わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

虚数は現実世界に存在するか、どうか(たぶん誰にでもわかる編)
あかん、虚数のことがわかってない。
全然わかってない。


高校の時も友達に

「数学は嫌いや。だって虚数とか無いやろ。」

って言われたから、パーン!しばきました。


確かに虚数は、嘘の数。

英語で言えば、imaginary numberと言うように想像上の数な命名になってるとは言えばなってる。

二乗してマイナスになるもんなんか世の中には無いってことや。


でもよく考えてみてくれ。
マイナスも存在するんか?って話しや。

でもマイナスは受け入れやすいやろ。

それは
090208_m1.jpg
こうやって、点Oから右にどれだけ行くかを数字で表そうとすると、左の方に行くことをマイナスって考えたらええわけやからな。

そういう風に考えればマイナスは普通に世の中に存在してる。

それでマイナスの数をかける時、例えば-1をかける時は反対側に行くことと理解できたわけや。

プラス3ぐらいの位置で-1をかけることは、反対向きにして-3の位置にすることで、

-3の位置に-1をかけると、反対の反対だから元に戻って3の位置になることやった。


だから虚数iは、二乗したら-1の数やから3にiを二回かければ反対向きの-3になるような位置になることなわけやな。

そんなiは一回かけたら、どの辺なんか言うたら
090208_m2.jpg
こうやって、ちょうど縦になるわけや。

こうすれば3は、縦の3iに行って、そこから更に縦にいくと-3の位置になるわけや。

プラスは右に行く、マイナスは左に行く、虚数は上に行く、マイナスの虚数(-i)は下に行く。

虚数はただ単にそれだけのことやねん。

むしろ右と左しか行けなかった状態より実生活において自然なくらいなわけやな。


左右しか行けなかったのが、虚数は上に行くだけやねん。

西経30゚は東経-30゚とも言えるように、北緯30゚も虚数iを使って東経30゚iと言えるわけやな。

下をiとしても計算はいいけど、プラスの向きを正面にして左手の方をiとする決まりがあるねん。

虚数がわかりにくいのは二次方程式で√の中がマイナスの場合を虚数にするって説明から始まるからだけやねん。

虚数はただ単に上に行くだけやねん。



それでこっからはちょっと専門的な内容になるねんけど、この考え方が実は複素平面と言って旧課程では習ったけど今は習わなくなったやつやねん。
090208_m3.jpg

任意の複素数zは、角度θと0以上の数をrとして
z=r(cosθ+isinθ)
と表せて
z1=r1(cosθ1+isinθ1)

z2=r2(cosθ2+isinθ2)
があって、かけると
z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2((cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2))
=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))

と言うように、上手いこと加法定理が使えて図形的な意味は回転したりするわけやな。

090208_m8.jpg
ちなみに
i=cos90°+isin90°
やから、虚数はさっき縦に行くと書いたように90°回転することにちゃんとなっていて、
-1=cos180°+isin180°
やから、最初書いたように180°回転つまりマイナスは反対側になることになっているねん。

足し算は
z1=x1+iy1
z2=x2+iy2
とすると
z1+z2=x1+x2+i(y1+y2)
と言うようにベクトルの和になってて、複素数はもう回転できるベクトルになってるねん。

今はかわりにその操作が数学3Cで一次変換になってるねんけどな。


複素平面のちゃんとしたことについては京大の友達のたけしがpdfに書いてます
複素平面の理論

数学、物理

高校数学の公式や問題の解説

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