わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度文系、第3問微分積分の問題の解説
寒くなって、そろそろ寒くなりました。

東京大学2016年度文系の微分積分の問題を解説します。


[問題]
14868371120.jpeg
座標平面上の2つの放物線
A:y=x^2
B:y=-x^2+px+q
が点(-1,1)で表している。ここで、pとqは実数である。さらに、tを正の実数とし、放物線Bをx軸の正の向きに2t,y軸の正の向きにtだけ平行移動して得られる放物線をCとする。
(1)pとqの値を求めよ。

(2)放物線AとCが囲む領域の面積をS(t)とする。ただし、AとCが領域を囲まないときはS(t)=0と定める。S(t)を求めよ。

(3)t>0におけるS(t)の最大値を求めよ。


[解答と解説]
(1)二つの曲線が接するとはどういうことかと言うと

14868371340.jpeg

y=f(x)とy=g(x)がx=pで接していると言うことは、x=pにおける接線が一致していたらええねん。

共通の接線を持つと言うことやな。

それを立式化すると

直線は通る点と傾きで決まるから

同じ点を通るf(p)=g(p)
傾きが等しいf'(p)=g'(p)

またふにゅがなんか言うてるけど、血吐くほど、おもくそどついたってください。


14868371240.jpeg

と言うことで
f(x)=x^2
g(x)=-x^2+px+qとおいて

g(-1)=1
f'(-1)=g'(-1)

-1-p+q=1
-2=2+p

これを解いて
(p,q)=(-4,-2)

やな。

(2)は面積を求めろってことやな。

14868371480.jpeg

その前にまずはあれやな、平行移動しなあかんな。
C:h(x)とでも置いて

h(x)=g(x-2t)+t
=(x-2t)^2-4(x-2t)-2+t
=-x^2+4(t-1)x-4t^2+9t-2

それで基本的には面積は関数の差を考えるねん。

そしたら、大小関係と交点と被積分関数が同時に処理できるねんけど

ただこの問題では二次関数やから、そこまでやる必要はないな。

むしろ交点のx座標の値が複雑な場合の処理の仕方を見てもらいたいと思います。
よろしくお願いします。

と言うことでまずは交点の処理からいこか。
f(x)=h(x)として整理すると
2x^2-4(t-1)x+4t^2-9t+2=0…①

まずは交わるかどうかってことで、判別式を考えよか

14868371670.jpeg

D/4={2(t-1)}^2-2・(4t^2-9t+2)
=-4t^2+10t
=-4t(t-5/2)

これでまずは判別式が0以下ときは交わらないから面積0やな。


後は、判別式が0より大きいときは①の解をα,β(α<β)
とすると
面積が1/3・(β-α)^3になるやろうから、β-αを計算しとくねん。

それで解の公式の√の中はDやからな。
ax^2+bx+c=0は
x=(-b±√D)/(2a)

a^x2+2bx+c=0は
x=-b±√(D/4)/a
やから

β-α={2(t-1)+√(D/4)}/2 - {2(t-1)-√(D/4)}/2
=√(D/4)

って判別式を使って書くと、文字数が少なくて便利やねんな。

それで面積の計算はしっかり
∫(上-下)dx
って線分の長さを積分するようにな。

図を描くと領域のところは
y=h(x)がy=f(x)より上になってるから

14868371930.jpeg


∫(α,β)(h(x)-f(x))dx=∫(α,β)-(2x^2-4(t-1)x+4t^2-9t+2)dx
これが解を考えて因数分解すると

=-2∫(α,β)(x-α)(x-β)dx

ってなるやろ。

x^2の係数を考えて-2をつけるようにな。

それで
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-1/6・(β-α)^3
を使うわけやねんけど、これは面積の公式じゃなくて計算の公式やからな。

面積の立式をしてから∫(α,β)(x-α)(x-β)dxと言う形が出ると、そこに使えるから適応するって感じでやってください。

そして
-2{-1/6・(β-α)^3}
=1/3・√(-4t^2+10t)^3


(3)
14868372040.jpeg

t≧5/2のときS(t)=0より、0<t<5/2で考えれば十分。

便利な言い回しやな。


後は実質二次関数で平方完成すればオッケーやな。
S(t)=1/3・√(-4(t-5/4)^2+25/4)^3

これでt=5/4のとき、最大値125/24をとるで出来上がりですね。



簡単な問題やけど、文系の人が積分を勉強するのに良い問題やな。

数2の積分は要領が大切になるからな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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