わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

不等式、等号成立を使った問題
[問題]
実数x,y,zについて(x+y+z)^2≦3(x^2+y^2+z^2)を示し,等号がいつ成り立つか答えよ。これを用いて,命題「x^2+y^2+z^2≦aならばx+y+z≦aである」が真となる最小の正の実数aを求めよ。


[解答と解説]
前半部分はたぶん大丈夫だと思いますが、後半部分が問題の意味がわかりにくいかもしれません。

と言うことでまずは前半部分を解いてみます。

ふにゅふにゅ。

3(x^2+y^2+z^2) - (x+y+z)^2 = 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx
=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)
=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≧0

で等号成立はx=y=zの時です。


これは数学Aの数と式とかで一回やったことあるような変形なのでチェックしときましょう。


後半部分ですが、この前の三角不等式で書いたように不等式には二つの見方があって

x≧2とあればxは2以上のある値って言う意味と、xの最小値は2である意味があります。

この問題の後半部分はx^2+y^2+z^2の最大値がaであるような時、x+y+zがa以下のある値になるような最小の正の実数aを求めろって言う意味です。


だからx+y+zの最大値M(a)がa以下であれば
x+y+z≦M(a)≦a
となり題意が満たされます。


このM(a)を求めてみましょう。

そらまあ(x+y+z)^2≦3(x^2+y^2+z^2)を用いてと書いてあるのでこれを使います。

この辺の空気を読むことも大切ですよ。


(x+y+z)^2≦3(x^2+y^2+z^2)≦3aなので(x+y+z)^2は3a以下のある値です。

(x+y+z)^2の最大値が3aとは限りません。


(x+y+z)^2の最大値が3aと示すには次のような論法を使います。


1、(x+y+z)^2が3a以下である

2、(x+y+z)^2が3aをとるようなx,y,zが存在する

これはよく使います。


だから(x+y+z)^2が3aとるようなx,y,zの存在を言えば良いわけですが等号成立(x+y+z)^2=3(x^2+y^2+z^2)はx=y=zの時であったので
x=y=zかつ(x+y+z)^2=3a
となるようなx,y,zがあれば良いから

x=y=z=±√(3a)

です

だから

-√(3a)≦x+y+z≦√(3a)

でこれはx+y+zの最小値が-√(3a)、最大値が√(3a)と言う意味の不等式です。

M(a)=√(3a)ですね。

だから
√(3a)≦aであれば良いから

a≧3で3が答えになります。


ちょっと論理が難しくて、うへ~ってなってる人もいると思うのでとりあえず一回落ち着いてください。



高校数学の問題と解説

テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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