わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2013年度理系第2問、微分の問題の解説
どうやら小球に当てられ人々の脳裏に刻まれたな。

と言うことで東京大学2013年度理系第2問、微分の問題を解説します。


[問題]
2017060903213438b.jpg
aを実数とし、x>0で定義された関数f(x),g(x)を次のように定める。
f(x)=(cosx)/x,g(x)=sinx+ax
このときy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx>0において共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

[解答と解説]
201706090321365e3.jpg
そしたら、どんなグラフになるか考えてみよか。
まず
f(x)=1/x×cosx
はcosxの振幅が小さくなっていくやろ。

そしたらf(x)=sinx+axはどうなのかと言うと
y=axと言う直線を中心として振動するはずやねん。


とわかったところで、何かできそうと見せかけて厳しいですね。

2017060903213705d.jpg
そしたら今度は直線と曲線に分けて考えてみよか
f(x)=g(x)を整理して
ax=(cosx)/x-sinx
これでh(x)=(cosx)/x-sinxとおいてグラフがどんなんか調べるということで微分して
h'(x)=(-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2)/x^2

これはあれやな。
分子だけ微分しろってやつやな

i(x)=-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2とおくと

i'(x)=-3xcosx+x^2sinx-2ax

これはあれやな。
もう一回微分しろってことやな。

i''(x)=-3cosx+3xsinx+2xsinx-x^2cosx-2ax


ふにゅ…


20170609032138141.jpg
そうやな、これは定数分離やろな。

a=(cosx-xsinx)/x^2
h(x)=(cosx-xsinx)/x^2
とおくと
h'(x)=-cosx(x^2+2)/x^3

これやがな!


201706090321403a4.jpg
これでh(x)の増減表は
α_n=π/2+(n-1)πとおいて(n=0,1,2,3,…)

α_nで極値なことがわかりますね。

201706090322012f1.jpg
しかもx→+0ではh(x)→∞、x→∞ではh(x)→0で
極値は
h(α_n)=(-1)^n/(π(n-1/2))
やから
|h(α_n)|>|h(α_(n-1))|
で極値の絶対値は小さくなって奇数番目は負、偶数番目は正やな。

20170609032202b67.jpg
そしたら3つの共有点を持つには
h(α_4)<a<h(α_2)か
またはa=h(α_3)
になるときで整理して

2π/7<a<2π/3,a=-2π/5
とわかりました。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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