わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

カイワレ大根を育てるんやったら、オレを倒していけ
容疑者Xの献身の宣伝とかよく最近やってるやん。

オレもジンジャーエールと遊んだときに、原作の東野圭吾の本を新幹線の中でも読んでください言うてもらったから読んでん。

この前ドラマでやってたガリレオシリーズやねんな。

あのドラマが面白いとか京大が出てるとか聞いててんけど、その放送の時ちょうど数学のセミナーがあるから見られんかってん。
録画したら良かったんかもしれへんけど、おかんに録画しといて言うたら

「ドラマなんか見る子じゃなかったのに…」

ってかずゆきが不良になったとか家族会議が始まるからな。



湯川って名前どう考えても京大理学部でノーベル物理学賞とった湯川秀樹の名前からとってるとしか思えん。

確か福山雅治と柴咲コウやんな。

容疑者Xの献身読んだ限りでは、女性は靖子しか出てなかったからたぶん柴咲コウは靖子をやってるんやろな。

靖子はホステスを辞めて弁当屋で働いてるわけや。

そういえば、湯川が弁当屋で弁当を靖子から買うシーンもあったわ。

まあそんな靖子が一体どのようにドラマに関わってくるのか?オレも再放送でもあれば見てみるわ。


それにしても、ガリレオシリーズと言えば京都大学でしかも理学部が舞台みたいやからちょうど当事者にはその辺も面白かった。

容疑者Xの献身を読んでると、理学部は1、2年の時はみんな一緒で3年目から数学とか物理とか専攻が別れるとか書いてあったけど、これ京大理学部は1、2年はみんな一緒で3年目から系登録とか言うて専攻が別れるねん。

それとか同じ京大でも理学部だけはちょっとおかしいって言う扱いを受けるのとか、授業に出て先生の話しを聞かずに全然違う問題をやるのとか、やっぱり京大理学部がモデルになってるねんなって面白かった。


でも作者はそんなマニアックな情報を誰から聞いてるんやろな。

それを書けるのが小説家の凄いとこやな。


容疑者Xの献身で数学教師の石神が問題の作り方で

幾何の問題と見せかけて関数の問題であるとか、思い込みによる盲点をついてるだけだ

って言うようなことを言うシーンがあるやん。
これがキーワードでこれを意識して見ると面白いかもしれへんけど、

それはどういうことか言うと例えばこの問題を考えてみよう。


[問題]
nを2以上の自然数とする。
x1≧x2≧…≧xnおよび
y1≧y2≧…≧ynを満足する数列x1,x2,…,xnおよびy1,y2,…,ynが与えられているとする。y1,y2,…,yn1を並び替えて得られるどのような数列z1,z2,…,znに対しても
∑(j=1~n)(xj-yj)^2≧∑(j=1~n)(xj-zj)^2
が成り立つことを証明せよ。
(東京大学)

[解説]
∑(j=1~n)yj^2=∑(j=1~n)xj^2
だから要するに
∑(j=1~n)xjyj≧∑(j=1~n)xjzjを示せばええわけやん。

この問題もそのまま代数的な問題としてやろうとすると、パートナー交換と言うような考え方があって

a≧b、c≧dならば
ac+bd≧ad+bc(大きいもの同士+小さいもの同士≧交換したやつ)
が成り立ちます。
証明は
ac+bd-ad-bc=a(c-d)+b(d-c)
=(a-b)(c-d)≧0

で、この問題にはzk=y1であったとすると、
x1z1+xkzkよりもz1とzk=y1を交換した
x1zk+xkz1=x1y1+xkz1の方が大きい。
z1,z2,…,znからzkを除いた数列を新たにw2,w3,…,wnと書き直して

x1y1+∑(j=2~n)xjwj≧∑(j=1~n)xjzj
この大きいもの同士のパートナーの方が大きいって言う操作をどんどん繰り返せば
x1y1+x2y2+x3y3…+xnyn≧x1z1+x2z2+x3z3…+xnzn
って言えるわけやな。


でもこの問題は一見代数的な不等式の問題のように見えるけど

f(x1)=∑(j=1~n)xjyj-∑(j=1~n)xjzj

って言うx1の関数と見るとこれは一次関数で定義域はx1≧x2。

x1の係数はx1y1-x1z1=(y1-z1)x1から(y1-z1)でy1は一番大きいからこれは正になるからf(x1)は右上がりの一次関数つまり増加関数になっていてx1が一番小さい値x1=x2で最小値になるから

f(x1)≧f(x2)=(y1-z1)x2+∑(j=2~n)xjyj-∑(j=2~n)xjzj

今度はこの右辺を

g(x2)=(y1-z1)x2+∑(j=2~n)xjyj-∑(j=2~n)xjzj

とx2の関数と考えると定義域はx2≧x3でx2の係数は同様にy1とy2は一番大きい組み合わせだから

(y1-z2)+(y2-z2)=y1+y2-(z1+z2)≧0

よりg(x2)は増加関数で

g(x2)≧g(x3)=(y1+y2-z1-z2)x3+∑(j=3~n)xjyj-∑(j=3~n)xjzj

これをどんどん繰り返せば最終的にxnとxn-1だけの式h(xn-1)になって係数が

f(x1)≧h(xn-1)≧h(xn)=(y1+y2+…+yn-z1-z2-…-zn)xn=0

になって関数の問題としてはただの一次関数の問題で中学生レベルやねん。


まあ思い込みによる盲点と言うより出題者もパートナー交換みたいなことをイメージしてたんかもしれへんけどな。

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