0≦x≦1では端点で最大値をとります。
最大値の候補が0以下になれば良いつまり
f(1)≦0かつf(0)≦0
であれば良いから、これを求めればオッケーです。


高校数学の問題と解説

テーマ:日記 - ジャンル:日記

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://wankora.blog31.fc2.com/tb.php/1333-628a18ac
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

詳しいプロフィール


メッセージはこちらへ
メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

リンクはばりばりのフリー
一言メールくれれば相互リンクします。


カテゴリーと名作集
読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。



水と空気と街並とからだ
中学時代からの親友てつろうのブログ。
今年、滋賀医科に合格した医学生です。

リンク集
リンク集はこっちです。

このブログは携帯でも見られます。

ランキングサイト


↓ランキング参加中




にほんブログ村 その他日記ブログ 日々のできごとへ

blog Ranking


お勉強BLOGЯanK

リンク

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メールアドレス:
件名:
本文:

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

FC2カウンター

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード