FC2ブログ
わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

数学的帰納法は何故証明したことになるか?は証明になってない
この前書いた数学的帰納法は何故証明したことになるか?って記事がどうも数学を専攻した人らの中で問題になってて、もはや数学セミナーの再来やな。

今オレは黒板の前で発表してたら

「それは嘘」

だけ言われてあたふたして5時間ぐらい汗だらだら流しながらチョーク持って立たされて焦ってる感じや。


どうもオレが書いた証明は自然数が整列集合であると言うことを用いて数学的帰納法が正しいと言うことを書いてんけど、自然数が整列集合であることは数学的帰納法によって証明されるとこが問題らしい。

超限帰納法について書こうと思ったから、オレが参考にした本はたぶん自然数が整列集合であることを原理として数学的帰納法を証明する趣旨みたいに感じてんけど、

Nを自然数全体の集合として
「1を含む任意の部分集合A⊂Nについて、もしn∈Aならばn+1∈AであればA=N」

という自然数の公理に数学的帰納法の公理があって、これを原理とすれば

「数学的帰納法
P(n)を自然数nに関する命題として
(1)P(1)が成立
(2)P(n)が成り立つならばP(n+1)が成り立つ。
が成立すれば、すべての自然数nに対してP(n)は成立」



「A={n∈N|P(n)が成り立つ}とすると(1)より1∈A,(2)よりn∈Aならばn+1∈A。よってA=Nである」

と言うように証明できて逆はほぼ自明やから、要するにこの数学的帰納法の公理と数学的帰納法は同値やねんけど、この数学的帰納法の公理を使うことで

「自然数の整列性
自然数の任意の空でない部分集合は最小元をもつ。」



「Sを自然数の空でない集合として、T={n∈N|任意のa∈Sについてn≦a}とおくと
1∈T,T≠Nであるが、もしn∈Tならばn+1∈TとするとT=Nとなり矛盾するので、
m∈Tならばm+1∈Tでないmが存在する。m∈Tから任意のa∈Sについてm≦aであるが、もしm∈Sでないならば、任意のa∈Sについてm<aになる。
よってa-mは1または1より大きいから、m+1=aまたはm+1<a。
よってm+1≦aとなり、m+1∈Tでないことに矛盾する。
よってm∈SでありこれがSの最小元である。」

と言うように証明できるねん。


だから数学的帰納法が成立することと自然数が整列集合であると言うことは同値であって、どっちを原理にするかの問題で自然数が整列集合であるから数学的帰納法は正しいと言ったところであまり意味がないみたいやねんな。
数学的帰納法は、それ自体が自然数の公理であって証明出来る性質のもんではないって言ったらええかもしれん。

実数の整列化の話も非可算の選択公理を認めたら出来るって言う話で、実際に整列が出来ると言うわけではないとかこの記事はとにかく問題が多いな。

正直、消してしまいたい。

でも心のどこかで、ガムテープを太ももに貼られてゆ~っくりゆ~っくり剥がされることに快感を見出してる自分もいるわけや。

だから消せない。

何を言うとんねん。


あかん、どうしてもいたぶられることで色々調べて成長をすることに快感を見出してしまってるわ。
これは病気やな。

それでまた突っ込みが入ってもう抜け出せんようになるわけや。

これは椅子に座らされて縛り付けられてくすぐられ続けて、死にそうになって、もうやっとくすぐる人が疲れてきて終わった思ったら、ガチャって扉が開いて
「よっしゃ、交代やな」
ってガタイのいいおっさんが入ってきた時の絶望感みたいな感じやな。

数理物理

関連記事

テーマ:日記 - ジャンル:日記

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://wankora.blog31.fc2.com/tb.php/1849-d85f8c0f
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)

自然数全体の集合の任意の空でない部分集合は最小元を持つ

この前書いた数学的帰納法は何故証明したことになるか?って記事がどうも数学を専攻した人らの中で問題になってて、もはや数学セミナーの再来やな。 今オレは黒板の前で発表してたら 「それは嘘」 だけ言われてあたふたして5時間ぐらい汗だらだら流しながらチョーク持って立たされて焦ってる感じや。 どうもオレが書いた証明は自然数が整列集合であると言うことを用いて数学的... 数学基礎論を勉強して定理の証明とかを書きとどめるブログ【2014/06/14 08:38】
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

詳しいプロフィール


メッセージはこちらへ
メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

リンクはばりばりのフリー
一言メールくれれば相互リンクします。


カテゴリーと名作集
読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。



水と空気と街並とからだ
中学時代からの親友てつろうのブログ。
今年、滋賀医科に合格した医学生です。

リンク集
リンク集はこっちです。

このブログは携帯でも見られます。

カテゴリー

メール

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

FC2カウンター

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード