わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度理系、第1問二次関数と軌跡の問題の解説
オナラの風圧が強すぎて肛門が損傷したところで東京大学2015年度理系第1問、二次関数と軌跡の問題を解説したいと思います。


[問題]
14873519290.jpeg
正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
C:y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)
aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。


[解答と解説]
これは

だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

です。

名前、長すぎるやろ。

世間では逆象法とか逆手流って呼ばれてるやつやな。


ちょうどこの問題、多変数処理の問題でいい練習になるとこやな。

14873519370.jpeg

y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)
a>0
の式において、文字がx,y,aの三つやろ。

これでCの通過する領域やから、aを消去してx,yを残したいねん。


aを消去するって言うことは、aについて解く

つまりイメージとして

a=(x,yの式)
x,yの定義域

って言う感じに同値変形をしたらええねん。

だから
x,yを独立変数にして、aをx,yの従属変数に持っていくわけやな。


aについて解くって言うことは、更に言うとaについて整理したらええねん。

4(x^2-1)a^2-4ya+1=0

これは解いたとしたら
a=[2y±√{4y^2-4(x^2-1)}]/{4(x^2-1)}
ってなるやん。

aについて整理するって言うのは、解くようなもんやねん。

それでこれがa>0になるようなx,yの定義域を考えてあげると、x,yがその範囲を自由に動いてもaはこの式にx,yを入れると決まっていくわけやな。


そしたらもうこれはあれやな。

4(x^2-1)a^2-4ya+1=0がa>0で実数解を持てばええって言う、解の配置問題の論法に持っていったらええねん。

f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1
と置いて

a^2の係数が0か正負で場合わけしたらええねん。

14873607270.jpeg

(i)x^2-1=0⇔x=±1のとき

-4ya+1=0がa>0で解を持つには
y=0とすると、左辺=1、右辺=0で矛盾するからy≠0で
a=1/(4y)
やから
1/(4y)>0
つまりy>0になればいいですね。


(ii)x^2-1>0⇔x<-1,1<x
a>0で解を持つってだけの条件やと結構場合わけが必要やん。

そこで定点通過する場合は、それを利用すると一気に場合分けが減るねん。

この問題では
f(0)=1>0やな
そしたら、a>0のところで2点を共有するまた接するのパターンしかないねんな。

と言うことで
軸y/(2(x^2-1))>0
頂点-y^2/(x^2-1)+1≦0(またはD≧0でもオッケー)
を解いて

y>0
y^2≧x^2-1

になります。

14873519540.jpeg

(iii)x^2-1<0⇔-1<x<1のとき

これはもうf(0)=1>0やから、すでにa>0で交わるねん。

定点通過でめっちゃ楽なるな。

後はこれをまとめて図をかいてくれ。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://wankora.blog31.fc2.com/tb.php/4759-55e23ac7
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

詳しいプロフィール


メッセージはこちらへ
メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

リンクはばりばりのフリー
一言メールくれれば相互リンクします。


カテゴリーと名作集
読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。



水と空気と街並とからだ
中学時代からの親友てつろうのブログ。
今年、滋賀医科に合格した医学生です。

リンク集
リンク集はこっちです。

このブログは携帯でも見られます。

ランキングサイト


↓ランキング参加中




にほんブログ村 その他日記ブログ 日々のできごとへ

blog Ranking


お勉強BLOGЯanK

リンク

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メールアドレス:
件名:
本文:

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

FC2カウンター

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード