わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2014年度文系第3問、軌跡の問題の解説
シーチキンを東京大学2014年度第3問、軌跡の問題の解説をしたいと思います。

もはや文法がおかしいやろ。


[問題]
20170512022549555.jpg
座標平面の原点をOで表す。
線分y=(√3)x(0≦x≦2)上の点Pと、線分y=(-√3)x(-3≦x≦0)上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通貨する領域をDとする。
(1) sを-3≦s≦2をみたす実数とするとき、点(s,t)がDに入るようなtの範囲を求めよ。
(2) Dを図示せよ。

[解答と解説]
前に理系の方の問題では

20170430110440400.jpg<
こういうことになりました。


それだけじゃ何のことかわからんやろ!


とりあえず今回は文系の方で三つの解き方をやりたいと思います。


1、だから僕は独立変数と従属変数にわけて同値変形して文字を消去する。(逆像法、逆手流のこと)

20170512022550a88.jpg
(1)まず条件をすべて式に表します。
P(p,(√3)p)、Q(-q,(√3)q)とおく
0≦p≦2、0≦q≦3でOP+OQ=6より2p+2q=6からp+q=3
線分PQ:y=(√3)p-(√3)q/(p-(-q))・(x-p)+(√3)p
-q≦x≦p


2017051202255295b.jpg
これで羅列して
p+q=3
t=(√3)(p-q)/(p+q)・(s-p)+(√3)p
0≦p≦2,0≦q≦3
-q≦s≦p
-3≦s≦2

これでp+q=3からq=3-pを全部に代入するねん。

q=3-p
t=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)
0≦p≦2,0≦3-p≦3
-3≦s≦2

これでp,t,sは下の三行を満たせば、qはq=3-pによって自動的に決まっていくからこれでq消去になるねん。

今度はpを消去するためにpについて解きたいねんけど二次になるからpで整理して

q=3-p
2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s=0
max{0,s}≦p≦min{2,s+3}
-3≦s≦2

そしたらこれでpの二次方程式が解を持てばよいというように解の配置問題の処理の仕方をすればよくなるねん。

20170512022553d0c.jpg

f(p)=2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3sとおいて
y=f(p)がmax{0,s}≦p≦min{2,s+3}でp軸と共有点を持てばよい。
f(p)=2(p-(3+s)/2)^2+(√3)t-s^2/2-9/2

これで軸が端点になる(3+s)/2=0となるのはs=-3
(3+s)/2=2となるのはs=1
定義域のmax{0,s}からs=0,min{2,s+3}から2=s+3よりs=-1
0≦p≦2の場合の中点と軸から(0+2)/2=(3+s)/2よりs=-1
が場合分けの切り替わりにはなりそうやねんけど

もっとちゃんとやると

sp図を描いて
p=max{0,s}とp=min{2,s+3}とp=(max{0,s}+min{2,s+3})÷2と軸p=(3+s)/2のグラフをかくねん。

そしたら-3≦s≦-1と-1≦s≦1と1≦sの三つで場合分けしたらよいことがわかるねん。

(i)-3≦s≦-1のとき
定義域は0≦p≦s+3
軸は(軸)=(3+s)/2=(中点)
の関係にあるからグラフより
よって最小値(√3)t-s^2/2-9/2≦0かつf(0)≧0あればよくなりますね

整理して
-(√3)s≦t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2


201705120225557ff.jpg
(ii)-1≦s≦1のとき
定義域はmax{0,s}≦p≦2で軸は(中点)=1/2・(max{0,s}+2)≦(軸)=(s+3)/2と言う関係なので

グラフより最小値(√3)t-s^2/2-9/2≦0かつf(0)≧0かつf(s)≧0になればオッケーやな。

整理して
t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2
t≧-(√3)sかつt≧(√3)s

max{-√3s,√3s}≦t≦1/2√3・s^2+(3√3)/2

(iii)1≦s≦2のとき
定義域はs≦p≦2、軸は2≦(3+s)/2=(軸)
と言う関係になってるからグラフより
f(2)≦0かつf(s)≧0となればオッケーやな。

整理して
(√3)s≦t≦1/(√3)・s+4/(√3)

以上より
-(√3)s≦t≦1/(2√3)s^2+3(√3)/2 (-3≦s≦0)
√3s≦t≦1/2√3・s^2+(3√3)/2    (0≦s≦1)
√3s≦t≦1/(√3)・s+4/(√3)      (1≦s≦2)

(2)グラフを描いたらこんな感じやな。
20170512022641faa.jpg

実は理系の方より難しいんちゃうかと言う。


2、文字固定
20170512022643b7e.jpg
途中から
t={(2p-3)s+2p(3-p)}/(√3)
max{0,s}≦p≦min{2,3+s}
よりs固定して考えるとtはpの2次関数になるな

だから
t=1/(√3){-2(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/2}

これでさっきと同じように場合分けするねん、


3、接線を考える
201705120226445fa.jpg

0≦p≦2
0≦3-p≦3

0≦p≦2

t={(2p-3)s+2p(3-p)}/(√3)これでpで平方完成するねん

t=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/(2√3)

t-(s^2+9)/(2√3)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2

これで直線PQ:t=l(s)としたら
l(s)-(s^2+9)/(2√3)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2
と言うことになって
st平面において直線t=l(s)と2次関数t=(s^2+9)/(2√3)がp-(s+3)/2=0つまりs=2p-3で接してることがわかるねん。

0≦p≦2から接点のs座標は-3≦s≦1で接点を動かして直線の軌跡を考えるねん。
このうちt≧±(√3)sの部分の線分が通過する領域を考えたらよくなるえん。

これでグラフが求まるわけやな。


接線の解法は満点がもらいにくそうやけど、早く簡単に解けるのが特徴やな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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