わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

手伝わんでいい言うてるのにおっさんが台所に入っていって醤油の瓶倒してこぼれたときに、その人の本性が表れる
最近なんやかんやで時間がないな


そういえば、北海道大学の問題で

(1)1000から9999までの4桁の自然数のうち、1000や1212のようにちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

(2)n桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

と言うのがあるねんけど

これって(1)で

0以外の異なる2つ数字AとB(A<B)を選んで9C2=36
A3つB1つで4C1=4通り
A2つB2つで4C2=6通り
A1つB3つで4C3=4通り

0と1~9から一つAを選んで9通りで千の位はAで
A2つと0が1つで3C1=3通り
A1つと0が2つで3C2=3通り
A0つと0が3つで3C3=1通りで

36×(4+6+4)+9×(3+3+1)=567
通り

って出せるやん。

でもこうやると(2)が

Aがn-1つでBが1つでnC1=n通り
Aがn-2つでBが2つでnC2=n(n-1)/2通り
で…

って頑張れば二項展開で計算できるには出来るけどしんどくなるやん。

もし問題が3種類の数字やったらもっとしんどくなるしな。



そこで0でないと言うように条件が一番厳しい上の桁から一つずつ決めていく方法をとると

千の位は1~9で9通り
百、十、一の位は残りのもう一種類の数字の選び方が9通りで

百は2通り
十は2通り
一は2通り
全部同じは不適なので
2×2×2-1=7

より
9×9×7=567

とかやれば、0も分けなくて良いし(2)にも

9×9×(2^(n-1)-1)
で瞬殺で答えが出るわけやな。



しかももし3種類の数字やったら

更には

3種類以下から2種類、1種類を引くってやっても結構厳しいと思うねん。

その3種類以下になるのを求めること自体が難しいねん。

さっきみたいに千の位は9通りで

残り二つの文字は9C2で

3通りずつとして

9×9C2×3×3×3

と計算すると

千の位に1、残りの2つを2,3とすると
1222
が入っていて

千の位に1、残りの2つを2,4とすると
1222
が入っていて被るからな。


むしろ3種類を求めることで1種類+2種類+3種類で3種類以下を出すんちゃうかって感じやな。


そこでやっぱりさっきみたいにn桁なら

一番上の位は9通り
残りの2種類の数字は9C2通り

一番上の位の数字をA,残りの2種理B,Cと書いたら

一番上以外の数の選び方は1~n-1をA,B,Cの部屋に空が出ないように入れる方法を考えて

3^(n-1)-3C2(2^(n-1)-2)-3
=3^(n-1)-3・2^(n-1)+3

BとCだけに入るのを考えて
2^(n-1)-2

よって
9×9C2×(3^(n-1)-3・2^(n-1)+3+2^(n-1)-2)
=324×(3^(n-1)-2・2^(n-1)+1})

とか数えられると思うねん。


こうやって数え方をかえることで、何かが変わると思うねん。


それがこの問題をやるときいつも印象的やねんな。


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