わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度理系第6問、積分体積の問題の解説
こんにちは

わんこらです

今日も、東京大学2016年度理系第6問、積分体積の問題を解説します。

よろしくお願いします。


[問題]
14862733460.jpeg

座標空間内を、長さ2の線分ABが次の2条件(a),(b)をみたしながら動く。
(a)点Aは平面z=0上にある
(b)点C(0,0,1)が線分AB上にある。

このとき、線分ABが通過することの出来る範囲をKとする。Kと不等式z≧1の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。

[解答と解説]

今日はどのようなイメージをお持ちでしょうか?

と聞かれています。

自分でイメージコーディネートすることが求られてきます。


それどのようなイメージをお持ちでしょうか?って使いたかっただけやろと言う厳しい意見もあります。


だいたいの問題は段取りがされているねんけど、東大で多いのは自分でどう文字を置いて、立式するか、計算が出来るようにしなあかんねん。

そこでまずは動かしてみよか

こうやってな

14862733560.jpeg

こうやってな動かすねん。

ぐにゅぐにゅ、ぐにゅぐにゅ動かすねん。

そしたら点Cのとこに穴があって棒をつっこんでる感じやろ

どれだけ穴に入れるかと、中でかきまわす回転

これやがな!


そしたら、先っちょの動きなんちゃうかってわかるやん。

どう擦れていくかやねん。


でも本当に先っちょの動きだけでいいのかって言うのを説明するの難しいやん。

棒の竿のところはええんかみたいな。

本当にそうなのか、一緒に確かめてみないか?

って棒を動かし過ぎると


14862733650.jpeg

もうなあ、説明できない関係になるねん。

こうしてみんな傷ついていって大人になるねん。



説明が難しいんですね。

このまま、穴に棒を入れて先っちょの動きがって書いてたら

何か大切なものを失うやろ。


まあそのまま先っちょの動きになると思うからってことで計算しても大丈夫やろうけどな。

でもそこをちゃんとするとしたら

「だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形にする」

を使えばええわ。

言わゆる多変数処理の逆像法やな。

と言うことで、一つのやり方を書いていこか。


回転体の問題として処理する感じでいきますね。

するとかき回す回転は後からにしてxz平面に固定して、どれだけ奥に突っ込むか動かして断面z=tを考えよか。

この断面z=tはおそらく、中心から伸びる線分になるやろな。

それを回転させると、円になるやろな。

それを積分する流れやな。

14862733750.jpeg

まず回転は固定して奥にどれだけ突っ込むかは

Aをx≧0で動かすやろ。

そしたら、どれだけ奥に突っ込むかは、

∠OCA=θ

で角度で決めるのが一つの方法やな。

0≦θ<π/2
で考えたら十分と言うことになるな。

それでz=tと線分ABとの交点をP_tとでも置いたら
CP_tの長さがt-1やから

Pt(-(t-1)cosθ,0,t)
と置けます。

後はABが長さ2の線分である条件がいるから、z=tがBのz座標以下にならなあかんな。

Bのz座標はABの長さが2より2cosθやから

1≦t≦2cosθ
であればええやろな。


そしたら、これは別に重要ではないねんけど、t=1と2の場合は点になるから分けた方が説明が書きやすいやろな。

P_tはt=1では(0,0,1)に決まって、t=2では(0,0,2)になるはずやな。

点は零集合やから、積分しても体積に影響はないけど高校ではこの辺のこと誤魔化してるから適当でええねんけどな。



14862785470.jpeg

それでz≠1,2においてはz=tの断面のxy座標を考えるねん。
するとP_tと原点からの距離O'P_tをrとおくと
r=(t-1)tanθ
やな。

これで式を全部書き下すと
r=(t-1)tanθ
1<t≦2cosθ
0≦θ<π/2

これでθがいらんから、θを存在するように消すねん。
イメージとしては

θ=(tとrの関数)
rとtの定義域

となるように同値変形するねん。


すると
r=(t-1)tanθ
から
tanθ=r/(t-1)
これを残りの式に代入すればええねん。

0≦θ<π/2はθとtanθは1対1の関係やから
0≦tanθ
に代入すればええわ。

すると
tanθ=r/(t-1)
1<t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
0≦r/(t-1)

これでrとtは
1<t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
0≦r/(t-1)
を満たしていればθは
tanθ=r/(t-1)
で決まっていくから、後はrとtのことだけ考えたらええねん。

次はr=(tの関数)のイメージで同値変形しよか

0≦r/(t-1)は単にr≧0なだけやな。
t≦2√(1/(1+(r/(t-1))^2))
のとこは二乗して整理して

0≦r≦√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)
でrが存在するにはtの定義域は4-t^2≧0にも注意して
1<t<2
やな。

これで断面がかけるな

断面は0≦r≦√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)が表す線分やろ。
これを今度はかき回す、回転させてたらええねん。

14862733920.jpeg

そしたら円やから面積S(t)とおくと
S(t)=π{√((t-1)^2(4-t^2)/t^2)}^2

これで断面に垂直な軸であるtで積分したらええねん。

展開すると
S(t)=π(-t^2+2t-8/t+4/t^2+3)
で簡単な積分やな。

これで
∫(1,2)S(t)dt=π(17/3-8log(2))

やな。



他にも色々な設定の仕方があるねんけど、計算がうまくいかない場合もあるねんな。

それは今回のなら、

どれだけ奥に入れるかと、かき回し
と本質的に変数が2つ
と言うことが見抜けていなくて、多かったり、少なかったりする場合は

まずは動かしまくったらいいわ。


計算がやたら複雑になる場合は
解答例などを参考にして
こういう文字の設定、立式をしていったらいいんか
って経験値を多くしていくと

どういう感じがうまくいやすいのかわかってきたりするわ。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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