わんこら日記
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東京大学2015年度理系第3問、微分積分の問題を解説
ネクタイも電気ポットも夢も希望も何もかも失ったところで

東京大学2015年度理系第3問、微分積分の問題を解説します。


[問題]
14880467980.jpeg
aを正の実数とし、pを正の有理数とする。座標平面上の2つの曲線y=ax^p(x>0)とy=log(x)(x>0)を考える。この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし、その共有点をQとする以下の問いに答えよ。必要であれば、lim(x→∞)x^p/log(x)=∞を証明なしに用いてよい。
(1)aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ。
(2)この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ。
(3)(2)で得られた立体の体積が2πになるときpの値を求めよ。


[解答と解説]
(1)14880468100.jpeg

要するにこうやって接するときやろ。
と言うことで
f(t)=g(t)
f'(t)=g'(t)とか言うやつな。

aq^p=log(q)…①
やろ
pa^(p-1)=1/q…②
やろ

ちゃうねん、ちゃうねん。
②からaq^p=1/pでこれを①に代入するねん。

もうこっちはわかっとんねん。

1/p=log(q)

q=e^(1/p)
やろ

それで後は②にでも代入して
a=1/pe

やろ


って答えると
lim(x→∞)x^p/log(x)=∞
を使ってなくて

明らかに(2)と(3)では使わなくて

これはどういうことなんやって

14880468200.jpeg

どぅどぅ、どぅるばぁみゃみやみや

ってバーミヤンの儀式みたいなことになって

ほんまにどういうことなんやってなります。



必要であればって書いてるけど

必要であれば、√7は無理数であることを証明なしに用いてよい

とかほんまに全然関係ない不必要なことは書かないからたぶん必要やと思うねん。



これはたぶんな

14880468330.jpeg

こうやって1点で交わったりもする場合あるかもしれんやん。

接していても他のとこでも、交わってる可能性もあるかもしれんしな。


でもそういうことはないねん。

なんでかと言うと、lim(x→∞)x^p/log(x)=∞はx^pの方が増加の仕方が強いってことやからな。

交わってx^pがlog(x)の下にいっても、いつかは上になってもて1点を共有するを満たさなくなるねん。


この問題は簡単やし、もしかしたらそういう議論に点数がある可能性もあるかもしれんところが注意やな。

そしたら、どうやってそこを話したらいいのかと言うと
積分するときに大小関係と共有点が両方わかるように、よく差の関数を考えたように
ax^p-log(x)とか差の関数を考えたらええねん。


14880468470.jpeg

と言うことで
f(x)=ax^p-log(x)とおいて
微分して
f'(x)=(pax^p-1)/x

そしたら増減表を考えると減少してx=(1/(ap))^(1/p)で極小値をとって増加するねん。

後は、x→0とx→∞での符号を知りたいから考えると
lim(x→0)f(x)=∞
lim(x→∞)f(x)=∞
で正とわかって、ここで
lim(x→∞)x^p/log(x)=∞を必要として使ったやろ。


そしたら1点でf(x)=0となるためには極小値が0になればいいことがわかるねん。


14880468630.jpeg
後は
f((1/(ap))^(1/p))=0を計算して
a=1/(pe)
ってわかるねん。

Qのx座標は
x=(1/(ap))^(1/p)=e^(1/p)
ですね。

(2)
14880468840.jpeg
図から
π∫(0,e^(1/p))(ax^p)^2dx-π∫(1,e^(1/p))(log(x))^2dx
を計算したらええわ。

(log(x))^2の積分は似たような積分を真似できないかってことで
log(x)は1・log(x)で1を積分、log(x)を微分して部分積分したように
1・(log(x))^2で1を積分、(log(x))^2を微分して部分積分したらええわ。

整理しやすくするには
まずは不定積分をやってから定積をとる処理の仕方とかあるわ。

14880468940.jpeg

後はコツコツと計算したってくれ。

(3)おまえみたいな問題やな、
p=1/2ですね。

ありがとうございました。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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