わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

不確定性原理の関係式は量子を確率分布と考えることだけで数学的に出る
またテレビで量子力学では観測すると結果かがわかるからインターネットで傍受されない技術に使える説明で、量子はあいまいで心みたいなもんやとか哲学であり文学とか説明しとってキレそうになった。


そんなん理解できへんからって勝手に哲学とか文学とかの枠組みに入れるなって話しや。
全然関係ないもんなんや。


量子力学の根本的なのは不確定性原理ってやつや。


それは、ある電子の位置を正確に知ろうとして光を当てると光子が当たって動くから運動量(=速度×質量)が正確にわからない。
運動量を正確に知ろうと運動量の弱い光子の光、つまり波長の長い光(赤色)を当てると、ぼやけるから位置が正確にわからない。

だから電子の位置と運動量は同時に正確に知ることはできないってことや。


それが位置xの不確定な長さをΔx,運動量pの不確定な量をΔpとすると

光子が
運動量×波長=プランク定数

だから

ΔxΔpがだいたいプランク定数hの定数倍のオーダーで

ΔxΔp=h~

(h~=h/2π)

くらいになるわけや。

これが不確定性原理って言うねん。

これによって何と水素原子のおおよその半径が求まるねん。

こういう観測できないってことで原子の半径が決まるのが凄いことやな。

観測できないってことにもの凄い深い意味があるわけや。


最初観測すると結果がかわる言ってたのは観測しようとすると光とかが当たってしまって状態がかわってしまうわけやな。


それでこの不確定性原理の式はもっと正確には

ΔxΔp≧h~/2

やねんけど、位置と運動量は量子レベルのミクロな世界では観測できないから位置xにはどれくらいの確率で電子が存在するか考えてみることにするねん。

090223_m1.jpg

一次元で考えるとxを位置として微小区間dxに電子が見出される確率は、ψ(x)って言う複素関数があって
|ψ(x)|^2dx
に確率は比例するって考えるとして、このψを波動関数と呼ぶ。

∫(-∞,∞)|ψ(x)|^2dx=1
となるように定数をかけておけば、まさに|ψ(x)|^2dxは確率になるわけやな。

そしたらこれだけで

ΔxΔp≧h~/2

が数学的に出てくるねん。


まずこのψ(x)のフーリエ変換した式g(k)は波数をkとして
g(k)=1/(√(2π))・∫(-∞,∞)f(x)e^(-ikx)dx
と表されて、これは物理的な意味は波数kに定数h~をかけると運動量pになるから運動量を扱ってるのと同じやねん。


それで数学の以下の定理を使うわけや。

090223_m2.jpg

(Δ_x_0 f)(Δ_ξ_0 f^)≧1/2

(f^はfのフーリエ変換)

この数学の定理を使うと
ΔxΔk≧1/2
が示されるねん。


ちゃんとした定義は
Δ_a f=
(∫(-∞,∞)(x-a)^2|f(x)|^2/∫(-∞,∞)|f(x)|^2dx)^(1/2)

これは位置aからどれくらいの幅でばらけて存在してるかって言う確率論の分散ってやつで波動関数ではどれだけばらけてるかΔxに対応していて

fはR上の急減少関数とする。
(fがR上の急減少関数とは
f∈C∞(R),
すべての非負整数p,qに対して
lim(x→±∞)x^pd^qf/dx^q=0
)


証明は

090223_m3.jpg

∫(-∞,∞)|f(x)|^2dx=1

と正規化しておいて

F(x)=e^(-iξ_0x)f(x+x_0)
を考えれば、x_0=0,ξ_0=0の時の

(∫(-∞,∞)x^2|f(x)|^2dx)・
(∫(-∞,∞)ξ^2|f^(ξ)|^2dξ)
≧1/4

を示せばよいことになる。

1=∫(-∞,∞)|f(x)|^2dx
=[x|f(x)|^2](-∞,∞)-∫(-∞,∞)xd(|f(x)|^2)/dx・dx
f(x)は急減少関数だから[x|f(x)|^2](-∞,∞)=0で

1=-∫(-∞,∞)xd(|f(x)|^2)/dx・dx
=-∫(-∞,∞)(xf'(x)f(x)~+xf(x)f'(x)~)dx

(f(x)~はf(x)の複素共役。|f(x)|^2=f(x)f(x)~)

この式から関数に絶対値つけた積分の方が大きくなるから

090223_m4.jpg

1≦2∫(-∞,∞)|x||f(x)||f'(x)|dx
(シュワルツの不等式から)
≦2√(∫(-∞,∞)|xf(x)|^2dx)√(∫(-∞,∞)|f'(x)|^2dx)

だから両辺を二乗して

1≦4(∫(-∞,∞)|xf(x)|^2dx)(∫(-∞,∞)|f'(x)|^2dx)

plancherelから

∫(-∞,∞)|f'(x)|^2dx
=∫(-∞,∞)|ξf^(ξ)|^2dx

より

(∫(-∞,∞)x^2f(x)^2dx)(∫(-∞,∞)ξ^2f^(ξ)^2dξ)≧1/4


で証明終了。


本当はfが二乗可積分でも成立するけど、そこは許してもらってと。


だから

(Δ_x_0 f)(Δ_ξ_0 f^)≧1/2

でこの単に数学から出てくる式からfをψとするとf^はgに対応するから

ΔxΔk≧1/2

と示せてkh~が運動量pになるから

ΔxΔp≧h~/2

が出てくるわけや。


xを位置として微小区間dxに電子が見出される確率は何かψ(x)って言う複素関数があって
|ψ(x)|^2dx
に確率は比例するって考えただけで不確定性原理の
ΔxΔp≧h~/2
が数学的に出てくるねん。


それがおもろいな。


それがおもろいな。


二回言わんでええって。



ちなみに
ΔxΔp=h~/2
って等号が成立するような波束を最小波束と言って数学の証明のとこでシュワルツの不等式が成り立つとこの等号成立の条件を使えば出てくるけど、例えば
ψ(x)=C・exp(-ax^2)
とかがなるねん。(Cは定数)

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