わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2014年度文系第1問微分の問題の解説
パイ毛を乳首に巻いて壊死したところで東京大学2014年度文系第1問微分の問題の解説をしたいと思います。

[問題]
20170509015618e10.jpg
以下の問いに答えよ。
(1)tを実数の定数とする。実数全体を定義域とする関数f(x)を
f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18
と定める。このとき、関数f(x)の最大値をtを用いて表せ。

(2)(1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする。tがt≧-1/√2の範囲を動くとき、g(t)の最小値を求めよ。

[解答と解説]
(1)
201705090156194f8.jpg
これはあれですね。
xの二次関数で平方完成ですね。
f(x)=-2{x+(3-2t)}^2+t^3-17t^2+39t-18+2(3-2t)^2
=-2(x+3-2t)^2+t^3-9t^2+15t

定義域が実数全体やから最小値はg(t)=t^3-9t^2+15tやな。


(2)
201705090156218d9.jpg
g(t)の最小値とかふるまわないといけないから、微分やろ
g'(t)=3t^2-18t+15
=3(t-1)(t-5)

と言うことは増減表を書いて

g(5)かg(-1/√2)のどっちかが最小やな。

g(5)=-25
g(-1/√2)=-(18+31√2)/4

(-(18+31√2)/4)-(-25)=(82-31√2)/4
=(√6724-√1922)/4>0

とやると出来るねんけど


20170509015622939.jpg

少し手間がかかります。

それ絵を載せたかっただけやろと言う厳しい意見もあります。


二つポイントがあって、数学2での微積で使うテクニックやから特に文系の人に重要やな。


2017050901562494f.jpg

○yの値ではなくてxの値で考えてみるねん

例えば図のグラフではx_1<x_2と言えたら、y_1<y_2と言えるやろ。

20170509015711aca.jpg

○極値と同じ値になるxの簡単な求め方があって
3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=αで極値f(α)をとると
f(x)-f(α)=ax^3+bx^2+cx+d-f(α)

これがy=f(x)とy=f(α)はx=αで接するから、(x-α)^2の因数持つはずやねん。

ax^3+bx^2+cx+d-f(α)=a(x-α)^2(x-○)
と言うかたちになるはずで、そしたら○のところは展開したときの定数項なわけやから
-(d-f(α))/a・1/α^2になるはずとやると、早いねん。

20170509015714fcb.jpg
例としてはf(x)=x^3-x^2-x+2の極小値と同じ値をとるxを求めるとすると
f'(x)=3x^2-2x-1
=(3x+1)(x-)
f(1)=1が極小値で
f(x)=1を解こうとすると、(x-1)^2の因数をもつはずやから
x^3-x^2-x+1=0⇔(x-1)^2(x-○)=0
○のところには定数項のところだけ考えて1×(-○が1になるはずやから○=-1とわかるねん。

ということでこれらを駆使してもう一回解いてみると

2017050901571466e.jpg

g(t)=t^3-9t^2+15t
=3(t-1)(t-5)
よってy=g(t)の増減表から

g(5)=-25
g(t)=-25とすると
t^3-9t^2+15t+25=0
(t-5)^2(t+1)=0
よってt=5,-1
-1≦-1/√2より

グラフからg(-1/√2)>g(-1)=g(5)
とわかって最小値はg(5)=-25
ってわかりました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説


テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://wankora.blog31.fc2.com/tb.php/4855-4dd71109
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

詳しいプロフィール


メッセージはこちらへ
メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

リンクはばりばりのフリー
一言メールくれれば相互リンクします。


カテゴリーと名作集
読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。



水と空気と街並とからだ
中学時代からの親友てつろうのブログ。
今年、滋賀医科に合格した医学生です。

リンク集
リンク集はこっちです。

このブログは携帯でも見られます。

ランキングサイト


↓ランキング参加中




にほんブログ村 その他日記ブログ 日々のできごとへ

blog Ranking


お勉強BLOGЯanK

リンク

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メールアドレス:
件名:
本文:

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

FC2カウンター

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード