さあてど汚い字で適当に数学の問題を解くコーナーを始めるか。
別に綺麗に書いてるつもりやねんけどな。
でもな、オレ思うねんけどな、世の中な、数学的な考え方より字の綺麗さやろ。
いくら素晴らしいことを書いても字が汚かったら誰も読まんわけや。
それやったら、あかんやん。
今回は九州大学文系数学の今年の問題でかなり典型的な問題です。
以下(x^2はxの二乗のこと)
[問題]
放物線C:y=x^2上の点Pにおける法線とは点PにおけるCの接線と点Pで垂直に交わる直線である。
このとき次の問いに答えよ。
(1)点(p,p^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2)y軸上の点(0,a)を通るCの法線の本数を求めよ。
[解答・解説]
この問題はめっちゃ簡単ですが、よく(1)が無くていきなり(2)だけ聞かれたりします。
そこで(0,a)を通る直線の式を傾きをmとか置いてy=mx+a、その式とy=x^2との交点の座標の式
x^2-mx-a=0
を判別式とかで場合わけして解いて、その交点の座標を微分した式y'=2xに代入して接線の傾きを求めてこの接線と直交するようなmの値の数が求める法線の本数と考えると頭がふにゅってきます。
ふにゅ場合わけしてたら、とんがりコーンのパッケージで頭どつかれた。
だからこの(1)のように反対に接点の座標を先に文字で置いて法線の式を立ててその式が(0,a)を通るようなpの異なる値の個数を調べるってとこがポイントで色々なとこに使えるから頭の片隅に入れといてください。
覚えていたら完璧です。
(1)
法線の直線の式を求めるには通る点は(p,p^2)とわかってるから後は傾きmを求めれば
y-p^2=m(x-p)
で求まります。
y=mxをx軸方向にp、y軸方向にp^2平行移動するってやつです。
平行移動ってマイナスになるとこがわかりにくいかもしれんけど、マイナスやからこそ(p,p^2)を入れると直線の式は成り立って(p,p^2)を通るからマイナスが自然とも考えられます。
法線の傾きを求めるには、接線の傾きが微分でわかるからそれに直交する条件で求めます。
y=m1x+n1
y=m2x+n2
と言う直線があればこの二つの直線が直交する⇔m1m2=-1を使います。
直交してる場合は片方が正の傾きなら、もう片方は負の傾きになってるはずだから異符号になってて積m1m2はマイナスになると直感的にわかります。
ただこれはx軸やy軸に平行になる時は使えません。
y軸に平行な直線の式は
x=定数
って形になってy=mx+nの形に表せません。
だから微分すると接線の傾きは2pなのでp≠0の場合とp=0の場合分けます。
もっと一般形の直線の式
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
が直交⇔a1a1+b1b2=0(二つの直線の法線ベクトル(a1,b1)(a2,b2)の内積が0の式)
を使えばこれはx軸やy軸に平行でも使えますが一応微分との相性を考えてy=mx+nでやりました。
p=0の時は当たり前ですがy軸であるx=0が求める法線の式です。
p≠0の時は
y-p^2=-(1/2p)(x-p)
と言う式にりますが、これを2pを両辺にかけて一般形にして
x+2py-2p^3-p=0
としときます。
するとこの式にp=0を代入するとx=0になるから、この式はp=0の時もちゃんと法線になってるから
x+2py-2p^3-p=0
が答えです。
なんか漸化式の問題とかでもn≧2の時の式を求めてこれはn=1の時も成立するってやり方がありますがそれと同じです。
(2)
p≠0の時、法線の傾きは-1/2pです。
p=0の時はx=0です。
だからpの値と法線は１対１に対応します。
例えば傾きが-p^2ならpが1と-1の時は同じ値-1つまり同じ傾き-1の法線になるからpの値と法線が１対１に対応しません。
pの値が異なれば異なる法線が対応するから法線の式に(0,a)を代入して、その式を満たすpの異なる値はいくつあるかを求めればそれが法線の数です。
整理すると
p(p^2-a+1/2)=0
って式になります。
pは実数なのでp^2-a+1/2が気になります。
そのまま形式的にやれば
p=0、p^2=a-1/2
ですが、例えばa-1/2が負ならp^2は正なのでp^2=a-1/2は成り立ちません。
だからa-1/2が正か0か負かで場合わけします。
a-1/2が正の時は、p=0とp=±√(a-1/2)
の三つの異なる値が出るから3本です。
a-1/2が0の時はp(p^2)=0でp=0だけが答えで一本です・
a-1/2が負ならでp^2-a+1/2≠0でp=0だけが答えなので本数は1。
これは異なるpの値がいくつあるかを求めるのであって、p^3=0はp=0の3重解とかは全然関係無いので注意して下さい。
高校数学の問題と解説
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