わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

今度はタスポを発行するのに必要なカードを導入せなあかん
予備校の数学講師たるもの、やっぱり不意うちで背後から首しめられて質問されても答えられなかったらあかんわけや。

やっぱり、受験の範囲内の問題なら全部答えられるようになっとかなあかんわけやん。

まあ一応、採用試験の時に数学の試験を受けるけど。


やっぱり予備校の数学講師なら何でも解けるみたいな期待があるからな。


でもほんま難しいのはある意味大学の演習問題より難しいな。


今回もまたメールで悩んだのが

xy平面において

確率1/4でx方向に1,y方向に1進む。
確率1/4でx方向に1,y方向に-1進む。
確率1/2でx方向に1進む。

原点にある点Pが(n,k)に到達する確率は

(2n)_C_(n+k)/4^n


え、こんなんで求められるんですか!?って思ったもん。

もう敬語になったまうくらいテンパるわけや。


普通に考えれば、iを0以上の整数としてy方向に1進むのがk+i回とするとy方向に-1進むのがi回じゃないとあかんかって、残りn-k-2i回はx方向に進だけでこの場合の確率は

n!/((k+i)!i!(n-k-2i)!)・(1/4)^(k+i)・(1/4)^(i)・(1/2)^(n-k-2i)

これをi=0~[(n-k)/2]
まで足せばよくて

Σ(i=0~[(n-k)/2])n!/((k+i)!i!(n-k-2i)!)・(1/4)^(k+i)・(1/4)^(i)・(1/2)^(n-k-2i)



090426_m5.jpg

ぶほー!!

通風になって足おさえてたおれた。


まだそんな歳違うやろ!


なんでこれが

(2n)_C_(n+k)/4^n

みたいな綺麗な数字になるんやろな。


まあ、それで数学の勉強法に則って一回あきらめた。


そしたら、反対に思いついてもたわ。
x方向に進むだけが確率1/2やけど、

確率1/4でx方向に1,y方向に1進む。
確率1/4でx方向に1,y方向に-1進む。
確率1/2でx方向に1進む。


確率1/4でx方向に1,y方向に1進む。
確率1/4でx方向に1,y方向に-1進む。
確率1/4でx方向に上から迂回して1進む
確率1/4でx方向に下から迂回して1進む

って根源事象にわけてPが(n,k)に到達するの何通りか考えて、4^nで割るわけや。

まあでもその何通りかって言うのが問題で、この時点では別に何の解決にもなってないねんけど。


それで思いついたのは、次の式を考えてみるねん。

(t+1+1+1/t)^n

これを展開した時に、
tの次数がx=nに来た時のy座標の位置と考えると、
その次数のtの係数がそのy座標の位置への到達の仕方の総数になってるわけや。

(t+1+1+1/t)(t+1+1+1/t)(t+1+1+1/t)…(t+1+1+1/t)

って左からtを選ぶと次数が1つ増えるのが
確率1/4でx方向に1,y方向に1進むのと対応

次1/tを選ぶと次数が1つ減るから
確率1/4でx方向に1,y方向に-1進むのと対応

今度は左の1を選べば次数はそのままやから
確率1/4でx方向に上から迂回して1進むのと対応

右の1を選べば同じく次数はそのままやから
確率1/4でx方向に下から迂回して1進むのと対応


だから例えばtの次数がkなら(n,k)に付くのはt^kの係数が(n.k)への到達の仕方なわけや。

t^kの係数は
(t+1+1+1/t)^n
=((t^2+2t+1)/t)^n
=((t+1)^2/t)^n
=(t+1)^(2n)/t^n

分母がt^nやからt^kの係数は(t+1)^(2n)でtの次数がn+kになる係数を考えたらええから、

(2n)_C_(n+k)通り

よって確率は

(2n)_C_(n+k)/4^n

090426_m6.jpg

これで安心安心。

それにしても、誰が考えてん!言うような問題次から次へとよく出てくるもんやな。

やっぱりでも背景があるんやろうな。


京大の友達のたけしに教えてもらったけど、

整数問題、一橋大学2009年度の第1問

090414_m1.jpg

2以上の整数m,nはm^3+1^3=n^3+10^3をみたす。m,nを求めよ。


これは、ラマヌジャンの1729の話が背景みたいで以下wikipediaから引用すると


ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。

1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。

    「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない、つまらない数字だったよ」

これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。

    「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

実は、1729は次のように表すことができる。

    1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3

すなわち、1729が「A=B^3+C^3=D^3+E^3」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。



こんな話オレ全然知らんかったわ。

だから、

「さすが何でもよく知ってるな」

ってメール返しといたら、もう二度と返ってくることはなかった。


基本的にたけしとの会話は全然ついて行けんから、適当に

「おお」

「確かにそうやな」

「ほんまやな」

とか言うてるだけやからな。

と言うより、言わざるを得ない感じや。

数学、物理

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