あかん、全然あかん。
全然あきませんわ。
何を悩んでるか言うたらp,qを有理数として4次方程式
x^4+px+q=0
がx=2+√3を解に持つ時、x=2-√3も解に持つってことの説明やねんけど、
大学のちょっとした代数の知識を使って
x-2-√3=0
両辺にx-2+√3をかけて
(x-2)^2-3=0
⇔
x^2-4x+1=0
で[Q(√2),Q]=2よりx^2-4x+1=0はQ上の最小多項式なのでx^4+px+q=0を割り切るからx=2-√3も解である
と言うようなことを高校生レベルでわかるようにそこそこ簡単に説明出来るかってこと考えてたら目から血でてきた。
変なこと書いてしまったら、また殺されそうになるしな。
こんなこと言うんもあれやけど、オレあんまり純粋数学が得意じゃないし好きと言うわけでもないねんな。
本当は理論物理やるための数学を勉強してたし。
と数学科のやつらをけん制しといてと。
どんどん素イデアルとか極大イデアルとかEuclid環とか説明していけばええんかもしれんけど、そんなんやったら
この可換体論 (数学選書 (6))(永田 雅宜 (著) 裳華房)でも読んどけって話になるしな。
でもなあ、オレの理解もまだ足りてないんやろうしな。
まだもうちょっと考えてみるか。
と言うことで、とりあえずの暫定版の適当な説明でも書いとこかな。
別に何もたいした説明ではないねんけど。
有理数の係数のn次元方程式
a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_1x+a_0=0
がx=p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)の解を持つとき、x=p-q√rも解に持つことの証明。
複素数の共役と同じようにやればええと思うねん。
複素数の共役ではα,βを複素数としてα~をαの共役な複素数とすると
(α+β)~=α~+β~
(α-β)~=α~-β~
(αβ)~=(α~)(β~)
(α/β)~=(α~)/(β~)(β≠0)
が成り立ってるから
ある実数係数のn次元方程式
b_nx^n+b_(n-1)x^(n-1)+…+b_1x+b_0=0
があってx=αを解に持つとき、共役な複素数α~を解に持つことは
b_nα^n+b_(n-1)α^(n-1)+…+b_1α+b_0=0
の両辺の共役をとって
(b_nα^n+b_(n-1)α^(n-1)+…+b_1α+b_0)~=0~
⇔
(b_nα^n)~+(b_(n-1)α^(n-1))~+…+(b_1α)~+b_0~=0
⇔
b_n(α^n)~+b_(n-1)(α^(n-1))~+…+b_1(α)~+b_0=0
⇔
b_n(α~)^n+b_(n-1)(α~)^(n-1)+…+b_1(α~)+b_0=0
よりx=α~も解と示された。
これと同じように
p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)
と言う形であらわされる実数全体を考えるねん。
p+q√r=0
とすればp=q=0やから1と√rは一次独立な基底になっていて、有理数上の二次元のベクトル空間になってるねんな。
複素素も1とiが基底として実数上の二次元ベクトル空間やったやん。
ちょっと言い方が大学風やから、まああんま気にせんといてくれ。
それで複素数の共役と同じように
f(p+q√r)=p-q√r
と言う写像を考えてみると
s,tを有理数として
f((p+q√r)+(s+t√r))=f((p+s)+(q+t)√r)
=p+s-(q+t)√r
=p-q√r+s-t√r
=f(p+q√r)+f(s+t√r)
f((p+q√r)-(s+t√r))=f((p-s)+(q-t)√r)
=p-s-(q-t)√r
=p-q√r-(s-t√r)
=f(p+q√r)-f(s+t√r)
f((p+q√r)(s+t√r))=f(ps+tqr+(pt+qs)√r)
=ps+tqr-(pt+qs)√r
=(p-q√r)(s-t√r)
=f(p+q√r)f(s+t√r)
f((p+q√r)/(s+t√r))=f(((p+q√r)(s-t√r))/((s+t√r)(s-t√r)))
=f((ps-tqr+(-pt+qs)√r)/(s^2-t^2r))
=(ps-tqr-(-pt+qs)√r)/(s^2-t^2r)
=((p-q√r)(s+t√r))/((s+t√r)(s-t√r))
=(p-q√r)/(s-t√r)
=f(p+q√r)/f(s+t√r)
よって
a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_1x+a_0=0
がx=p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)の解を持つと
a_n(p+q√r)^n+a_(n-1)(p+q√r)^(n-1)+…+a_1(p+q√r)+a_0=0
両辺fで写して
f(a_n(p+q√r)^n+a_(n-1)(p+q√r)^(n-1)+…+a_1(p+q√r)+a_0)=f(0)
⇔
f(a_n(p+q√r)^n)+f(a_(n-1)(p+q√r)^(n-1))+…+f(a_1(p+q√r))+f(a_0)=0
⇔
a_nf((p+q√r)^n)+a_(n-1)f((p+q√r)^(n-1))+…+a_1f((p+q√r))+a_0=0
⇔
a_n(f(p+q√r))^n+a_(n-1)(f(p+q√r))^(n-1)+…+a_1(f(p+q√r))+a_0=0
したがってx=f(p+q√r)=p-q√rも解に持つ。
それでほんまに暫定じゃない版が出来るんか不明やけどな。
まあでもこんなことしなくても二項定理で単純にバラした方がわかりやすいかもしれんな。
今日はこんなこと書きたかったわけちゃうのに。
ほんまは今日は、下痢やったからトロロうどんを食べなかった話しをしたかってん。
ただでさえ、出まくりやのにトロロを食べたら、腸とか全部出るんちゃうかって話やってんけど、別になんかみんな聞きたくなさそうやし、そんなんやったらもうええわってことで、封印することにした。
数学、物理
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