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わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

過去問の使い方
今日はわんこら式で過去問のところについて書きたいと思います。

よく
青チャート→1対1
とやったけど、過去問が出来ようにならなかったと言う相談もありますが、過去問はそうやって使うわけではありません。

わんこら式マスターへの道を参考にして欲しいわけですが

wankorasiki090202_2.jpg

わんこら式マスターならどうするか?と言うと


○○大学に行きたい!

過去問が解けるようになればいい

とりあえず過去問をやってみる

これが解けるようになるにはどうしたらいいか?


と言うことを考えて、

○どの問題集をどれくらいやるか?
○どの分野からやるか?
○どこを重点的にやるのか?

と考えていって、

この問題集をやろう

難しかったから、まずチャートをやろう

まず数学1からやろう

1章分をやる

まずはこの20問をやる

1日に20問やるのを繰り返して、7日間かけてその20問を覚える

2問くらいわけわからんままやけど、だいたい覚えたから次の20問に進める

と言うように、どんどん目標を今出来るところまで分けていく時のために過去問をやるわけです。


こうやって具体的に過去問と言う目標があって、それを目標にして分けていった今出来る目標をたてていかないと、中々やらなければいけないことから優先順位がたてられにくいわけです。

そうやならいと何でもかんでも完ぺきにしようとしてしまったり、時間かけすぎて他の科目に悪影響を与えたり、今自分は何をやってるんやろ?こんなことでいいのか?って疑問に感じたり、なんかもう続かなくなってきたりします。


もちろん過去問をやって、その人の勉強段階や、時期などによって解釈がかわります。

例えば

●過去問見ても全く意味不明、その前に分析さえ出来ない

→分析できるように教科書やチャートとかまず基本的なことをやって土台を作る

●まあまあ分析できた

→まずは過去問の解き方を覚えてみる→更に出やすいパターンが分析出来る→さらに他の問題集で演習をつむ

●微分積分は出来るけど、整数問題は出来なかった

→整数問題の問題集をやってみる

●微分積分は簡単そうやけど、整数問題は難しそう

→まずは微分積分から勉強するとか『出来そうなことから』やる

●数学Ⅲの配点が大きかった

→数学Ⅲの問題から重点的にやる→やってみて数列の知識が足りないと感じたから、数列をやる

と言うように、この過去問をやることで何をやるべきかはその人や状況によって違って、これが解けるようになるにはどうしたらいいか?と考えると違う結果がはじき出されていくのが当然になります。

人の合格体験記を読んでその通りにやっても余り意味がなくて、こういうわんこら式思考のプロセスが大切になります。


「全体を見通して優先順位をたてて出来ることからやる」

と言うのを意識してください。

それをやるためには、過去問が最強の問題集になります。

勉強法

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27個の立方体に針金を通すと最高で何個つらぬけるか?算数オリンピックの問題
そしたら、わんこらの算数オリンピックコーナー。

数学は受験数学かずスクールに記事を集めてるけど、算数なら誰でも参加できるから、わんこら日記の方でいっとこか。

まあ質問された問題で面白かったら紹介してるだけで、ほんまにコーナーが続くか不明やけど。


[問題]
091202sao1.jpg
同じ大きさの立方体27個が、縦3個、横3個、高さ3個にすきまなくぎっしりとならんで大きな立方体の形に積まれています。
細いまっすぐな針金1本で、この大きな立方体をつきさすとき、小さい立方体を最高何個までつらぬくことができますか。



[解答と解説]
これは、言わゆる算数の天才的な子ならすぐに恐らく立方体をイメージして針金を頭の中で通してたら答えがわかるんやろな。

でも普通は頭でイメージして針金を通して…って、う~んう~ん唸ってたら


47分後…



091202sao2.jpg

こんなわけわからんことになってるかもしれんな。

頭にダンボール箱をかぶされてパーン!叩かれて、半永久的に回転させられる世界なわけや。



でも今日はそういうイメージ力を高めようと言うのじゃなくて、数学の解答の糸口を掴むための考え方を覚えていって欲しいねんな。



まずこういう立体とか3次元のものは2次元つまり平面でまず考えてみると、解き方が見えてくるねん。

091202sao3.jpg

同じ大きさの正方形9個が、縦3個、横3個にすきまなくぎっしりとならんで大きな正方形の形に積まれています。
細いまっすぐな針金1本で、この大きな正方形をつきさすとき、小さい正方形を最高何個までつらぬくことができますか。



まあこれは

091202sao4.jpg

たぶんこうやってつらぬいた時の5個なんやろな。


たぶん5個なんやろうけど、ほんまに6個とか7個つらぬくさし方は無いかどうかがちょっとわかりにくい。


じゃあどうしたらええやろって思うと、こういうやつは境目の方を考えると上手くいくことがあって

091202sao5.jpg

つらぬいた正方形の数は一番外側を除いた線分との交点を考えると、この交点の数に1足したものが正方形をつらぬいた個数になるやん。

でも線分が交わってるとこをちょうど針金が通ると個数は減るから、それも考えるとつらぬいた正方形の個数は

交点の数+1以下

になるわけですわ。


そしたら

091202sao6.jpg

針金を通していくと、横方向につらぬく線分の数は2本以下で、縦方向につらぬく線分の数も2本以下なわけやから、

この大きい正方形で、つらぬける正方形の個数は

2+2+1=5個以下

ってわかるねん。

つらぬけるのは5個以下で実際に

091202sao4.jpg

こうやれば5個つらぬくから、最高で5個つらぬくことになります。



これを立体で考えてみよう。

091202sao7.jpg

立方体の場合は、つらぬく立方体の個数は

つらぬいた面の個数+1個以下


で横方向につらぬく面は2つ以下、縦方向につらぬく面は2つ以下、奥方向につらぬく面は2つ以下だから、この大きい立方体に針金を通した時、つらぬく立方体の個数は

2+2+2+1=7個以下

になります。


7個以下ってことがわかったから、次は7個になるような針金のさし方が実際にあったら最高で7個と言えるねんけど、平面の時は

091202sao4.jpg

対角線から少しずらしたさし方をしたら5個通ったから

091202sao8.jpg

こうやって立方体の対角線から少しずらして針金をさすと、7個になるねん。


だから答えは7個。


そしたら今日は

○立体図形は平面図形で考えてみる

○境目の方に注目してみる

○最大値Mを求める時、M以下であってMになるものが存在すると言う方法がある

って言うのを覚えていったってください。

中学受験の算数の問題の解答や解説

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ピーチ姫を助けたと思ってよう見たら、もち肌おじさんやったことよくありますよね
あかん、全然あきませんわ。

わんこら式数学の勉強法で具体的にチャート式をやり方を書いてみたけど、なんかいまいちやな。

公開は延期やな。


わんこら式数学の勉強法の記事で完成されてしまってるからな、これ以上具体的に書くと応用性に欠けるからな。

確かに読むだけで理解して勝手に出来るようになる人も多いねんけど、よくわからなくてモデルを示して欲しいって言う人もいるし、解釈を間違ってやってるらしき人もいるしな。

またチャートをやれと言ったら、どうやったらええかわからんかって挫折する人が多い多い。

だから具体的な方法のモデルを目安になるように書きたいねんな。

やっぱり指令って言うのは出来るだけ具体的に言わないと出された側は混乱するねん。



それにしてもやっぱり、わんこら式がわかる人にはええねんけど、やらせるのは難しいとこあるわ。

わんこら式の場合、まだ理解出来てないのに進めまくる強引な先生が正しいからな。

この進めまくるって言うのはまあちょっと話すと、オレの大学での数学の勉強で最初、微分積分の本と線型代数を勉強しようとして、一つ一つ完璧に理解して覚えていこうとして、数ページしたらそこでわからないとこが出てきて一日中悩んで、次の日も悩んで、その次の日も悩んで、また最初のページを忘れたかもしれんって戻って…ってやってて引きこもってウツになって本を開かなくなってしまって、結局は線型代数でさえものにならなかって、しかも完璧に理解してからテストを受けようとするから勉強してる癖にテストを受けずに単位を落としたりとかして、もうどんどん廃人化していってんな。

しかもドイツ語の先生に理不尽な扱いを受けて、大学はこんなとこなんかと先生とのコミュニケーションが恐くなって、どんどん腐っていってたな。

それでもオレはなんとかドイツ語の単位をそろえて、この年で単位を揃えなければ大学から追い出されるとこで勝負に出た。

いきなり4年生や大学院の対象までの理学部の数学の講義を入れられるだけ入れて、朝から晩までわけわからない数学の授業を受けまくってん。

物理はだいたいやってたけど、数学なんかほんま線型代数で躓いてたレベルやのにいきなり3年、4年のわけわからん授業を受けてん。

毎日わけわからんの数学が押し寄せてくるわけや。


また理学部の専門科目の数学って究極的にわけわからんからな。

この異常さは想像を絶してるなほんま。


そうやって、毎日わけわからんままに意味とかわからんままに写して写して、理解出来ないままにどんどん進んでいった。
そら同時に10科目ぐらいやるわけやからな。
1科目でさえ全然わからへんのに。


そういう感じでわけわからんままに進めまくった。

なんか意味とかようわからんままに覚えまくった。


それで一年で54単位ぐらいとってんけど、なんか最初に習う線型代数とか微積分とかまで何となく結構出来るようになってきてん。

結局卒業どころか、大学院も東大と京大とさらに日本で一番難しい数学の大学院の数理解析研究所の筆記試験まで全部合格してしまってん。


絶対、一つ一つちゃんと理解していって勉強しようとしたら、こんな短時間で出来るようにならんかったもん。

ほんまオレよくこんな一年半くらいで、これだけ大量の範囲でしかも超難解な数学の試験に太刀打ち出来るようになったな思ったもん。



こういう経験とかを総合的に取り入れたのがわんこら式数学の勉強法で、受験生がやってみた結果成績が異常に上がると言う報告が出てきて書いた本人がおえ~?ってなった感じやな。

今や相当な人数の受験生がやってると言うようなことを聞くからな。
まあ2chにも貼られて語られてたりするしな。


でもこれは本来大学の難しい数学の勉強法やから、大学生にも役立ったらええな思うねんけど、大学生で試したやつあまりいないのか効果までに時間がかかるのか、出来るようになった報告は余り無いねんな。
文系学部の人で、わんこら式で勉強して日本で一番難しい理学部の編入試験に合格した人とかはいるねんけど。
まあそれはオレがこれは大学の数学の勉強法でこそ真価を発揮するってメールで洗脳していってんけど。
または高校生がもうわんこら式で高校数学は余裕やから、大学の数学を究めていってたりしてる人もおるな。

まあただ元々数学が異常に出来るやつはこうやって勉強してるんやろうからな。
大学一年の時にすでに四年くらいまでの専門科目の数学を勉強してた人は、確かわからなくても進めまくるとか言うてて、まあそれも参考に取り入れて書いてるねん。


まあ、そういうわけでチャート式のやり方の記事はとりあえずもうちょっと整理して、チャートを挫折せず終わらせて、ある程度習得できるようなのが出来るようにやってみるか。

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くじを当てる確率は、くじを引く順番は関係ない説明
よくクジを引く順番で、ガキどもが

たかし「オレが先引くもん」

よしたろう「僕やもん」

たかし「だから、おまえはよしたろうって名前やねん」

よしたろう「名前のことはやめてよ」

ってうへ~って殴りあいになって、たかし君が溝に落ちて頚椎損傷して流動食しか食べられなくって二人に一生消えない深い傷を残すシーンがありますが、今日は二度とそんな悲しいことが起こらないようにくじを引く順番と確率について書きます。


そしたら、こんな問題を考えてみましょか。

10本のくじの中に、3本の当たりくじがある。
このくじをAが先に引いて、その後Bが引く。
Aが当たる確率と,Bが当たる確率はなんぼか?


まずAが当たる確率は10本くじがあって3本当たりがあるから

3/10

次にBが当たる場合は
A,Bのくじの引きかたは全部で10×9通り

Aがはずれて、Bが当たるのは7×3通り

Aが当たって、Bが当たるのは3×2通り

だからBが当たる確率は

(7×3+3×2)/(10×9)=3/10


と言うようにAとBは二人とも当たる確率は同じになります。


だからクジは引く順番は関係ないねん。

先に引いても、後から引いても当たる確率は同じや。


なんかこれは、日常的な感覚からはズレてるような感じがするみたいやねんな。

確かに先に引かな当たりが無くなるような気がせんわけでもないかもしれん。


でも

Aが当たると、当たりの数が減るからBは当たりにくくなって

Aがはずれると、はずれの数が減るからBは当たりやすくなってる

って考えると感覚的に結局は先に引くのも後に引くのも当たるのは同じぐらいってたぶん感じられると思います。


そしたらこのことを一般的に証明をしてみようと考えてみよか。

n本のくじがあって、そのうちm本が当たりとする。
A_1,A_2,…,A_nがこの順番でくじを引く時、それぞれの当たる確率は同じである

ってことを証明しようとすると

A_1は明らかに当たる確率はm/n

これはオッケーやな。

A_2はA_1がはずれてA_2が当たる場合と、A_1が当たってA_2当たる場合があって

((n-m)m+m(m-1))/n_P_2
=m/n

なんとかオッケーやな。

そしたらA_k(1≦k≦n)が当たる確率は

A_1がはずれて、A_2がはずれて、…,A_kが当たる場合

A_1がはずれて、A_2がはずれて、…,A_(k-1)が当たって、A_kが当たる場合



A_1が当たって、A_2がはずれて、…,A_kが当たる場合

A_1がはずれて、A_2がはずれて…


ぶほー!!

って横で勉強してる人におもいっきり消しゴム投げつけたくなるわけや。

これはややこしい。
わけわからん式になりそうや。


でもちょっと見方を変えたらこれは当たり前で

くじ一本につき当たりの割合はm/nやから,当たりの割合がm/nのくじがn本入ってると考えると、どんな順番で引こうが当たりがm/nの割合のくじを引くから、みんな当たる確率はm/nになるねんな。


もう少し数学的にやろうと思えば、当たりのくじを
C_1,C_2,…,C_mと名前をつけておいて

C_1をA_k(1≦k≦m)が当てる確率は、A_1,…,A_kのくじの引きかたはn_P_k通りでA_1,…,A_(k-1)がC_1以外を引く方法は(n-1)_P_(k-1)通りより

(n-1)_P_(k-1)・1/n_P_k=1/n

同様にして、
C_2を引く確率も、C_3を引く確率も、…,C_mを引く確率も1/nだからA_kが当たる確率は

1/n+1/n+…+1/n=m/n

だからみんな当たる確率はm/n。



これで、くじを当てる確率は引く順番は関係がないってことがわかってくれたかな?

よし、さすがやな。

でもこれから、くじを引く順番を決めるくじは意味がないことがわかるねんな。

そしたら今日はこの辺で終わっとこか。

数学、物理

高校数学の公式や問題の解説

中学数学の問題や公式

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小便して手洗わずに外に出るやつは、あそこがよく洗われてるから手洗う必要がないんや
あかん、全然あかん。

全然あきませんわ。


何を悩んでるか言うたらp,qを有理数として4次方程式

x^4+px+q=0

がx=2+√3を解に持つ時、x=2-√3も解に持つってことの説明やねんけど、

大学のちょっとした代数の知識を使って
x-2-√3=0
両辺にx-2+√3をかけて
(x-2)^2-3=0

x^2-4x+1=0

で[Q(√2),Q]=2よりx^2-4x+1=0はQ上の最小多項式なのでx^4+px+q=0を割り切るからx=2-√3も解である

と言うようなことを高校生レベルでわかるようにそこそこ簡単に説明出来るかってこと考えてたら目から血でてきた。


変なこと書いてしまったら、また殺されそうになるしな。

こんなこと言うんもあれやけど、オレあんまり純粋数学が得意じゃないし好きと言うわけでもないねんな。

本当は理論物理やるための数学を勉強してたし。

と数学科のやつらをけん制しといてと。



どんどん素イデアルとか極大イデアルとかEuclid環とか説明していけばええんかもしれんけど、そんなんやったら



この可換体論 (数学選書 (6))(永田 雅宜 (著) 裳華房)でも読んどけって話になるしな。

でもなあ、オレの理解もまだ足りてないんやろうしな。

まだもうちょっと考えてみるか。


と言うことで、とりあえずの暫定版の適当な説明でも書いとこかな。
別に何もたいした説明ではないねんけど。


有理数の係数のn次元方程式

a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_1x+a_0=0

がx=p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)の解を持つとき、x=p-q√rも解に持つことの証明。


複素数の共役と同じようにやればええと思うねん。

複素数の共役ではα,βを複素数としてα~をαの共役な複素数とすると
(α+β)~=α~+β~
(α-β)~=α~-β~
(αβ)~=(α~)(β~)
(α/β)~=(α~)/(β~)(β≠0)
が成り立ってるから

ある実数係数のn次元方程式
b_nx^n+b_(n-1)x^(n-1)+…+b_1x+b_0=0
があってx=αを解に持つとき、共役な複素数α~を解に持つことは

b_nα^n+b_(n-1)α^(n-1)+…+b_1α+b_0=0

の両辺の共役をとって

(b_nα^n+b_(n-1)α^(n-1)+…+b_1α+b_0)~=0~

(b_nα^n)~+(b_(n-1)α^(n-1))~+…+(b_1α)~+b_0~=0

b_n(α^n)~+b_(n-1)(α^(n-1))~+…+b_1(α)~+b_0=0

b_n(α~)^n+b_(n-1)(α~)^(n-1)+…+b_1(α~)+b_0=0

よりx=α~も解と示された。


これと同じように

p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)

と言う形であらわされる実数全体を考えるねん。

p+q√r=0

とすればp=q=0やから1と√rは一次独立な基底になっていて、有理数上の二次元のベクトル空間になってるねんな。

複素素も1とiが基底として実数上の二次元ベクトル空間やったやん。

ちょっと言い方が大学風やから、まああんま気にせんといてくれ。


それで複素数の共役と同じように
f(p+q√r)=p-q√r
と言う写像を考えてみると

s,tを有理数として

f((p+q√r)+(s+t√r))=f((p+s)+(q+t)√r)
=p+s-(q+t)√r
=p-q√r+s-t√r
=f(p+q√r)+f(s+t√r)

f((p+q√r)-(s+t√r))=f((p-s)+(q-t)√r)
=p-s-(q-t)√r
=p-q√r-(s-t√r)
=f(p+q√r)-f(s+t√r)

f((p+q√r)(s+t√r))=f(ps+tqr+(pt+qs)√r)
=ps+tqr-(pt+qs)√r
=(p-q√r)(s-t√r)
=f(p+q√r)f(s+t√r)

f((p+q√r)/(s+t√r))=f(((p+q√r)(s-t√r))/((s+t√r)(s-t√r)))
=f((ps-tqr+(-pt+qs)√r)/(s^2-t^2r))
=(ps-tqr-(-pt+qs)√r)/(s^2-t^2r)
=((p-q√r)(s+t√r))/((s+t√r)(s-t√r))
=(p-q√r)/(s-t√r)
=f(p+q√r)/f(s+t√r)

よって

a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_1x+a_0=0

がx=p+q√r(p,q,rは有理数、√rは無理数)の解を持つと

a_n(p+q√r)^n+a_(n-1)(p+q√r)^(n-1)+…+a_1(p+q√r)+a_0=0
両辺fで写して
f(a_n(p+q√r)^n+a_(n-1)(p+q√r)^(n-1)+…+a_1(p+q√r)+a_0)=f(0)

f(a_n(p+q√r)^n)+f(a_(n-1)(p+q√r)^(n-1))+…+f(a_1(p+q√r))+f(a_0)=0

a_nf((p+q√r)^n)+a_(n-1)f((p+q√r)^(n-1))+…+a_1f((p+q√r))+a_0=0

a_n(f(p+q√r))^n+a_(n-1)(f(p+q√r))^(n-1)+…+a_1(f(p+q√r))+a_0=0

したがってx=f(p+q√r)=p-q√rも解に持つ。



それでほんまに暫定じゃない版が出来るんか不明やけどな。

まあでもこんなことしなくても二項定理で単純にバラした方がわかりやすいかもしれんな。


今日はこんなこと書きたかったわけちゃうのに。

ほんまは今日は、下痢やったからトロロうどんを食べなかった話しをしたかってん。

ただでさえ、出まくりやのにトロロを食べたら、腸とか全部出るんちゃうかって話やってんけど、別になんかみんな聞きたくなさそうやし、そんなんやったらもうええわってことで、封印することにした。

数学、物理

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わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

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で数学を教えてます。

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