わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度理系第5問、整数の問題の解説
そろそろ1月も終わりを迎えて、1月が終わろうとしています。

今日は東京大学2016年度理系第五問の整数問題の解説いきたいと思います。



[問題]
14856314730.jpeg

kを正の整数として,10進法で表された小数点以下k桁の実数
0.a_1a_2…a_k=a_1/10+a_2/10^2+…+a_k/10^k
を1つとる。ここで、a_1,a_2,…,a_kは0から9までの整数で、a_k≠0とする。
(1)次の不等式を満たす正の整数nをすべて求めよ。
0.a_1a_2…a_k≦√n - 10^k<0.a_1a_2…a_k + 10^(-k)

(2)pが5・10^(k-1)以上の整数ならば、次の不等式をみたす正の整数mが存在することを示せ。
0.a_1a_2…a_k≦√m - p<0.a_1a_2…a_k + 10^(-k)

(3)実数xに対し、r≦x<r+1をみたす整数rを[x]で表す。√s-[√s]=0.a_1a_2…a_kを満たす正の整数sは存在しないことを示せ。

[解答]
(1)nをすべて求めよってことやけど

14856295880.jpeg

整数部分と小数部分を使って例えば
i(整数)+α(0<α)≦n<j(整数)
って感じに評価できたら
n=i+1,i+2,…,j-1
ってわかるねん。

14856296000.jpeg

0.a_1a_2…a_k=αとおきます。
こうしたら書く量が減るから楽やな。

そういうテクニックが意外に大きな差になったりすることもあるから参考にしてくれ。

そしたら

α≦√n - 10^k<α + 10^(-k)
これを真ん中を√nだけに整理して二乗して√を外してnの範囲を求めるねん。

α^2+2α10^k+100^k≦n<100^k+2(α10^k+1)+(α+10^(-k))^2
そしたら整数部分と小数部分にわけられるか考えると

左の式は
10^kα=10^(k-1)a_1+10^(k-2)a_2+…+a_kは整数になって
0<α^2<1でここが小数部分やな。

右の式は(α+10^(-k))^2のとこが
αは最大で0.999…9やから、0.000…1を加えて1以下ってわかるねん。

それで
(小数部分)+(2α10^k+100^k)≦n<(2α10^k+100^k)+3
やから
n=(2α10^k+100^k)+1,
(2α10^k+100^k)+2

ってわかるねん。


なんか重いような軽いような問題やな。


(2)では

14856296130.jpeg

α≦n<βを満たす整数nが存在する
⇔β-α≧1
を使えばええやろな。

よく使う論法やな。


そしたら、一緒にこの論法を使ってみよか。

α≦√m - p≦α+10^(-k)
さっきと同じように整理して

α^2+2pα+p^2≦m<p^2+2pα+2p10^(-k)+(α+10^(-k))^2
これで右のおっきい式から、左のちっさい式を引いて

(左の式) - (右の式)=2p10^(-k)+2α10^(-k)+100^(-k)

これが1以上と言えばええけど
2α10^(-k)+100^(-k)
この辺が小さいからたぶん使わなくてもええねん。

(左の式) - (右の式)>2p10^(-k)
≧2・5・10^(k-1)・10^(-k)=1

これで1以上になったから、mは存在やな。


(3)
14856296250.jpeg

(1),(2)と同じような形やから、誘導になっていて同じようにやればええんやろ

0.a_1a_2…a_k≦√s - [√s]<0.a_1a_2…a_k + 10^(-k)

0.a_1a_2…a_k+[√s]≦√s<0.a_1a_2…a_k + 10^(-k)+[√s]
だから
0.a_1a_2…a_k^2+2・0.a_1a_2…a_k[√s]+[√s]^2≦√s - [√s]<
0.a_1a_2…a_k^2+2・0.a_1a_2…a_k(10^(-k)+[√s])+(10^(-k)+[√s])^2


ってやってると試験会場で

14856296340.jpeg

萌え、萌え、きゅん

って解答用紙に愛込めしだして

迷惑行為と言うことで、教室の外に引きずりだされて、警備員5人くらいに血吐くまで棒でどつきまわされることになります。



これはな、(1)(2)の意味を考えてなさすぎるんかもしれん。

簡単な数で具体的に考えてみよか。
例えば
0.414≦√2-1<0.414+0.001ならば、√2の小部第3位までは0.414って意味やろ。

だから(1)(2)は√nが整数でない場合の小数部分の小数第k桁までが0.a_1a_2…a_kって言うことやな。

これは無理数が有限小数であらわせないってことを示せと言う感じの問題なんちゃうかってことが見えなくもないかもしれん。


京大でも昔出てたような気もするけど

√nがもし有理数なら整数の場合しかないねん。

だから小数部分を持つとしたら、無理数になってまうねん。


14856296420.jpeg

背理法の論法を使って
√s-[√s]=αを満たすと家庭すると
√s=α+[√s]
で√sが有理数になってまうねん。

でも有理数やったら整数の場合しかないから、それを示すために
√s=a/b (aとbは互いに素な整数)
とおけて
b^2s=a^2
aとbは互いに素やけど
b≧2やったらこの時点でaはbの倍数で
aとbの公約数はbになって互いに素ではなくなるねん。

だからb=1しかないねん。
と言うことでa^2=sになるけど

このときは√s=aできっちり整数になるから

√s-[√s]=a-a=0
でα>0に矛盾します。


ありがとうございました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説



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