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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2013年度理系第4問の確率、ベクトルの問題の解説
終幕に向かってきたところで東京大学2013年度理系第4問の解説をしたいと思います。
[問題]
20170801174157ee6.jpg
△ABCにおいて∠BAC=90°、|AB→|=1,|AC→|=√3とする。△ABCの内部Pが
PA→/|PA→|+PB→/|PB→|+PC→/|PC→|=0→を満たすとする。
(1)∠APB,∠APCを求めよ。
(2)|PA→|,|PB→|,|PC→|を求めよ。

[解答と解説]
(1)似たような問題の解き方を使わないかって考えるねん。
2017080117415824c.jpg
似たようなよくある問題として

△ABCの外心をOとして
2OA→+3OB→+4OC→=0
のときcos∠AOBを求めよ

ってやつやな
これは|OA→|=|OB→|=|OC→|=Rとおけて
2OA→+3OB→=-4OC→
って1つ右に持ってきて平方して
|2OA→+3OQ→|^2=16|OC→|^2
4|OA→|^2+12OA→・OB→+9|OB→|^2=16|OC→|^2
4R^2+12R^2cos∠AOB+9R^2=16R^2
cos∠AOB=1/4

これがやな!

と言うことで

20170801174159272.jpg
PA→/|PA→|+PB→/|PB→|=-PC→/|PC→|より
|PA→/|PA→|+PB→/|PB→||^2=|-PC→/|PC→||^2
1+2cos∠APB+1=1
から
cos∠APB=-1/2
これで∠APB=120°やな。

同じように

PA→/|PA→|+PC→/|PC→|=-PB→/|PB→|より
|PA→/|PA→|+PC→/|PC→||^2=|-PB→/|PB→||^2
1+2cos∠APC+1=1
から
cos∠APC=-1/2
これで∠APC=120°

(2)∠APB=∠APC=∠BPC=120°やろ。
そしたらPA→、PB→、PC→はなす角度わかるし
△ABCは直角三角形でBC=2やから
|PA→|^2+|PB→|^2-2PA→・PB→=1^2
|PB→|^2+|PC→|^2-2PB→・PC→=2^2
|PC→|^2+|PA→|^2-2PC→・PA→=√3^2
これで3つ未知数で3つ式あるから全部いけるやん
まあ言うたら、これらは余弦定理やな。

201708011742015be.jpg
|PB→|^2+|PC→||PB→|+|PC→|^2-4=0
|PB→|=(-|PC→|±√(16-3|PC→|^2))/2
ちゃうねん、ちゃうねん。
これを代入するねん。

((-|PC→|+√(16-3|PC→|^2))/2)^2+|PA→|^2+((-|PC→|+√(16-3|PC→|^2))/2)|PA→|=1|PA→|=…

ってやってたら


20170801174202e6b.jpg
こんなわけわからんことになります。


実は解けなくもないねんけどな。
それは最後にやるわ。


(1)は誘導として

東大やから幾何的に解くんかなって感じするやん。
そしたら東大は余弦定理ではなく、意外と正弦が上手くいくこと多いねん。

直角三角形やしな。


20170801174308062.jpg
∠PCA=θとおくと、それぞれ角度をあらわしていくと
∠PAC=180°-120°-θ=60°-θ
∠PAB=90°-(60°-θ)=30°+θ
∠PBA=180°-120°-(30°+θ)=30°-θ


201708011743106c5.jpg
△APCにおいて正弦定理より
√3/sin120°=PA/sinθ=PC/sin(60°-θ)
これをPAとPCをθであらわしていくと
PA=2sinθ,PC=2sin(60°-θ)

△APBにおいて正弦定理より
1/sin120°=PA/sin(30°-θ)=PB/sin(30°+θ)
これからPAとPBをθであらわしていくと
PA=(2/√3)sin(30°-θ),PB=(2/√3)sin(30°+θ)

と言うことでPA消去したらcosθ,sinθ求まりそうやな。
2sinθ=(2/√3)sin(30°-θ)
(√3)sinθ=1/2cosθ-(√3)/2sinθ
tanθ=1/(3√3)
sinθ=√((tanθ)^2/(1+(tanθ)^2))
=1/(2√7)
cosθ=sinθ(1/tanθ)
=(3√3)/(2√7)
だから
PA=(sinθ√3)/sin120°
=1/√7
PB=2/(√3)(1/2cosθ+(√3)/2sinθ)
=2/√7
PC=2((√3)/2cosθ-1/2sinθ)
=4/√7
って求まりました。


やっぱ東大は正弦定理やな。


そしたらさっきの余弦定理のやり方でごり押しで解く方法をやろか

20170801174311b0f.jpg
|PA→|^2+|PB→|^2-2PA→・PB→=1^2
|PB→|^2+|PC→|^2-2PB→・PC→=2^2
|PC→|^2+|PA→|^2-2PC→・PA→=√3^2

書くのを簡単にするために|PA→|=a,|PB→|=b,|PC→|=cとおいて
a^2+b^2+ab=1
b^2+c^2+bc=4
c^2+a^2+ca=3

これをどう解けば楽なのかと言うと、これも似たような問題を思い出してくれ
201708011743134f0.jpg
x^2+2xy+2y^2=1 …①
x^2-2y^2+3=0 …②

これは定数項を消去するってやり方あったやんな。

①×3+②で定数を消去して
4x^2-6xy+4y^2=0
これで
x=((3±√5)/2)y
ってxとyの比を求める、つまりはx/yを求める感じで
これを②とかに代入して
((14±6√5)/4 -2)y^2+3=0
となってこれで解けるやろ。


この真似をしてみるねん。


201708011743149c5.jpg
a^2+b^2+ab=1 …①
b^2+c^2+bc=4 …②
c^2+a^2+ca=3 …③

定数を消してb/aとc/aの式にしてみよか
①×4-②
4a^2+4ab+3b^2-bc-c^2=0
から
4+4(b/a)+3(b/a)^2-(b/a)(c/a)-(c/a)^2=0


201708011743253f5.jpg
②×3-③×4
3b^2+3bc-c^2-4ca-4a^2=0
3(b/a)^2+3(b/a)(c/a)-(c/a)^2-4(c/a)-4=0
さらに簡単に書くためにb/a=B,c/a=Cとおいたら、それぞれ
3B^2-BC-C^2+4B+4=0 …④
3B^2+3BC-C^2-4C-4=0 …⑤
これで次数を下げるために
④-⑤から
-4BC+4B+4C+8=0
B=(C+2)/(C-1)
これを④に代入して
3((C+2)/(C-1))^2-(C+2)/(C-1)-C^2+4(C+2)/(C-1)+4=0
整理してC+2>0に注意して割ってしまって
3(C+2)-(C-1)C-(C-2)(C-1)^2+4(C-1)=0
(C-4)(C^2+C+1)=0
C=4,B=2とわかって
c/a=4,b/a=2からc=4a,b=2a
①からa^2+2a^2+4a^2=1でa=1/√7
(a,b,c)=(1/√7,2/√7,4/√7)
ってわかりました。


これはあれやな。

計算技術を磨いておけば、少々方針をミスってもごり押しで解けて底上げされる感じやな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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