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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

ペヤングを高い、もやしを安いと思ってるやつは、1カロリー当たりの値段を計算したことがない
あの美容院でシャンプーしてもらったときに髪の毛をタオルで

グアァアアー!!!

やられてから、耳の中を6秒くらいグリグリやられるやん。

それでそのまま、また髪の毛を

グアアァアーー!!

やられるのはタオルについた耳くそが髪の毛に練りこまれたとしか思えんねん。

これは何回も言うてることやけどな。



それはいいとして、あっとのイベントでイベントドリンク、略してイベドリがあって一杯飲むと1枚ラミカをひくことが出来て全部で何種類あるかわかったら、

だいたい平均的に何杯飲めばいいか,いつも期待値を出すのがわんこら族の仕事になってしまってるねん。

それはどういう計算の仕方かというと、かなり昔に書いた
おまけを全て当てるのに買わなければならない商品の個数の期待値に書いてるねんけど

n種ある場合は全部揃えるのに買う回数の期待値は
Σ(k=0~n-1)n/(n-k)
で計算できるねん。


今回はくるみちゃんが30種類出すとか意味わからんこと言うてるねんけど、
Σ(k=0~29)30/(30-k)
を計算してだいたい120杯飲めばええねん。



この計算の仕方はまた別の説明をすると期待値の加法性を使ってるねんな。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
やな。


全部でn種類あるときに

k種類持ってるときに,持っていないn-k種類のどれかを初めて当てるのに買った枚数をX_kとするやろ。

そしたら全部あてる期待値は

E(X_0+X_1+…+X_(n-1))=E(X_0)+E(X_1)+…+E(X_(n-1))

を計算したらええって言うことやねん。

それでE(X_k)=n/(n-k)はさっきの昔の記事で感覚的に説明したけどちゃんと計算も出来て
m回目に始めて持ってないものを当てる確率はP(X_k=m)=(k/n)^(m-1)・(n-k)/nより
Σ(m=1~∞)mP(X_k=m)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n
を計算したらええねん。

これは等比×等差のやつやな。

東京大学2013年度理系第3問の確率、数列の問題の解説
で計算してるから結果を使って

S_n=Σ(k=1~n)r^k、T_n=Σ(k=1~n)kr^kのとき
S_n→r/(1-r)
T_n→1/(1-r)・r/(1-r)
を使って
E(X_k)=Σ(m=1~∞)m(k/n)^(m-1)・(n-k)/n=n/(n-k)
で実際になってますね。


そしたら、ここまで来たら前にも偏差値の意味の記事に書いたように標準偏差を出せば

(期待値)-(標準偏差)

(期待値)+(標準偏差)

の間に7割ぐらいの人がいるから、どの程度飲めばだいたいの人が揃うかわかるねん。

これも分散を出すときに,事象が独立ならば相関性がないことになって加法性が成り立つねん

V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))

だからV(X_k)=E(X_k^2)-E(X_k)^2
を計算したらいいことがわかって

E(X_k^2)=Σ(m=1~∞)m^2・(k/n)^(m-1)・(n-k)/nは

さっきの東大の過去問の記事でも求めたように
U_n=Σ(k=1~n)k^2r^kとすると
U_n→2r/(1-r)^3 -r/(1-r)^2=r(1+r)/(1-r)^3
より
E(X_k^2)=(1+k/n)/(1-k/n)^2=n(n+k)/(n-k)^2

V(X_k)=n(n+k)/(n-k)^2-(n/(n-k))^2
=kn/(n-k)^2
=n^2/(n-k)^2-n/(n-k)

だから
V(X_0+X_1+…+X_(n-1))=V(X_0)+V(X_1)+…+V(X_(n-1))
=Σ(k=0~n-1)(n^2/(n-k)^2-n/(n-k))

を計算したらいいことがわかるねん。

これでn=30のとき標準偏差=√(分散)は36くらいで

30種類ラミカを揃えるには
120-36=84杯くらいで揃いだす人がいて
120+36=156杯でだいたいの人が揃う感じになるねん。


これは数学がかなりわかりやすく社会に役立つシーンなのがええかもな。

数学、物理
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