わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

洗濯機がなかった時代は、みんな手もみ洗いしてたことを忘れてるやろ
今日は新作のドレスシャツをネットで見てたら、綺麗な青のストライプで

これは!

って気に入ったのがあったから、そっこうで買ってしまった。


そしたら、オレがMサイズを買うとMサイズ売り切れになってん。

ラスト1やったとは危なかった!


よっしゃ!!!


これで、またブログに写真たくさん載せると言ういつもの痛い行動に出ると思うけど、またおっさんが勘違いしてなんかやってるなと思っててください。


ほんま20,30着しか作らんらしいから、すぐに売り切れるねんな。



全然関係ないけど、コーシーシュワルツの不等式っていつも内積の性質と説明してるねん。

内積は高校で習うのは標準内積とかドット積とか言うもので本当は色々あるねん。

それで内積はベクトル空間の元a,b,cに対して積(a,b)が定められいて


(a,a)≧0
正値性

(a,b)=(b,a)
対称

((αa+βb),c)=α(a,b)+β(b,c)
双線形性
(α,βは実数)

の三つを満たすものを言うねん。


高校で使う標準内積ももちろん、成り立ってやんな。


ほんまは一般的には複素数上で定義するけどな。

ここは説明しやすいように簡単に実数上でやろか。


それでこの三つの性質だけでtを実数として

(at+b,at+b)≧0

(a,a)t^2+2(a,b)t+(b,b)≧0

が全ての実数tで成立するから判別式をDとすると

D/4≦0⇔(a,b)^2-(a,a)(b,b)≦0
⇔(a,b)^2≦(a,a)(b,b)

と言う不等式が導けるねん。

これがコーシーシュワルツのことやねん。


例えばベクトル(x y z)と(a b c)ならば

{(x y z)・(a b c)}^2≦|(x y z)|^2|(a b c)|^2

(xa+yb+zc)^2≦(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)

になってコーシーシュワルツの不等式とよく紹介されてるやろ。


それとか[a,b]で連続関数もベクトル空間(連続関数を足しても連続関数、実数倍しても連続関数)
だから連続関数f,gに対して内積を
(f,g)=∫(a,b)f(x)g(x)dx
と定義すれば、三つの性質を満たしていて不等式
(f,g)^2≦(f,f)(g,g)
つまりは
{∫(a,b)f(x)g(x)dx}^2≦∫(a,b)f(x)^2dx∫(a,b)g(x)^2dx
でこれもコーシーシュワルツの不等式とよく紹介されてるやろ。


だから証明しろと言われたら、さっきのを使って積分で書いてあげて

∫(a,b)(f(x)t+g(x))^2dx≧0

(∫(a,b)f(x)^2dx)t^2+2(∫(a,b)f(x)g(x)dx)t+∫(a,b)g(x)^2dx≧0

が全ての実数tで成立するから判別式をDとすると

D/4≦0⇔(∫(a,b)f(x)g(x)dx)^2-(∫(a,b)f(x)^2dx)(∫(a,b)g(x)^2dx)≦0
⇔(∫(a,b)f(x)g(x)dx)^2≦(∫(a,b)f(x)^2dx)(∫(a,b)g(x)^2dx)

と証明できるねん。


でも
(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2≦(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+…+b_n^2)
では高校ではn次元のベクトル(a_1 a_2 … a_n)とか言うわけにはいかんから

一つずつの次元で考えてあげて
(a_k・t-b_k)^2≧0

a_k^2・t^2+2a_k・b_k・t+b_k^2≧0

からk=1~nまで全部たして
Σ(k=1~n)(a_k^2・t^2+2a_k・b_k・t+b_k^2)≧0

(Σ(k=1~n)a_k^2)・t^2+2(Σ(k=1~n)a_k・b_k)t+Σ(k=1~n)b_k^2≧0
が全ての実数tで成立するから判別式をDとすると

D/4≦0

(Σ(k=1~n)a_k・b_k)^2≦(Σ(k=1~n)a_k^2)(Σ(k=1~n)b_k^2)
とやれば問題ないやろな。


統合成立はD=0つまり重解αを持つやから

Σ(k=1~n)(a_k・α-b_k)^2≧0

a_k・α=b_k

つまり
a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n


と今日はコーシーシュワルツネタはD≦0のノリでやればよいと言うことを覚えてくれたらええわ。


まあa_nで微分とかで超絶ごり押しとかでも出来るけども。


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