わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

微分と極限の問題、f(x)=e^x/(e^x+1)のグラフを描け(九大)
質問受けた問題を解説します。
九州大学の問題のようです。


x^nはxのn乗を示す。

[問題]
080525_5.jpg

f(x)=e^x/(e^x+1)とおく。
ただしeは自然対数の底とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)y=f(x)の増減、凹凸、漸近線を調べ、グラフをかけ。
(2)f(x)の逆関数f^-1(x)を求めよ。
(3)lim(n→∞){f^-1(1/(n+2))-f^-1(1/(n+1))}を求めよ。



[解答・解説]
この関数は数3Cやってたら、そこそこ見かけると思います。
f(x)=e^x/(e^x+1)
=(e^x+1-1)/(e^x+1)
=1-1/(e^x+1)
と変形するとだいたいの感じが直感的にわかるかもしれません。


(1)まずは微分する以外に生きていく道が無いと思います。
080525_6.jpg

一階微分は常に正になります。
これは常に増加してることを意味していま。
凹凸を調べるので二階微分をします。
数三Cでグラフを描け言われたら、普通はだいたい二階微分まで調べます。
二階微分は1-e^xがあるから、これが正負に関与します。
x=0が境目です。
x<0では正なのでここでは増加の仕方が増加していくから、どんどん急になる形で下に凸です。
x>0では負なのでここでは増加の仕方が減少していくから、どんどん緩やかになる形で上に凸です。
一応問題で増減や凹凸について聞かれてるから増減表に書いてから側にそっと書いておくと良いと思います。

漸近線はこの関数は連続だからx軸に垂直なものは存在しません。
だからx軸に垂直でないものを求めます。
080525_7.jpg

これは
lim(x→∞)f(x)/x=a
lim(x→∞)(f(x)-ax)=b
ならy=ax+b
(x→-∞も同様にする)
とやり方が決まってますが、まあ空気を読んでこの問題は漸近線の傾きが0になるのは直感的にわかるから
lim(x→∞)f(x)=b
の部分だけ求めてもたぶん大丈夫です。

この問題では、x→∞の時とx→-∞の時で漸近線が違うので注意です。
普段から分けてちゃんと両方考えるようにしておいてください。

極限求めるのに1-1/(e^x+1)
にしてますが、e^x/(e^x+1)の形のままでも当然オッケーです。

グラフを書くとこうなります。
080525_8.jpg

変曲点はたぶん書いた方がええと思います。
よく
「グラフを描けってどこまで描くんですか?」
って無表情で聞いてきて誠意ある解答があるまで微動だにしない子がいますが、それがわからいのは僕も同じです。
でも恐らくは理系の試験なら二階まで調べて増減と極値、凹凸と変曲点、漸近線は求めておくと妥当です。

(2)の逆関数のf^-1(x)は1/f(x)のことでは無いのに注意しましょう。
y=f(x)をxについて解いて
x=g(y)
って形に表したときに、このgをf^-1と書いてfの逆関数と言います。

だからx=g(y)の形にして、yをxに書き換えたらオッケーです。
yをxに書き換えるのは単に表記の問題です。

一応(1-y)でわるときはこれが0にならないと言うことも書いておきましょう。
当たり前かもしれませんが、fにf^-1を作用させるとちゃんと元に戻ります
f^-1(f(x))=x
やってみると意外に面白いですよ。
吹き出してまうと思います。


(3)
ちゃんと計算間違いしないように、f^-1に丁寧に代入していきましょう。
080525_9.jpg

微妙にパジャマが見えますが、logが出てくるので引き算に見えますがlogの中で割り算です。
こういう形を見たら、
lim(h→0)(1+h)^1/h=e
とか
lim(x→±∞)(1+1/x)^x=e
を思い浮かべてください。
それでこの形を無理矢理に作り上げていきます。
logはeが底からlogeは1です。




高校数学の問題と解説

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