わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

不等式の問題、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)を示せ。(a,b,cは三角形の辺の長さ)
今日の問題は数学Aくらいの知識でたぶん出来る問題です。

質問を受けた問題なので出典はようわかりません。


[問題]
三辺の長さがa,b,cの三角形があるとする。
次の不等式を示せ。
1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)
080516_232843.jpg




[解答・解説]
この
a+b-c
b+c-a
c+a-b
って形を見て何かを感じるような感受性の強い子に育ってください。

そうです、この形はあの三角不等式を思い出させます。
『三角形の 2 辺の長さの和は残りの 1 辺の長さよりも大きい』
a+b-c>0
b+c-a>0
c+a-b>0

三角形の辺の長さと言われた時にそれらの数字が満たさなければならない条件は三角不等式であることは覚えておいてください。

反対にこの三角不等式が成り立っていないと三角形になりません。


ということで、a+b-c、b+c-a、c+a-bは正だから
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)を両辺にかけて整理したら不等式がたぶん証明出来なくも無いと思いますが、6行目辺りで腱鞘炎になって気絶すると思います。(←実はノート何ページにもわたって計算をした)


何故こういうことになるかと言うと三角不等式が複雑すぎてこの性質を生かすのが難しいわけです。
と言うことで、こういう時はどうするかと言うと

a+b-c=x
b+c-a=y
c+a-b=z

と文字を置き換えると条件が
x>0
y>0
z>0
とかなり条件が簡単になります。

しかも

x+y+z=(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)=a+b+cになるから問題の不等式が

1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z)
(x>0、y>0、z>0)
とかなり簡単になります。

こういう文字の置き換えを使って条件を簡単にすると問題が凄い簡単になることがよくあるので出来ない時は試してみましょう。



080517_000143.jpg
更に同値変形していって、
(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz≧0
を示せばよいことになります。


展開すると-6xyzの項だけマイナスになってます。
これを上手く対称性を生かして

y(x-z)^2

みたいな形にしていけないか考えてみます。

たまに使うから、こういう変形は覚えといてください。


二乗は0以上だからこれで不等式は証明できました。
一応、統合成立を求めておいたらよいかもしれません。

a=b=cは正三角形ですね。


と簡単には書いてますが、実際この問題は難しいような気がします。


高校数学の問題と解説

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