わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度理系第3問、空間座標と微分の問題の解説
数学の解説、かずスクールとわけるのが面倒になってきたから、わんこら日記に更新するわ。

オレには解説しか自分に出来ることないしな。

もう、全然あかんねん。

おじさんなんもできへんねん。

もうなあ、バキバキやねん。


だから、はよ解説しろや

東京大学2016年度理系第3問の解説します。

よろしくお願いします。

[問題]
14841647220.jpeg

aを1<a<3をみたす実数とし、座標空間内の4点P_1(1,0,1)、P_2(1,1,1),P_3(1,0,3),Q(0,0,a)を考える。直線P_1Q,P_2Q,P_3Qとxy平面の交点をそれぞれR_1,R_2,R_3として、三角形R_1R_2R_3の面積をS(a)とする。S(a)を最小にするaと、そのときのS(a)の値を求めよ。

[解答と解説]
これは、あれやな。


14841647370.jpeg

スキャニャンするねん。



それだけじゃ意味わからんやろ!


14841647520.jpeg

まずな、こうやって座標を描くやろ。

それでR_1,R_2,R_3とかの座標を求めたいとこやな。

そしたらな、ベクトルでどんどん計算していったらよくて、根性でやることが一番大切やねんけど

比で考えると処理が早く簡単にできたりするねん。

長さの比が各軸方向の長さの比になるねん。

つまりは
A(a_x,a_y,a_z),B(b_x,b_y,b_z),C(c_x,c_y,c_z)とすると
AB:BC=(b_x-a_x):(c_x-b_x)=(b_y-a_y):(c_y-b_y)=(b_z-a_z):(c_z-b_z)
って言う風になるねん。


それを生かすと図のように
QP_1:P_1R_1=QP_2:P_2R_2=(a-1):1
P_3Q:QR_3=(3-a):a
になるねん。


これでz座標はわかってるからな。

14841647640.jpeg

xy平面に正射影するとわかりやすいわ。


そしたら比がわかってるからx,yの座標は


R_1(1×a/(a-1),0)
R_2(1×a/(a-1),1×a/(a-1))
R_3(-1×3/(3-a),0)

ってわかるわ。

そしたら面積はもうそらあれや。


R_1R_3を底辺、R_2のy座標が高さの三角形の面積やから

S(a)=1/2×{a/(a-1)-(-3/(3-a))}a/(a-1)
=a^2/{(a-1)^2(3-a)}

って簡単に計算できますね。


これでもう根性で微分したら何も問題ないねんけど、

こうやって(整式)/(整式)で因数が多いのは対数微分したらちょっと楽やわ。


対数微分すると楽なのは後は
y=f(x)^g(x)
とかやな。

例えばx^xやな。

別に対数微分しなくても
x^x=e^(xlogx)
とやったら微分できるねんけど、それが対数微分やろと言う厳しい意見もあります。

14841647900.jpeg

この問題やと
S(a)>0より1<a<3に気をつけて
log(S(a))=2log|a|-2log|a-1|-log|3-a|
=2log(a)-2log(a-1)-log(3-a)
ってバラらすねん。



それで微分すると
S'(a)=2/a-2/(a-1)+1/(3-a)
ってやったら簡単な感じがしなくもないような気がしなくもないな。


後は増減表書いてS(2)=4です。
ありがとうございました。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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