わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度文系第2問、二次関数と軌跡の問題の解説
お腹が痛いわ。

東京大学2015年度文系第二問の解説をします、


[問題]
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座標平面上の2点A(-1,1),B(1,-1)を考える。また、Pを座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。次の条件(i)または(ii)をみたす点Pの範囲を図示し、その面積を求めよ。
(i)頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで点A,P,Bをすべて通るものがある。
(ii)点A,P,Bは同一直線上にある、。


[解答と解説]
14904635910.jpeg
頂点が動けば、Pはどのように動くかやろ。

点A,Bと頂点を通る放物線上に点Pがとれるから、どれだけ張り出すかやな。

そうやな、ちょうど点Bのとこに頂点があったら、下側に張り出しそうやな。


ってやってると

14904636050.jpeg

もううへ~って乳首噛み切らずにはおられなくなります。

ちゃうねん、こいつは2次関数の頂点と乳首が対応している同窓写像が存在すると思い込んでるタイプやねん。


だから、微妙にそれらしく聞こえるような意味わからん説明を書くなって話やな。



これはな、確かに頂点がAとBのときが一番張り出していて、その二つの放物線に囲まれた部分になるねんけど、それをどう証明するかを聞かれてる可能性があるねん。



そしたら、よくある方法として


○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

○文字固定

でやってみよか。


逆像法とか逆手流に、だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形するとかラノベみたいな名前つけたから説明に毎回こうしてこまると言う。



○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

14904636160.jpeg

まず条件を式にしていくねん。

P(X,Y)で|X|≦1とおくやろ。

まず2点A,Bを通る2次関数y=f(x)はy=-xと点A,Bで交わるから
f(x)-(-x)=0はx=1-,1を解に持つはずやん。
だからaをa≠0の実数とすると
f(x)-(-x)=a(x-1)(x+1)

f(x)=ax^2-x-a
とおけるねん。

別にこんなんせんでも、y=ax^2+bx+cをA(-1,1),B(1,-1)を代入して
1=a-b+c
-1=a+b+c
から
c=-a
b=-1
でy=ax^2-x-a
でええねんけどな。


それで(i)をみたすときは

後はこれが点Pを通るから
Y=aX^2-X-a
やろ

それと頂点やな
f(x)=a(x-1/(2a))^2-a-1/(4a)
より頂点のx座標の絶対値が1以上になるには
|1/(2a)|≧1で両辺に|2a|かけて
1≧|2a|で-1/2≦a≦1/2


14904636310.jpeg

そしたら全部の条件式を整理すると
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1


これでaを消して、X,Yを残したいねん。
そしたら
Y=aX^2-X-a
を使ってa=…の形にするねん。

そのためには
Y=(X^2-1)a-X
(X^2-1)a=Y+X
でX^2-1で割らなあかんからX≠±1のときとX=1,-1で場合分けしたらよさそうやな。

X≠±1のとき
a=(Y+X)/(X^2-1)
でこれを残りの式に全部入れるねん
a≠0に入れて(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦a≦1/2に入れて-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
|X|≦1は-1≦X≦1

そしたらX,Yは
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1

を満たしたら、aはa=(Y+X)/(X^2-1)に代入したら実際存在するやろ。
X,Yを決めたら裏でaはa=(Y+X)/(X^2-1)で決まっていってるわけやな。

これで存在するようにaを消すことができるねん。

後は
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1
をもっと整理して、X^2-1≦0やから

Y≠-X
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
-1≦X≦1

やな
ちなみにこれはX≠±1のときやったから

X=1のときは
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1
にもう一度入れるとY=-1だけやな。

X=-1のときはY=1やな。


最後に(ii)はY=-X(-1≦X≦1)やな

これで
14904636390.jpeg
図示するとこうなるねん。
1/2・X^2-X-1/2=1/2・(X-1)^2-1で頂点(1,-1)は点Bやな。
-1/2・X^2-X+1/2=1/2・(X+1)^2+1で頂点(-1,1)は点Aやな。

ちょうど
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
になるねん。


面積は
∫(-1,1){(-1/2・X^2-X+1/2)-(1/2・X^2-X-1/2)}dx
=-∫(-1,1)(x-1)(x+1)dx
=-(-1/6・(1-(-1))^3)
=4/3
ですね。


もう一つのやり方の方も紹介しとこか。


○文字固定
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(i)のX≠±1のところで
=aX^2-X-a
のところで,Xを固定してaを動かすねん。

二次関数やからa≠0で、頂点が1以上から-1/2≦a≦1/2やったな、

aを変数と思うとaで整理して
Y=(X^2-1)a-X
でX^2-1<0やから、傾きが負の一次関数やねん。

だから
a=-1/2のときの(X^2-1)(-1/2)-Xが最大で
a=1/2のときが(X^2-1)(1/2)-Xが最小で
a=0のところの-Xだけ飛ぶから

(X^2-1)(1/2)-X≦Y<-X,-X<Y≦(X^2-1)(-1/2)-X

やな。

後は同じようにやればオッケーやな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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