FC2ブログ
わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

漸化式を使う確率の問題、nは3以上の整数とする。円周上のn等分点のある点を出発点とし、n等分点を一定の方向に次のように進む。
京大の問題(1996年)で質問を受けた数学の問題です。

問題は
『nは3以上の整数とする。円周上のn等分点のある点を出発点とし、n等分点を一定の方向に次のように進む。各店でコインを投げ、表が出れば次の点に進み、裏が出れば次の点を飛び越してその次の点に進む。最初に一周まわったとき、出発点を飛び越す確率p[n]を求めよ。』




p[n+1]=(1-p[n])・(1/2)までは予想つくと言うことですが、この問題はそれがわかれば解けたと同じです。


そこからは単に漸化式の問題で

準備として

p[3]は
表表裏の1/8
裏裏の1/4
より1/8+1/4=3/8

p[4]=(1-p[3])・(1/2)
=5/16

まずよくやるのが

(i)階差数列で解く

p[n+1]=(1-p[n])・(1/2)…①
p[n+2]=(1-p[n+1])・(1/2)…②

②-①:p[n+2]-p[n+1]=(-1/2)・(p[n+1]-p[n])
(p[n+1]-p[n])=(-1/2)^(n-3)(p[4]-p[3])
=-(1/16)・(-1/2)^(n-3)

p[n]=p[3]-∑(n=3~n-1)(1/16)・(-1/2)^(n-3) (n≧4)

=p[3]-(1/16)∑(n=1~n-3)(-1/2)^(n-1)

=p[3]-(1/16){1-(-1/2)^(n-3)}/{1-(-1/2)}

=1/3・(1-(-1/2)^n)

これにn=3を代入すると、p[3]=3/8になるのでn≧3でも成立。

p[n]=3/8・(-1/2)^(n-3)


もう少しだけ簡単に解ける方法は隣接三項間漸化式と同じやり方で
(ii)特性方程式で解く

p[n]とp[n+1]のとこにxで置き換えると
x=(1-x)・(1/2)
よりx=1/3
p[n+1]=(1-p[n])・(1/2)…①
1/3=(1-1/3)・(1/2)…②
①-②:p[n+1]-1/3=-(1/2)(p[n]-1/3)

{p[n]-1/3}は等比-1/2の等比数列より

p[n]-1/3=(-1/2)^(n-3)(p[3]-1/3)
p[n]=1/3・(1-(-1/2)^n)



話は戻って何故p[n+1]=(1-p[n])・(1/2)になるかと言うと、n等分された円を最初に一周まわったとき出発点を飛び越す確率は点がたくさん並んだ直線上を進めてn番目を飛び越す確率と考えられるから(これを思いつくかどうかが、この問題のキーやと思う)、

n+1番目に止るにはn番目に止まって裏が出る時で、n番目に止る確率はp[n]の余事象の確率1-p[n]です。

だからn+1番目に止まるには

(1-p[n])・1/2

なので漸化式

p[n+1]=(1-p[n])・(1/2)

が成り立ちます。


1996年の過去問をネットで調べたらどうも文系の後期の問題で2問目

(2)1周目では出発点を飛び越し、2周目に出発点を踏む確率rnを求めよ。

がありました。

高校数学の問題と解説

京都大学の入試の数学の過去問の解説

関連記事

テーマ:高校生日記 - ジャンル:日記

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://wankora.blog31.fc2.com/tb.php/1549-5ee5d88c
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

詳しいプロフィール


メッセージはこちらへ
メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

リンクはばりばりのフリー
一言メールくれれば相互リンクします。


カテゴリーと名作集
読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。



水と空気と街並とからだ
中学時代からの親友てつろうのブログ。
今年、滋賀医科に合格した医学生です。

リンク集
リンク集はこっちです。

このブログは携帯でも見られます。

カテゴリー

メール

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

FC2カウンター

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード