わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

複素積分の話
今日は複素積分の基本を語ろかな。

めっちゃ基本的の基本の
∫1/zdz=2πi(原点を中心とする閉曲線で積分)

これはなんか積分した結果が虚数iに角度2πがかかってると言う計算するのは簡単やけど、最初はなんか全然納得いかん。
複素積分はだいたい、ほとんど閉曲線で積分すると始点、終点をaとすると
∫f(z)dz=F(a)-F(a)=0
って一周してきて打消しあってゼロになる。
ただ
∫1/zdz
は0を含む閉曲線で積分すると何故か角度×虚数になる。
そこがなんかよわからん。

原点を中心として半径rの円に沿って積分して
z=re^it
∫1/zdz=∫(0,2π)(1/re^it)rie^itdt
=∫(0,2π)idt=2πi
と考えたら終わりと言えば終わりかもしれへんけど。

ここでやっぱりイメージでわかると、論理的ではなくても、なんかわかってきたりするからな。ということで、直感的な話をすると

まず複素数は極形式では
r(cosθ+isinθ)
で表されると習ったと思うけど、以下exp(x)をeのx乗としてオイラーの公式
exp(iθ)=cosθ+isinθ
これは、テイラー展開考えたら
cosθ=1-θθ/2!+θθθθ/4!+…
sinθ=θ-θθθ/3!+θθθθθ/5!…

exp(x)=1+x/1!+xx/2!+xxx/3!+xxxx/4!+xxxxx/5!+…
だから
exp(iθ)=1+iθ-θθ/2!-iθθθ/3!+θθθθ/4!+iθθθθθ/5+…
なので
exp(iθ)=cosθ+isinθ
となる。
ここは強制的に納得してもらって、x、yを実数として
exp(x+iy)
を考えると、
exp(x+iy)=exp(x)exp(iy)=exp(x)(cosy+isiny)
となっていて、
exp(x)=rと、yをθとおくと
r(cosθ+isinθ)
となっていることがわかる。

だからすべての複素数は
exp(x+iy)
であらわされる。
複素数zを
z=exp(x+iy)
とすると、
∫1/zdz(原点を含む閉曲線で一周して積分)
を考えると、まあ普通に無理やり積分してみると
1/z

log(z)
ってなるけど、z=exp(x+iy)やから
log(z)=x+iy
となる。
これを、平曲線を半時計周りに一周した場合、
点(1)から反時計回りに一周して点(1)に戻ってくるとすると一見元に戻ってくるから、値が同じで0になりそうやけど、xだけは最初と最後で同じなので0。
ただyは角度、
ここがポイントで角度だけは、一周してるから、密かに実は2πだけ増えている。
しかし、これは
cos(y+2π)+isin(y+2π)=cosy+isiny
やから、同じになるから普段は気にしなかったけど、積分すると
log(z)=x+iy
ってyと言う角度がでてきてるから、最初と最後で2πずれてて、結果として積分の値は
2πi
になる。

このlogをとると、角度がもろに出てくるというイメージが大切。
いやっ大切と個人的に思うけど、テストにこんな直観的な方法使ってはいけない。
何かいも直感的に説明して痛い目にあってるからな。
やっぱり本来は物理体質か。

話はもどってだからx=log|z|、y=argなので複素数のlogをとると
logz=log|z|+iargz
ってargという偏角がlogと並んででてくるから、これが一周することで2πずれるのが出てくる。

これがわかってると、logなんて出てくるのは1/zみたいな形してるものだけなので、1/zzを積分しても-1/zになるだけので、これは一周しても元に戻るから積分しても0、もうだいたいの関数は普通0と直感的に理解できていけそうな感じがする。

数学、物理

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