わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度文系第4問確率と漸化式の問題の解説
だいぶん暖かくなってきて、桜の温度高い気圧のんですね。

もはや最初から意味わからなさすぎるやろ。


今日は東京大学2015年度文系第4問確率と漸化式の問題の解説やな
これは理系第2問を少し簡単にした問題で、そっちの解説を見たってくれ。

こっちには解等例を紹介するわ。

[問題]
14915072760.jpeg
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインを1枚用意し、次のように左から順に文字を書く。
コインを投げ、表が出たときは文字列AAを書き、表が出たときは文字Bを書く。
さらに繰り返しコインを投げ、同じ規則に従って、AA,Bをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。
たとえば、コインを5回投げ、その結果が順に表、裏、裏、表、裏であったとすると、得られる文字列は、
AABBAAB
となる。このとき、左から4番目の文字はB,5番目の文字はAである。

(1)nを正の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2)nを2以上の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からn-1番目の文字がAで、かつn番目の文字がBとなる確率を求めよ。


[解答]
14915072860.jpeg
同じように考えてAAを同じAでもALとARに分けるねん。

それで漸化式を立てるねんけど全部の事象を分割するのがポイントで

n番目の文字がALの事象
n番目の文字がARの事象
n番目の文字がBの事象

って排反に分割するねん。

n+1番目の文字がALの事象
n+1番目の文字がARの事象
n+1番目の文字がBの事象

とn+1番目を基準に分けた事象でも排反に分割して矢印で結ぶねん。

それでn番目の文字がALの事象の確率をa_nと置いて
n番目の文字がARの事象とn番目の文字がBの事象は一緒に扱っても解けるからまとめてしまって、余事象の確率で1-a_nになるねん。

n番目の文字がALやったら必然的にn+1番目の文字はAR

n番目の文字がARかBやったら、1/2の確率で表が出たときn+1番目の文字はAL
1/2の確率で裏が出たときn+1番目の文字はBになるやろ。

だからn+1番目の文字がALになるのは,
n番目の文字がARかBやったら、1/2の確率で表が出たときだけやな。

これで式を立てると
a_(n+1)=1/2・(1-a_n)

それとa_1は1回目に表が出たときhでa_1=1/2
後はこれを解いて

a_n=1/3+1/6・(-1/2)^(n-1)
ってやったらオッケーやな。

後はARの方はn-1番目がALの時に必然的になるからn≧2のときに
a_(n-1)×1=1/3+1/6・(-1/2)^(n-2)
これはn=1のときは0になるって解釈したらn≧1で成立していて

そしたらn番目の文字がAになる、つまりはALまたはARになる確率は足して
1/3+1/6・(-1/2)^(n-1)+1/3+1/6・(-1/2)^(n-2)=2/3-1/6・(-1/2)^(n-1)

(2)はn-1番目にARが出て、n番目がBの時なので
{1/3+1/6・(-1/2)^(n-2)}×1/2=1/6-1/6・(-1/2)^(n-2)
と求まりました。


これ、理系と文系問題をわけてるけど、ほとんど同じ難しさなんちゃうかと言う感じやな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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