わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

地図上の最短距離の問題、京都大学2008年度理系乙の第6問の解説(後半部分甲共通)
久しぶりに日記の方で数学の解説でもしよか。
地図上の2つの都市の最短経路の話しで結構おもろそうやったからな。

と言うことで京都大学2008年度理系乙の第6問の問題を解説するふにゅ。

ほんまにこんなノリで大丈夫なんかこれ。


この問題について、地図と言えばだいたいこういう長方形の地図やん。

090201_m3.jpg

メルカトル図法とか言うてたな。
この地図を見せて、例えば東京からワシントンあたりに最短距離で行くにはどうすればいいですか?って先生が聞いて

「真横に行けばいいです、うへ~」

って答えて鼻血出る程しばきまわされる生徒を一回は見たことあると思うねんけど、ちょっと上に弧を描いた曲線上に移動した方が距離が短いって言うやつを証明するような問題やねん。


[問題]
090201_m5.jpg
地球上の北緯60°東経135°の地点をA,北緯60°東経75°の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路R1,R2を考える。R1は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。R2は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短いほうとする。R1に比べてR2は飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ。

注:大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。


[解答と解説]
三角関数表は教科書かなんか見たってくれ。


まず図を書いてください。


余りよくない解答の例としては

090201_m4.jpg

こうやってリアルに書くことです。

地球の話ですがこうやって地球を手のひらに乗せてる神様とか、そういうのに騙されないでください。


数学的に計算するために自分で設定をします。
まずxyz空間を考えて地球の半径をrとします。
だから地球の球面は
x^2+y^2+z^2=r^2
です。

それで、
Aは北緯60°東経135°
Bは北緯60°東経75°
とか書いてますが、135-75=60だから
Aは北緯60°東経60°
Bは北緯60°東経0°
の図で考えたらいいわけです。

AとBの座標の表し方ですが、これはよく大学の解析力学とかで使うやり方なんですが球面上の点は2つの角αとβ(0≦α≦360°,-90°≦β≦90°)を使って、
P(rcosβcosα,rcosβsinα,sinβ)と決める方法があります。
これはどういう点かと言うと

090201_m8.jpg

まず、βは線分OPとxy平面のなす角度でz座標は三角比からrsinβです。
そしてPからxy平面に垂線を降ろした点をP'とするとOP'は同様に三角比からrcosβです。

xy平面で考えると、αはOP'がx軸性方向から反時計回りを正にした角度でOP'の長さはrcosβだから三角比から
x=(rcosβ)cosα,y=(rcosβ)sinα
です。


この方法を使えばαに東経、βに北緯を入れたらいいからA,Bの座標が求まります。


次にR1とR2の求め方ですが


090201_m9.jpg

R1ではz軸に垂直にA,Bを通るように切ります。

切り取った断面は円になってますが、その弧ABの長さがR1です。


R2では球の中心とA,Bの3点を通るように切ります。

すると断面は半径rの円になっていて弧ABの長さがR2です。



よし、ここまで来たら一人出来るかな?

そうか、まだ不安か。

そしたら、お兄ちゃんと一緒にやろか。


090201_m6.jpg

Aは北緯60°東経60°
Bは北緯60°東経0
で考えても一緒やからまず座標は
A(rcos60°cos60°,rcos60°sin60°,sin60°)
B(rcos60°cos0,rcos60°sin0,sin60°)
数字になおすと
A(r/4,(√3)r/4,(√3)r/2)
B(r/2,0,(√3)r/2)
です。

まずはR1の方を求めるとz軸に垂直にA,Bを通るように切るには平面z=(√3)r/2で切ればよくて、
R1は半径rcos60°=r/2の円の60°に対応する弧の長さになってます。

この長さは円周の60/360=1/6倍だから
1/6×2π(r/2)
=πr/6
とわかりました。

090201_m7.jpg

次はR2の方を求めるには原点とA,Bの三点を通る平面で切るわけですが、そこまで大げさにしなくても扇形のOABを考えればオッケーです。

このR2を求めるにはこの扇形の∠AOB=θがわかればいいわけですが、よく考えたらABの長さは座標がわかってるから
AB^2=(r/4-r/2)^2+((√3)r/4-0)^2+((√3)/2-(√3)/2)^2
=r^2/4
で求まって三角OABに余弦定理を使って
cosθ=(r^2+r^2-r^2/4)/2r^2
=7/8
=0.875

です。

三角関数表で余弦の値が0.875くらいになってるところを見ると

28.5°<θ<29°
がわかります。

そしてR2の長さは円周2πrのθ/360倍です。



後は、最後の仕上げでR1に比べてR2は何%短くなったかだから

(R1-R2)/R1×100
を計算します。

値を代入していくわけですが、これが3%以上と言うにはR2=2πr×θ/360は
2πr×28.5/360>-R2>2πr×29/360
だからθに29を入れて計算して


(R1-R2)/R1×100>1/30×100=3.33333…
だから3%以上と示せました。


京大の問題はかなり計算が簡単になるように作りこまれてるわけやな。

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