みんな二次試験の発表も終わって、二次試験の発表もそろそろ終わるころですね。
東京大学2015年度理系第6問、積分と極限の問題を解説します。
よろしくお願いします。
[問題]
nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1)関数g(x)を次のように定める。
g(x)=
(cos(πx)+1)/2 (|x|≦1のとき)
0 (|x|＞1のとき)
f(x)を連続な関数とし、p,qを実数とする。|x|≦1/nをみたすxに対して、p≦f(x)≦qが成り立つとき、次の不等式を示せ。
p≦n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定める。
h(x)=
-π/2sin(πx) (|x|≦1のとき)
0 (|x|＞1のとき)
このとき、次の極限値を求めよ。
lim(n→∞)n^2∫(-1,1)h(nx)log(1+e^(x+1))dx
[解答と解説]
(1)不等式を証明しろってことやな。
a≦x≦bでf(x)≦g(x)ならば∫(a,b)f(x)dx≦∫(a,b)g(x)dx
を使って自分で関数を作って挟んで積分が解析特有のよくあるやり方で
例えばよくある問題はπの級数表示を出すときに使う
∫(0,1)x^(2n)/(1+x^2)≦1/(2n+1)
を示すときに0≦x≦1で1+x^2≧1やから
x^(2n)/(1+x^2)≦x^(2n)
って分母をとった方が大きくて0から1まで積分すると右の値は
∫(0,1)x^(2n)dx=1/(2n+1)
となります。
だいたいこういう感じで解く。
ただこれがよくわからんっていう人が多いわ。
なんでよくわからんって思うのかと言うと、これは必要であって十分ではないからな。
x^(2n)/(1+x^2)以上の関数って色々あるやん。
そのうち積分しやすくて、積分すると1/(2n+1)以下になるものであればいいから、色々関数が考えられるねん
それでこの式ではx^(2n)って雑に抑えてみたら、たまたまちょうど1/(2n+1)やったという感じやねん。
計算して最適な関数が一つに決まるっていう感覚ではなくて、たくさんあるやろうけど、もっと精度高く抑えられるものあるやろうけど雑に評価した
って感じやな。
と言うことでこの問題でも雑に評価してみよか
まず
g(nx)やから0ではない区間は|nx|≦1⇔|x|≦1/nやな。
だから
n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx=n∫(-1/n,1/n)g(nx)f(x)dx
って実際には|x|≦1/nだけの積分になりますね。
そしたら
n∫(-1/n,1/n)(cos(πnx+)+1)/2・f(x)dx
は雑に評価すると
-1≦cos(πnx)≦1
やから
0≦(cos(πnx+)+1)/2≦1
で
0≦(cos(πnx+)+1)/2・f(x)≦f(x)≦q
これを-1/nから1/nまで積分して
0≦n∫(-1/n,1/n)(cos(πnx+)+1)/2・f(x)dx≦n∫(-1/n,1/n)qdx
とやると
n∫(-1/n,1/n)qdx=2q
で、2倍になってるし、左も0やし…
とやってると
座薬タイプを飲んで世界に裏切られる流れになります。
ちゃうねん、雑すぎるねん。
確かに雑に挟む言うてたけど、雑すぎるねん。
これはな、ちょっとおかんがフライパンで炒め物をしてるときに、
ぴんぽ～ん
って誰かが来て
おかんに「たかし、ちょっと見てて」
たかし「うん」
って焦げて炎がぶーおー燃えあがってても、ほんまに見てるだけやって
た、たかしー！！
って戻ってきたおかんにパーン！しばかれて
鼻血だしながら髪の毛チリチリになって
見ていうから、見てただけやのに
って世界に裏切られたと思い込んでるたかし君みたいなやもんねん。
もうたかし君は、世界から拒絶されたと思ってるからな。
台所に選ばれなかった人間やと思ってるからな。
でもそんなたかし君にもええとこがあって、おじい…
ええから、はよ解き方の解説をしろや！
これはな、f(x)がすでにp≦f(x)≦qって定数で挟まれてるし
(cos(πnx)+1)/2は積分できるから残してたおいた方が精度が高くなるねん。
と言うことで
|x|≦1/nにおいて(cos(πnx)+1)/2≧0より
n(cos(πnx)+1)/2・p≦n(cos(πnx)+1)/2・f(x)≦n(cos(πnx)+1)/2・q
これを-1/nから1/nまえ積分したらよくて
∫(-1/n,1/n)n(cos(πnx)+1)/2dx=1やから
これで
p≦n∫(-1,1)g(nx)f(x)dx≦q
って言えるねん。
(2)、(1)を使うやろうから形を近づけてみよか
同じようにh(nx)は-1/nから1/n以外は0やから
n^2∫(-1,1)h(nx)log(1+e^(x+1))dx=n^2∫(-1/n,1/n)-π/2・sin(πnx)log(1+e^(x+1))dxこれでsin(πnx)の部分がg(nx)の(cos(πnx)+1)/2に近づけそうで部分積分で微分か積分すれよいやろうけど、log(1+e^(x+1))は積分難しそうやからsin(πnx)の方は積分やな。
そしたら(cos(πnx)+1)/2にしていくために1/2を足して引くねん。
するとうまいこと消えて
-n∫(-1/n,1/n)g(nx)e^(x+1)/(1+e^(x+1))dx
になるねん
(1)で言うとe^(x+1)/(1+e^(x+1))がf(x)に対応していて、1-1/(1+e^(x+1))やから増加関数で
f(-1/n)≦f(x)≦f(1/n)
になるねん。
だからこの極限を求めて
f(-1/n)→e/(1+e)
f(1/n)→e/(1+e)
(n→∞)
で挟みうちで-e/(1+e)と求まりました。
ちなみにnπ/2・sin(πnx)の積分のところでcos(πnx)/2にするんじゃなくて
(cos(πnx)+1)/2
って定数があっても積分定数の違いで定石とると同じやから
これでg(nx)を作ったら、もう少し簡単に計算できるわ。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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