わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度理系第4問、複素数平面の問題の解説
今日はいい天気になって、すっかりいい天気になったな。

東京大学2016年度理系第四問の複素数平面の問題を解説します。

よろしくお願いします。


[問題]
14850591710.jpeg

zを複素数とする。複素数平面上の3点A(1),B(z),C(z^2)が鋭角三角形をなすようなzの範囲を求め、図示せよ。

[解答と解説]

鋭角三角形と言うことは、まず点が重なってはいけないから
z≠±1,0
やな。

それはいいとして鋭角やな。

生きてる中で鋭角について深く考えることがあまりないからな。


どの角度が一番大きいか考えたりとか、∠BACにしても→ABと→ACどっちの偏角の方が大きいかとか考えて…

14850591830.jpeg


チーン…


ありがとうございました。


となります。


ちょっと、待ってな

チーン…


ちょっと、あっちの世界に行ってたところでそれを現実世界にフィードバックするときがきたようや。


そこで全部90度より小さければええねんけど、それをargの式であらわすには-90°から90°の間ってやるとガバガバやけど式として扱いやすやろな。


14850606450.jpeg

例えば3点X(α),Y(β),W(γ)なら∠XYW=|arg((α-β)/(γ-β))|で式をたてていって

|arg((z^2-z)/(1-z))|<90°かつ|arg((z-z^2)/(1-z^2))|<90°かつ|arg((z^2-1)/(z-1))|<90°

これを計算すると1-zで約分されるから

|arg(-z)|<90°かつ|arg(z/(1+z))|<90°かつ|arg(z+1)|<90°


後はこれは単に実部が正ってことやから
実部は(z+z~)/2やな

14850592080.jpeg

-z+(-z)~>0
z/(1+z)+(z/(1+z))~>0
z+1+(z+1)~>0

これを整理していくと
-2<z+z~<0
2|z|^2+z+z~>0

これは直線と円の式やし、このままzで整理してもええねんけど
複素数平面の式に慣れてない人もいるし、不等式やし、ここは単純にx+yiで整理しておこか。

意外とx+yiでごり押し計算でいけることも多くて、上手くやるよりもごり押しでやることは重要やからな。

すると
-1<x<0
(x+1/2)^2+y^2>1/4

14850592170.jpeg

境界は除く



こうやると、かなり簡単やな

簡単やねんけど、自分でイメージコーディネートをしなあかんってなるとそこが難しいんかもしれん。



式で責めたけど後は図形的にもよくやるし、図形的にやる選択肢も重要ねんけどな。

ただこの問題については、

14850592250.jpeg

argの計算のところでz-1で約分できて

点P(z),D(-1),(0)の三点で出来る三角形が鋭角であればよいって整理できるから

本質的には式の計算になるとこやな。


14850599860.jpeg

後は∠POD<90°からは∠PODが垂直になるx=0上の点より左側の<0にあればよいし
∠OPD<90°からはODを直径とする円のよりも外側にあればよいし
∠PDO<90°からは∠PDOが垂直になるx=-1上の点より右側にあればよいから

全部満たしてる領域を塗り塗りしたらいけるわ。



東京大学の入試の数学の過去問の解説


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