わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度理系、第4問漸化式の問題の解説
これから、東京大学2015年度第四問理系の問題を解説します。

そうすることで、私はさらなる悲しみに包まれる。


[問題]
14883522390.jpeg
数列{p_n}を次のように定める。
p_1=1,p_2=2,p_(n+2)=((p_(n+1))^2+1)/p_n (n=1,2,3,…)
(1)((p_(n+1))^2+(p_n)^2+1)/(p_(n+1)p_n)がnによらないことを示せ。
(2)すべてのn=2,3,4,…に対し,p_(n+1)+p_(n-1)をp_nのみを使って表せ。
(3)数列{q_n}を次のように定める。
q_1=1,q_2=2,q_(n+2)=q_(n+1)+q_n (n=1,2,3,…)
すべてのn=1,2,3,…に対し、p_n=q_(2n-1)を示せ。

[解答と解説]
(1)p_nを求めて入れたらええんちゃうん。
たぶんp_(n+1)で両辺割ると
p_(n+2)/p_(n+1)=p_(n+1)/p_n+1/(p_np_(n+1))
いや、ちゃうな。

ちゃうねん、ちゃうねんp_(n+1)をかけて
p_(n+2)p_(n+1)=(p_(n+1))^3/p_n+(p_(n+1))^2/p_n

って
14883522470.jpeg

家で一人で人はみんな平等のはずって
瞑想していたら
なんでオレはこれだけしてやってるのに、オレの扱いが軽いねん
舐めてるんちゃうか
ってその辺のタンスとか倒しまくってキレそうになります。


もちろん、予想できるかもしれんけど、そもそも(3)がp_nを求める問題やから求めてから(1)解くと誘導が使えてないしな。


そこで
14883522580.jpeg

よく電車で隣のやつが、動画見てたら

ちょっと、さっきのシーンもう一度見せてもらっていいですか?ってプレーヤーに問いかけてちょうどいいところで何回も巻き戻して見てて全然進まんやつがおったら


オレと同じことしてるやんって安心することよくあるやん。


だから、漸化式の場合は隣同士の関係を見たら同じやんって言う論法をよく使ったりするねん。

14883522690.jpeg
だからnを+1した場合を漸化式を使ってnを下げて整理していくと

(p_(n+1)+1)^2の塊があるから、これを展開せずに約分してしまって

文字数多いから
a_n=((p_(n+1))^2+(p_n)^2+1)/(p_(n+1)p_n)
とでも置くと
a_(n+1)=a_n
って言えるから隣同士が同じになるねん。

と言うことは
a_n=a_(n-1)=…=a_1=3
って全部a_1=3に等しいってわかるねん

(2)
14883522770.jpeg

とりあえず漸化式を使ってnを下げてn+1を消去してみると

p_(n+1)+p_(n-1)=((p_n)^2+1)/p_(n-1)+p_(n-1)
とりあえず通分したら
((p_n)^2+(p_(n-1))^2+1)/p_(n-1)
これがさっきのa_nとほとんど一緒やな。
a_n・p_n
やから
3p_nってわかります。

(3)
14883522850.jpeg

フィボナッチ数列の奇数項になるってことみたいやな。

p_n=q_(2n-1)を示すには数学帰納法がやっぱやりやすいやろな。

前の2つが決まれて、次の1つが決まるやから
n=k,k+1が成立を仮定していけばええわ。

n=1,2,のとき
q_1=1,q_3=q_2+q_1=2やから
p_1=q_1,p_2=q_2

n=k,k+1のときp_(k+1)=q_(2k+1),p_k=q_(2k-1)を仮定するけど
q_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)を使うことになるやろうから
p_(n+2)=((p_(n+1))^2+1)/p_nとか二乗とか分数混ざってるよりも
(2)のp_(n+1)+p_(n-1)=3p_n⇔p_(n+1)=3p_n-p_(n-1)を使った方が良さそうやな。

p_(k+2)=3p_(k+1)-p_k
=3q_(2k+1)-q_(2k-1)
これで変形させていってq_(2k+3)に等しいって導けばええけどq_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)から向かえにいった方かもしれん

奇数にしていって
q_(2k+3)=q_(2k+2)+q_(2k+1)
=2q_(2k+1)+q_(2k)
=2q_(2k+1)+(q_(2k+1)-q_(2k-1))
=3q_(2k+1)-q_(2k-1)

これで
p_(k+2)=q_(2k+3)と言えたから
n=k+1のときも成立で

p_n=q_(2n-1)が示されました。


処理は難しいわけではないけど、そこそこ経験がいるかもしれんな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説


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