わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2016年度理系第5問整数問題の解説
リリカルマジカル東京大学2016年度理系第5問整数問題の解説やります。


だいぶん無理あるやろそれ。

[問題]
14884698620.jpeg
mを2015以下の正の整数とする。2015_C_mが偶数となる最小のmを求めよ。

[解答と解説]
14884698710.jpeg
2015_C_mをまず階乗表記をすると
(2015・2014・2013・…)/{m(m-1)(m-2)…}
ってなりますね。

分子は2015から1ずつ小さくして連続m整数の積
分母はmから1ずつ小さくして連続m整数の積

それでこれを素因数分解したときの2の素因数の個数が
分子が分母よりも多くなれば偶数になりますね。



これはやり方があるねん。
よく算数である問題
2015!の値は、後ろから0は何個続くか?
って問題やな。
10の倍数つまりは2×5で、5よりもそら2の素因数の方が多いやろうから5の素因数の個数だけ10の倍数の組み合わせが出来て0の個数になるはずやねん。

14884698870.jpeg
それでこれは中学受験で
[2015÷5]=403
[403÷5]=80
[80÷5]=16
[16÷5]=3

403+80+16+3=502個って言う有名なやり方を覚えさせられるねん。

もうまだピチピチの短パン履いてママと手をつないでお出かけしてた時や。

これは5の倍数は[2015÷5]=403個
このうち25の倍数はもう一度5でわれるから25の倍数はもう一度5で割ればよいから
[403÷5]=80個
このうち125の倍数はさらにもう一度5で割れるから
[80÷5]=16個
このうち625の倍数はさらにもう一度5で割れるから
[16÷5]=3個
ってなるから全部足せば5で何回割れるかがわかるねん。


そしたら今回は1から2015までやから、2で何回割り切れるか実際書いてみよか。
14884699170.jpeg

分母は1・2・3・…ってかけていく
分子の方は2015・2014・2013・…ってかけていくやろ。


そしたら8個まで考えても、対称になっていて同じだけ2の素因数があるやろ。

しばらくはそんな感じやねん。


そしたら、どこかで違いが現れて分子の2015から左に進めていった方が多くなる瞬間があるんやと思うねん。



14884699300.jpeg

それを知るには2015って言う数字が、2とか4とか8とか16とか2^nで割ったときに余りを調べたらどういう配置かがわかるねん。

そこで
2015を2で割ると1やろ
つまりは2015≡1(mod 2)やけど、2015からは左に進めていくことを考えると
2015≡-1 (mod 2)と解釈すれば、1から右に進むのと2015から左に進むのとは2の倍数の配置は同じになるねん。
2015を4で割ると余り3やろ。これも-1って考えると
2015≡-1 (mod 4)
これは1から右に進むのと2015から左に進むのとは4の倍数の配置は同じなるやろ。
同じように
2015≡-1 (mod 8)
2015≡-1 (mod 16)
2015≡-1 (mod 32)
で2015を64で割ると余り31になってここで違いが出るねん。31はmod 64で-33で-1にはならないからな。
1から右に進めれば64番目まで進めないと64の倍数は出ないのに、2015から左に進めれば32番目の1984で64の倍数になるからここで分子の方が2の素因数の個数が多くなるねん。

だから答えは32やな。


もうこれでええんやろうけど、これを一応解答を書くと

まず2^nで割った余りを考えるってことは2進法表記を考えると見た目でわかるな

2015を2進法で表すと
11111011111
2^10+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^2+2^1+1
これで2^4+2^3+2^2+2^1+1のところが2^5-1とかけるから
2^n(n=1,2,3,4,5)で割ると(mod 2^n)で-1に対応するねんけど
2^6で割ると余りが2^5-1=31になってまうねん。

14884699380.jpeg

2015_C_m=(2015・2014・…・(2015-m+1))/(m(m-1)…1)
より
分子の(2015・2014・…・(2015-m+1))の2の素因数の個数>分母の(m(m-1)…1)の2の素因数の個数
になればよくて

14884699460.jpeg

2015を2進法であらわすと11111011111より
1≦n≦の自然数nに対しては
2015≡2^n-1≡-1(mod 2^n)
より、自然数kに対してkと2016-kは2で割りきれるかどうかは一致

2015≡2^5-1=31≡-33(mod 2^6)
なので
kが2^6で割りきれる最小のkよりも
2016-kが2^kで割り切れる最小のkが小さくて32になる

よってm=1,2,3,…と順に代入したとき、m=32で初めて分母より分子の方が2の素因数の個数が多くなる
よって2015_C_mが偶数となる最小のmは32

ありがとうございました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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