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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

漸化式と極限の問題、a1=0,an+1=xan + y^(n+1)(x,yは異なる正の実数)im(n→∞)anが収束する(x,y)を図示せよ(京大理系、甲乙共通)
今日の問題は京大理系、甲乙共通問題で2007年の問題です。



以下x^nはxのn乗を示す。

[問題]
080523_3.jpg

x,yを相異なる正の実数とする。
数列{an}を
a1=0,an+1=xan + y^(n+1) (n=1,2,3,…)
によって定めるとき、lim(n→∞)anが有限の値に収束するような座標平面上の点(x,y)の範囲を図示せよ。




[解答・解説]
これは漸化式や極限に慣れていれば問題ないと思いますが、ちょっと具体的な数字ではなく抽象的に文字になっているのは余りやったことが無いかもしれません。
こういう一般的な文字の式の場合、基本に戻って具体的な数字の場合ははどうであったか考えてそれを一般的な文字の場合にはどうなるか考えてみるのが一つの数学的な思考です。

まずは漸化式です。
080523_4.jpg

これはx=2、y=3とかならやったことあると思います。
それを文字でやってみます。
まずはan+1=2an+3^(n+1)を見ると3^(n+1)で割って
an+1/3^(n+1)=2/3・an/3^n+1
でan/3^2=bnとして
bn+1=2/3bn+1
と言う形にしました。
と言うことでこれを文字でやるとy^(n+1)で割って
an+1/y^(n+1)=x/y・an/y^x+1
にします。
これは
an+1=pan+q
型の漸化式なのでよくやったことあると思いますが、オススメの解き方はan+1とanをxと置いて解いてx=q/(1-p)で
an+1 - x=p(an - x)
として解く方法です。

これはa1の条件が無かったらan=q/(1-p)も漸化式の一つの解と解釈できます。
anと漸化式のある一つの解との差をとるとqのとこが消えます。


080523_5.jpg

もう一つの方法は階差数列にして解く方法です。
階差数列は
an=pan-1 + q(n≧2)
との差をとってn≧2をつけなあかんと言うややこしいことなるのが注意です。
まだぴちぴちの短パン履いてパパとママと手を繋いでお出かけしてた、まだウブやったころの僕は
an+2=pan+1 + q
とすればn≧2が必要なくなるんちゃうん!
ってやってみましたが
an+1-an=(a2-a1)q^(n-1)
を解くときに結局
an=a1+Σ(k=1~n-1)(a2-a1)q^(k-1)(n≧2)
と必要になることがわかってもう短パンは履かない大人になりました。
パパはまた友達が息子にしょうもないこと言うたんちゃうんかってキレてました。
大人への通過儀礼やったんですね。



an=y^2/(y-x)・(y^(n-1) - x^(n-1))
となりました。
これが収束するかどうかは
y^(n-1) - x^(n-1)
だけが関係してきます。

直感的にはxとyは両方1以下ちゃうんかいって思いますが、それをどう示すかって言うのをちゃんと数式で論理的に示す必要があって出題者もそれを聞いてきています。

でも文字なのでちょっとやりにくいとこです。

またここで具体的に考えて、2^n - 3^nの極限ならやったことあると思います。
080523_1.jpg

これは大きいほうの数字の3^nでくくり出してやりました。


と言うことは、yとxがどっちが大きいかで場合わけして調べればよさそうです。

こういう風にまずは具体的にやってから一般性を考えるって言うのが特に難しい問題に取り組む時には非常に重要です。
080523_2.jpg

y>xの時はy^(n-1)でくくって
1-(x/y)^(n-1)
のとこはx/y<1だから極限とると1になります。
だからy^(n-1)のとこが収束しないといけないからy≦1でなければなりません。
y<xの時はx^(n-1)でくくって
(y/x)^(n-1)-1
のとこはy/x<1だから極限とると1になります。
だからx^(n-1)のとこが収束しないといけないからx≦1でなければなりません。

図示すると、上図の斜線部で境界を含みx軸とy軸と破線部を含まないです。
図示する時に境界線を含むとこと含まないとこがあるややこしい答えがたまにありますが、線が足りなくなったら破線とかを使ってみましょう。
波線使ったらしばかれると思います。



高校数学の問題と解説

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