わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東大理系の整数問題、自然数nに対し、(10^n-1)/9=111…111(←1がn個)を【n】で表す…のもう一つの解答
東京大学2008年の理系第五問の問題でこの前は単純に思いつきそうで計算ごり押しで解くと言うリアルな方法でやりましたが、もう少し問題に意図にそった解答を考えました。

[問題]
080805_1.jpg
自然数nに対し、(10^n-1)/9=111…111(←1がn個)を【n】で表す。
例えば【1】=1、【2】=11、【3】=111である。

(1)mを0以上の整数とする。
【3^m】は3^mで割り切れるが、3^(m+1)では割り切れないことを示。
(2)nが27で割り切れることが、【n】が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
[解答と解説]
080805_2.jpg
3で割り切れるとか9で割り切れるとか聞くと、中学受験で習うような

それぞれの桁の数字を足した和が3で割り切れたら3で割り切れる、

そえぞれの桁の数字を足した和が9で割り切れたら9で割り切れる、

とか当たりを使いそうな感じがして

【n】(n≧3^(m-1))を3^mで割った余りはnを3^mで割った余りでは?
と考えると
080805_3.jpg
こういうおかしなことになると書きましたが、予想が全然間違っています。


それぞれの桁の数字を足した和が3で割り切れたら3で割り切れる、

そえぞれの桁の数字を足した和が9で割り切れたら9で割り切れる、
を使って正しい予想をすると

080828_1m.jpg
カっ!ってなります。

どうやるか言うと、
080828_2m.jpg

例えば【9】=111111111ならば
111111111=(1000000+1000+1)×111
と考えます。

すると(1000000+1000+1)の部分は各桁の数字の和は3なので9で割れなくて3で割れることになります。

これを使うと【3^m+1】は【3^m】で表せるから数学的帰納法で解きます。
080828_3m.jpg
mに関する数学的帰納法で示す。

(i)m=0の時、【3^0】=1より【3^0】は3^0=1で割れて3で割り切れないから題意成立。

(ii)m=kの時、題意成立を仮定すると
【3^k+1】=(10^((2・3)^k) + 10^(3^k) + 1)【3^k】

(10^((2・3)^k) + 10^(3^k) + 1)は各桁の数の和は3より9で割り切れず3で割り切れる。
よって仮定より【3^k】は3^kで割り切れて3^(k+1) で割り切れないから、
【3^(k+1)】は3^(k+1)で割り切れて3^(k+2)で割り切れない。

(i)(ii)より数学的帰納法から全ての0以上の整数mに対して【3^m】は3^mで割り切れるが3^(m+1)で割り切れない。

(2)も同じように考えて今度はnを27で割った商をq,余りをrすると【n】は【27】がq個並んで最後に【r】が並ぶ形になります。
080828_4m.jpg
【27】の部分は(1)からすでに27で割り切れることがわかっています。
だから【r】が27で割り切れるにはr=0しかないこと言えば良いわけです。
nが27で割り切れる時はr=0で【27】が27で割り切れるのは(1)から自明です。
【r】は各桁の数の和はそらrだから、まず27で割り切れるには9で割り切れないといけないから9の倍数になる必要があって
r=0,9,18
かなりしぼられます。
r=9は(1)から27で割れません。
r=18は【r】=(10^9 + 1)【9】だから(10^9 + 1)が各桁の数字の和が2だからこの部分は3で割れないので【r】は27で割れません。
当たり前のようできっちり示すにはちょっと難しいかもしれません。
いや、実際問題はかなり難しいと思います。

高校数学の問題と解説

整数問題の解法の解説と問題演習

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