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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

27個の立方体に針金を通すと最高で何個つらぬけるか?算数オリンピックの問題
そしたら、わんこらの算数オリンピックコーナー。

数学は受験数学かずスクールに記事を集めてるけど、算数なら誰でも参加できるから、わんこら日記の方でいっとこか。

まあ質問された問題で面白かったら紹介してるだけで、ほんまにコーナーが続くか不明やけど。


[問題]
091202sao1.jpg
同じ大きさの立方体27個が、縦3個、横3個、高さ3個にすきまなくぎっしりとならんで大きな立方体の形に積まれています。
細いまっすぐな針金1本で、この大きな立方体をつきさすとき、小さい立方体を最高何個までつらぬくことができますか。



[解答と解説]
これは、言わゆる算数の天才的な子ならすぐに恐らく立方体をイメージして針金を頭の中で通してたら答えがわかるんやろな。

でも普通は頭でイメージして針金を通して…って、う~んう~ん唸ってたら


47分後…



091202sao2.jpg

こんなわけわからんことになってるかもしれんな。

頭にダンボール箱をかぶされてパーン!叩かれて、半永久的に回転させられる世界なわけや。



でも今日はそういうイメージ力を高めようと言うのじゃなくて、数学の解答の糸口を掴むための考え方を覚えていって欲しいねんな。



まずこういう立体とか3次元のものは2次元つまり平面でまず考えてみると、解き方が見えてくるねん。

091202sao3.jpg

同じ大きさの正方形9個が、縦3個、横3個にすきまなくぎっしりとならんで大きな正方形の形に積まれています。
細いまっすぐな針金1本で、この大きな正方形をつきさすとき、小さい正方形を最高何個までつらぬくことができますか。



まあこれは

091202sao4.jpg

たぶんこうやってつらぬいた時の5個なんやろな。


たぶん5個なんやろうけど、ほんまに6個とか7個つらぬくさし方は無いかどうかがちょっとわかりにくい。


じゃあどうしたらええやろって思うと、こういうやつは境目の方を考えると上手くいくことがあって

091202sao5.jpg

つらぬいた正方形の数は一番外側を除いた線分との交点を考えると、この交点の数に1足したものが正方形をつらぬいた個数になるやん。

でも線分が交わってるとこをちょうど針金が通ると個数は減るから、それも考えるとつらぬいた正方形の個数は

交点の数+1以下

になるわけですわ。


そしたら

091202sao6.jpg

針金を通していくと、横方向につらぬく線分の数は2本以下で、縦方向につらぬく線分の数も2本以下なわけやから、

この大きい正方形で、つらぬける正方形の個数は

2+2+1=5個以下

ってわかるねん。

つらぬけるのは5個以下で実際に

091202sao4.jpg

こうやれば5個つらぬくから、最高で5個つらぬくことになります。



これを立体で考えてみよう。

091202sao7.jpg

立方体の場合は、つらぬく立方体の個数は

つらぬいた面の個数+1個以下


で横方向につらぬく面は2つ以下、縦方向につらぬく面は2つ以下、奥方向につらぬく面は2つ以下だから、この大きい立方体に針金を通した時、つらぬく立方体の個数は

2+2+2+1=7個以下

になります。


7個以下ってことがわかったから、次は7個になるような針金のさし方が実際にあったら最高で7個と言えるねんけど、平面の時は

091202sao4.jpg

対角線から少しずらしたさし方をしたら5個通ったから

091202sao8.jpg

こうやって立方体の対角線から少しずらして針金をさすと、7個になるねん。


だから答えは7個。


そしたら今日は

○立体図形は平面図形で考えてみる

○境目の方に注目してみる

○最大値Mを求める時、M以下であってMになるものが存在すると言う方法がある

って言うのを覚えていったってください。

中学受験の算数の問題の解答や解説

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