わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度文系第1問、命題の問題の解説
そろそろ3月も終わりになって3月も終盤になりました。

東京大学2015年度文系第1問、命題の問題を解説します。

[問題]
14899186560.jpeg
以下の命題A,Bそれぞれに対し、その真偽を述べよ。
また、真ならば証明を与え、偽ならば反例を与えよ。
命題A nが正の整数ならばn^3/26+100≧n^2が成り立つ。
命題B 整数n,m,lが5n+5m+3l=1をみたすならば、10nm+3ml+3nl<0が成り立つ。


[解答と解説]
(1)
14899186660.jpeg
まず気になるのは左辺のn^3/26+100はnの3次式やろ、右辺のn^2は2次式やろ

だからnが大きくなっていくと、3次の方がだいぶん大きくなるはずやな。
ということは問題になるにはnが小さい値になるやろな。

そしたら、nが小さい値はどうか考えるとそもそも左辺は100より大きいからな。
n=1,2,3,…,10以下やったら、右辺は左辺より小さいはずやな。

と言うことは、もし反例があるとしたらnが11以上でそんなに大きくならない値のはずですね。

そしたら、ここは反例があるに賭けて
26をかけてn^3+2600≧26n^2で考えて

n=11を代入すると(左辺=3931)>(右辺=3146)
n=12を代入すると4328>3744
n=13は4797>4394
n=14は5344>5096
大丈夫、大丈夫。

反例があるはずや。

n=15は5975>5850
n=16は6696>6656
n=17は7513<7514
よっしゃ、反例や!

ふぅ~い!


ってやって、みんなからあいつ出来るやつやなって思われていて

家に帰ると

14899186860.jpeg

バブー

って勝負師過ぎて、心のバランスを整えるために赤ちゃんプレイをやって甘えだすことになります。

もちろん、反例は単に反例をあげるだけいいから完璧な考えたやし、こうやって考えないといけない問題もあるし、誰にでも人には見せたくない触れて欲しくない部分ってあるしな。


そこで、もしかしたら命題が成立していて反例がないかもしれんし、そんなに計算早くないしもう少し調べるnを絞りたいと言うことになると

14899186770.jpeg

自然数nを実数まで拡張して微分して増減を調べて最小値付近の整数を調べる
または
f(n+1)-f(n)とか差分を調べて増減を調べる

がよくある最小値の調べ方やな。


まず微分で調べる方法でやると

14899186960.jpeg

f(x)=x^3-26x^2+2600(xは0以上の実数)
f'(x)=3x^2-52x
=3x(x-52/3)
よってf(x)の増減を考えると実数で考えるとx=52/3で最小になるから、この近くの整数
17<52/3<18よりn=17か18が最小になるはずやねん。

と言うことでf(17)=7513-7514=-1<0って反例が見つかりました。


次は差分を調べる方法やな

14899187060.jpeg
数列のように変数が整数の場合は
f(n+1)-f(n)の符号で増減がわかるねん。
f(n+1)-f(n)>0となるnの範囲ではf(n+1)>f(n)で増加やろ
f(n+1)-f(n)<0となるnの範囲ではf(n+1)<f(n)で減少やろ。

f(n+1)-f(n)=3n^2-49n-25
から符号が変化するところのnは3n^2-49n-25=0となるnを考えて
n=(49±√(49^2+300))/6
で49^2に対して300は小さいから49<√(49^2+300)<50とわかって
最小に関係するのはn=(49+√(49^2+300))/6の方を考えて
16<(49+√(49^2+300))/6<17
だから
1≦n≦16においては負になるからf(n+1)<f(n)で減少
n=1代入でf(1)>f(2)
n=2代入でf(2)>f(3)

n=16代入でf(16)>f(17)

17≦nにおいては正になるからf(n+1)>f(n)で増加
n=17代入でf(17)<f(18)
n=18代入でf(18)<f(19)

まとめて
f(1)>f(2)>f(3)>…>f(16)>f(17)<f(18)<f(19)<…
これでn=17で最小とわかって

f(17)=-1ってわかるねん。

よく確率の最小値や最小値でp_(n+1)/p_n≧1とか調べてやるやつやな、。



そしたら命題Bにいこか。

同じように最大値を考えたら良さそうやな。

14899187140.jpeg
やみくもにやるとしたら、とにかく文字消去をして
5n+5m+3l=1からn=(1-3l-5m)/5で
10nm+3ml+3nl=2m(1-3l-5m)+3ml+3l/5・(1-3l-5m)
=-10m^2+(2-6l)m-9l^2/5+3l/5
これの最大値を考えるにはmで平方完成して
残りのlの式を平方完成して
=-10(m-(1-3l)/10)^2-(9l^2-1)/10

-(m-(1-3l)/10)^2は0以下で

-(9l^2-1)/10が0より小さいと言えばいいから
l≠0やったら9l^2-1が正で成立するけど
5n+5m+3l=1にl=0を代入すると5(n+m)=1となって左辺が5の倍数、右辺が1で不適でl≠0でいけるねん。

意外とごり押しでいけていまうと言う。


もう少しだけ綺麗にしようとしたら
14899187240.jpeg

nとmの対称式なことに注目すると
3l=1-5(n+m)でlを消去した方が綺麗かもしれん。

それで本当は消去するときに、その文字が存在するように消さなあかんねん。
消去して
10nm+3ml+3nl=10nm+(m+n)(1-5(n+m))
とやったらnとmは自由にとれるわけちゃうねん。

3l=1-5(n+m)の整数lが存在するようなn,mじゃないとあかんねん。

本当は不定方程式を解いて
5(n+m)+3l=1
5×2+3(-3)=1
差をとって
5(n+m-2)+3(l+3)=0
これから
n+m-2=3k⇔n+m=3k+2
l+3=-5k⇔l=-5k-3

つまりは、n+m=3k+2,3で割った余りが2であるようなn.mが定義域やねん。

そしたら後は、
10nm+(m+n)(1-5(n+m))
(n+mが3で割った余りが2)
で考えたらよくなって

これは東大でよく使う多変数処理でぜひ身につけたい考え方やけど、この問題についてはn,mは自由にとれるわけではないくらいで出来ます。

10nm+(m+n)(1-5(n+m))=-5m^2+m-5n^2+n
=-5(m-1/10)^2-5(n-1/10)^2+1/10
これでm=0かつn=0でなければ、負になることが言えて
さっきのようにn+mが3で割った余りが2やから同時に0ってことはないねんけど

n=0かつm=0とすると3l=1となって矛盾
よってn=0かつm=0は不適ぐらいで示せて
n=0かつm=0以外では次にn=1かつm=0が大きいから
-5(m-1/10)^2-5(n-1/10)^2+1/10<-5(1/10)^2-5(9/10)^2+1/10=-4<0
よって成立


東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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