わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

みんなのゴルフで着せ替えばっかしとったらあかんぞ
結構みんな調子ええな。
そうそうええ感じ、ええ感じ。

ただちょっと気になったとこは、駅の階段の横の自転車を運ぶ用のベルトコンベアーに乗るなって書いてあるのに、地味な外人が乗って上がっていったとこやな。
だから君は昔から日本語読まれへん言うてるやろ。
上辺だけ日本語話せるように見せても、こういうとこに表れるねん!


この辺がちょっと気になったけど後はだいたい、漸化式をざんか式とか読まなくなってきたしええと思う。

そうやな、ほぼ上位でいけるんちゃかな。


でもな、ぎょうさんやったらあかんで。

たまにな、ええかっこしよ思ったんかな。
ものすごいようけ空のティッシュ箱を立てて並べて、横からおじいちゃんが
「こんなとこにありましたわ」
って空や言うてるのに無理矢理ティッシュとろうとしてきて、全部ぶーわー面白い程ティッシュ箱が倒れていって取り返しがつかへんことなってるやつおるやろ。
だからオレは別に数とか気にせえへんし、一個偈大切にしていってもらったらええから。


あ、オレ何の話するか考えずに書いてたわ。
一体今まで何について書いてたんやろ。


そういえばベクトルの内積の話をかなり説明を書き直してん。
もっかい見てくれ言うたら怒る?

わかった、もうええわ。
そのかわり一緒に勉強しよか。


a、bをベクトルとすると
高校の内積は
|a|^2+|b|^2-2abcosθ=|a-b|^2
から要するに余弦定理のことと思ってしまうかもしれない。
でもそれでは、何故わざわざ内積を定めたのか、そして
α,βを実数とすると
(αa+βb)・c=α(a・c)+β(b・c)
とか何故掛け算として計算できるのかと言うことは証明はできても、やっぱりよく考えると意味はわかりにくい。

そこで、まずベクトルに掛け算を定義してみる。

ベクトルa,bに対して、実数(a,b)が定義されいて次の条件を満たすとする。
a,b,c∈V、α,βを実数として
1,(a,a)≧0で等号成立はa=0(正値性)
2,((αa+βb),c)=α(a,c)+β(b,c)(準双線形性)
3,(a,b)=(b,a)(対称性)
これを内積と呼ぶことにする。


こうやって、掛け算を定義して次は長さを
|a|=√(a,a)
と定める。


するとシュワルツの不等式
|(a,b)|≦|a||b|
が成り立ち、これから
|a+b|≦|a|+|b|
の三角不等式が成り立つ。


これは長さの定義である
1,||a||≧0
2,||a||=0⇔a=0
3,||αa||=|α|||a||
4,||a+b||≦||a||+||b||(三角不等式)
これらの条件を満たす。
従って、長さとして扱える。


またシュワルツの不等式から
-1≦(a,b)/(|a||b|)≦1
だから
a≠0,b≠0に対してa,bのなす角θを
cosθ=(a,b)/(|a||b|)
を満たす0≦θ≦πと定義できる(πは180°のこと)


これでベクトルに内積という掛け算を定義すると角度と長さが定義できることがわかった。


そして内積には色々あって、
a=f(t)
b=g(g)

(a,b)=∫(α,β)f(t)g(t)dt
とすると、これも内積の条件を満たしていて
シュワルツの不等式から
{∫(a,b)f(t)g(t)dt}^2≦∫(a,b){f(t)}^2dt∫(a,b){g(t)}^2dt
が成立。
だから
(αx+βy+γz)^2≦(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
もシュワルツの不等式とか同じ名前なのはこう言うことやねん。



そうやって色々な掛け算ができる内積があって、その色々な内積を定義すれば色々な長さや角度が定義
されるねん。
例えば、長さや角度と言っても地球儀での角度と長さとメルカトル図法は違うやん。
メルカトル図法では北極とかめっちゃ長いけど、地球儀では短いやろ。
だから長さや角度も色々あるねん。

それで、その色々ある内積のうちユークリッド空間つまり中学や高校で扱うごく普通な座標が直交するxy平面や、xyz空間で計った距離と角度になるように内積を定義しようとすると
このユークリッド空間で計った角度θ、長さ|a|、|b|を用いて

(a,b)=|a||b|cosθ

と定義すれば、ベクトルに長さと角度が定義されて、これは余弦定理とも一致するからユークリッド空間での長さと角度に一致しているねん。


この内積の定義は標準内積と言って特別に
a・b
と書くことにしてるねん。



だから、高校で習う内積は余弦定理と同じって考えると効果半減というか、あまり意味が無いねん。
それやったら一生三角関数だけで計算しとけって話やろ。
そうじゃなくてベクトルに掛け算ができるように内積を定義すると、長さと角度が定義できて、その長さや角度がユークリッド空間と一致するように定義したから、余弦定理と同じような式になってるねん。

まあ詳しいことはかずスクールを見たってくれ。
ベクトルの内積の話

数学、物理

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