わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度文系、第1問図形と式の問題の解説
みゃあにゃああう

東京大学2016年度文系第1問、図形と式の問題の解説をします。


その前に、始まり方どういう意味やねん。


[問題]
14865784880.jpeg
座標平面上の3点P(x,y),Q(-x,-y),R(1,0)が鋭角三角形をなすための(x,y)についての条件を求めよ。また、その条件をみたす点(x,y)の範囲を図示せよ。


[解答と解説]
まずは鋭角をどのように処理をすればよいかやな。

14865784990.jpeg

余弦定理を使うのが基本的なやり方になるやろうな。
cosが正になればくなるやろ。

そうすると、分母は正やから分子のところが正なればええねん。

∠ABCが鋭角

BA^2+BC^2-AB^2>0

ってことやな。


そしたら、どの角度が鋭角になればええんか

一緒に図を書いて考えてみよか

PとRがy=x上にあって、原点対称の位置やな。

14865785080.jpeg

伸ばしていったらQのところが大きくなるな。
縮めていくとPとRが大きくなっていくな。

大きいところが90°より小さくなればええやろ。


伸ばして、縮めて、伸ばして、縮めて…

ってやってると


14865801310.jpeg

それはちょっと違うやろってことになります。



頑張ったらできるんかもしれんけどな。

そこでこの論法を考えてくれ

14865785280.jpeg

角の最大値を考えて、それが90°より小さいと考えるんじゃなくて

全部90°より小さかったらいいって考えるねん。



もちろん問題によるねんけどな。


それで座標やから余弦定理より、内積を使ったら方が便利やろな。
数学的には同じことやねんけど。

∠ABCが鋭角⇔ BA→・BC→>0

これやな


そしたら解いていくと

14865785410.jpeg

∠RPQが鋭角⇔PR→・PQ→>0
⇔(1-x,-y)・(-2x,-2y)>0
⇔(x-1/2)^2+y^2>1/4…①


∠PQRが鋭角⇔QP→・QR→>0
⇔(-2x,-2y)・(1+x,y)>0
⇔(x+1/2)^2+y^2>1/4…②

②はPとQが原点対称やから、①でxを-xにyを-yに置き換えて導いてもええやろな、

∠QRPが鋭角⇔RP→・RQ→>0
⇔(x-1,y)・(-x-1,-y)>0
⇔x^2+y^2>1…③

これで①,②,③を図示したらええわ。

14865785480.jpeg


東京大学の入試の数学の過去問の解説



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