わんこら日記
甘くて切ない日記。わんこら式数学の勉強法、解説記事

東京大学2015年度文系第2問、二次関数と軌跡の問題の解説
お腹が痛いわ。

東京大学2015年度文系第二問の解説をします、


[問題]
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座標平面上の2点A(-1,1),B(1,-1)を考える。また、Pを座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。次の条件(i)または(ii)をみたす点Pの範囲を図示し、その面積を求めよ。
(i)頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで点A,P,Bをすべて通るものがある。
(ii)点A,P,Bは同一直線上にある、。


[解答と解説]
14904635910.jpeg
頂点が動けば、Pはどのように動くかやろ。

点A,Bと頂点を通る放物線上に点Pがとれるから、どれだけ張り出すかやな。

そうやな、ちょうど点Bのとこに頂点があったら、下側に張り出しそうやな。


ってやってると

14904636050.jpeg

もううへ~って乳首噛み切らずにはおられなくなります。

ちゃうねん、こいつは2次関数の頂点と乳首が対応している同窓写像が存在すると思い込んでるタイプやねん。


だから、微妙にそれらしく聞こえるような意味わからん説明を書くなって話やな。



これはな、確かに頂点がAとBのときが一番張り出していて、その二つの放物線に囲まれた部分になるねんけど、それをどう証明するかを聞かれてる可能性があるねん。



そしたら、よくある方法として


○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

○文字固定

でやってみよか。


逆像法とか逆手流に、だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形するとかラノベみたいな名前つけたから説明に毎回こうしてこまると言う。



○だから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形する

14904636160.jpeg

まず条件を式にしていくねん。

P(X,Y)で|X|≦1とおくやろ。

まず2点A,Bを通る2次関数y=f(x)はy=-xと点A,Bで交わるから
f(x)-(-x)=0はx=1-,1を解に持つはずやん。
だからaをa≠0の実数とすると
f(x)-(-x)=a(x-1)(x+1)

f(x)=ax^2-x-a
とおけるねん。

別にこんなんせんでも、y=ax^2+bx+cをA(-1,1),B(1,-1)を代入して
1=a-b+c
-1=a+b+c
から
c=-a
b=-1
でy=ax^2-x-a
でええねんけどな。


それで(i)をみたすときは

後はこれが点Pを通るから
Y=aX^2-X-a
やろ

それと頂点やな
f(x)=a(x-1/(2a))^2-a-1/(4a)
より頂点のx座標の絶対値が1以上になるには
|1/(2a)|≧1で両辺に|2a|かけて
1≧|2a|で-1/2≦a≦1/2


14904636310.jpeg

そしたら全部の条件式を整理すると
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1


これでaを消して、X,Yを残したいねん。
そしたら
Y=aX^2-X-a
を使ってa=…の形にするねん。

そのためには
Y=(X^2-1)a-X
(X^2-1)a=Y+X
でX^2-1で割らなあかんからX≠±1のときとX=1,-1で場合分けしたらよさそうやな。

X≠±1のとき
a=(Y+X)/(X^2-1)
でこれを残りの式に全部入れるねん
a≠0に入れて(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦a≦1/2に入れて-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
|X|≦1は-1≦X≦1

そしたらX,Yは
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1

を満たしたら、aはa=(Y+X)/(X^2-1)に代入したら実際存在するやろ。
X,Yを決めたら裏でaはa=(Y+X)/(X^2-1)で決まっていってるわけやな。

これで存在するようにaを消すことができるねん。

後は
(Y+X)/(X^2-1)≠0
-1/2≦(Y+X)/(X^2-1)≦1/2
-1≦X≦1
をもっと整理して、X^2-1≦0やから

Y≠-X
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
-1≦X≦1

やな
ちなみにこれはX≠±1のときやったから

X=1のときは
a≠0
Y=aX^2-X-a
-1/2≦a≦1/2
|X|≦1
にもう一度入れるとY=-1だけやな。

X=-1のときはY=1やな。


最後に(ii)はY=-X(-1≦X≦1)やな

これで
14904636390.jpeg
図示するとこうなるねん。
1/2・X^2-X-1/2=1/2・(X-1)^2-1で頂点(1,-1)は点Bやな。
-1/2・X^2-X+1/2=1/2・(X+1)^2+1で頂点(-1,1)は点Aやな。

ちょうど
1/2・X^2-X-1/2≦Y≦-1/2・X^2-X+1/2
になるねん。


面積は
∫(-1,1){(-1/2・X^2-X+1/2)-(1/2・X^2-X-1/2)}dx
=-∫(-1,1)(x-1)(x+1)dx
=-(-1/6・(1-(-1))^3)
=4/3
ですね。


もう一つのやり方の方も紹介しとこか。


○文字固定
14904636470.jpeg

(i)のX≠±1のところで
=aX^2-X-a
のところで,Xを固定してaを動かすねん。

二次関数やからa≠0で、頂点が1以上から-1/2≦a≦1/2やったな、

aを変数と思うとaで整理して
Y=(X^2-1)a-X
でX^2-1<0やから、傾きが負の一次関数やねん。

だから
a=-1/2のときの(X^2-1)(-1/2)-Xが最大で
a=1/2のときが(X^2-1)(1/2)-Xが最小で
a=0のところの-Xだけ飛ぶから

(X^2-1)(1/2)-X≦Y<-X,-X<Y≦(X^2-1)(-1/2)-X

やな。

後は同じようにやればオッケーやな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


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鏡開きのお餅は食べようとすると、他にもっとやらないといけないことあるような気がしてきて3ヶ月半くらい放置するのはよくある話
今日はミッチェルから

今までのことを整理したいのでそちらに行ってよろしいでしょうか?


って恐いラインが来て一緒に晩御飯を食べて今までのことを整理することになりました。

それで

自分のことを村人Aとして認識する必要があるけど、それは謙虚と言う意味ではなくて
謙虚と言う意味で自分のことを村人Aと思っていたら、それは本当は自分のことを謙虚で清く正しく美しいパラディンやと思っていて、実際の自分とずれてるから苦しくなって乳首を噛み切って全部終わらせることになる
君は弓道をやって射るたびに弦が擦れて乳首をダメにしたかもしれないが、今回はそれですまないであろう

って今までのことを三時間ぐらいかけて整理したら

ミッチェルゥ「その方針でいきます、ありがとうございました」

って家に帰ることになった。


明日早くから仕事やからな。


それで、家帰って急いで洗濯してヨーグルト食べてヤクルト飲んでビオフェルミンS飲んでお風呂入って、生姜湯飲まなあかんからポットに水を入れて沸かしながらアイロンかけたら

プチン!

ってブレーカーが落ちて暗くて何も見えなくなって、その辺のタンスとか倒しまくってめちゃくちゃなことになった。


これがミッチェルゥに適当にアドバイスしたオレへの罰かもしれんな…

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スヌーピーを買うときは、保存用と、観賞用と、抱いて寝る用の3匹必要
今日は帰りにミッチェルゥと中華料理を食べてから、人は生きてるだけで罪を背負っていって、自分たちの犯してきた罪の重さはもう贖罪することは出来ないんじゃないかと言う話を2時間ぐらいした。

だから意味ない話ばっかせずに、はよ帰れや!



それで渋谷で電車に乗ろうと扉が開いたら、折り返しでみんな降りてんけど、酔うたおっさんが寝たままやって隣に女の人が座っててん。

そのおっさんの隣の隣ぐらいに座ってたら


よし子「起きて」

ひろし「ううおぅ」

よし子「起きて、横浜まで行くの?」

ひろし「あぅあう」

よし子「ほら、カバン持つから。起きて。」

ひろし「ううぁあう」

よし子「甘えてるの?もう、私降りるよ?」」

ひろし「うう」

そしたら、発車するところになって

よし子「もう、降りるからね」

ってほんまによし子だけ降りていって、ひろしが横浜送りになった。


それ見て、

ああ、このおっさんもオレと一緒やねんなと思った。



オレもまだ小学生やったときに、昔は映画館に入ったら終わってもそのまま何回見ても良かってん。

それでお母さんたちは買い物しとくからって妹と従姉の三人でドラえもんの映画見ることになってん。

そしたら始まってから時間が少し経ってたから途中から見ることになってん。

だから映画が終わったら、妹と従姉が最初の方を見てないからもう一回見る言うてん。

でもオレはちゃんと出て行かなあかんと思ってん。


それでオレがちゃんと出て行かなあかんって言うてたら

妹と従姉が

「そしたら、かずゆきだけ出て行ったらええやん」

ってほんまに二人だけ映画館の中に戻ってオレだけ外で寒い中、二時間ぐらい一人で待つことになってん。


あの時の孤独、寒さの辛さをオレは知ってるねん。


ちゃうねん、

「そんなんやったら、帰るからな!」

ってキレ気味に言うてる人に

「そしたら帰ったらええやん」

ってほんまに帰らしたらあかんと思うねん。


「もっと一緒にいてくれや!」

って言って引き止めて欲しいねん。


だからオレは酔うて寝てるおっさんと一緒に横浜まで行きました。


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家にスヌーピーの人形があるのに、一人暮らしと言えるのか
今日もコツコツと頑張ってきた。

やっぱこの生き方が一番楽やわ。


よく考えると去年に身体を壊しまくって10月の終わりくらいに、どん底になって


そこから自分は弱くて、とっつきにくくて、数学しかできなくて、それに頼ってるような自分の殻にこもってるやつやねんなって認めることで

人生でこれだけ上手くいったことあるんかって言うぐらいに、上手くいった3ヶ月やった。

不思議な力が働いてるような気がしたくらいやからな。


でもそれは

こうやって生きるのが効率が良いから、こう生きよう

ってやってたから上手くいったんじゃなくて


結果が出なくても、どう思われても、自分らしく自分の出来ることをコツコツとやっていったからやねんな。


それを忘れて、上手くいってしまったから、別に偉くも何もなってないし価値もあがってないのに

もっと上手くやらなあかん
とか
これぐらいのことができるべき
とか
これぐらいできないと恥ずかしい
って思うと

こうやって生きないといけないと決めてしまったり、何か極端なことやったりして見失うみたいやねんな。


オレはモクモクと勉強して、仕事して、ブログを書いて、仲間を大切にして出来るだけのことをやる自分らしい生き方をしていくわ。

いくら自分の幸せはないって言うても、いつかは孤独な生活もよくなるやろうしな。


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急いでるときに電車が止まって車両に閉じこまれたときは、服を脱いでここから出してくれ、うへ~!!!ってドアを叩きまくって発狂すると何とかなる
今日はウツな気分がマックスになって一周してきて悟りを開いた。

ちゃうねん、もう

周りにどう思われようと

どういう結果になろうと

そんなん関係なくコツコツ努力していくのが精神的に安定するってことに気づいてん。


最近、書いてるように

自分のレベルをこえてるようなことをやろうとすると

今までのやり方を否定して極端なことをやろうとしてまうねん。

でもそれは非論理的なやり方でどっちにしろもっと失敗するねんから

今までと同じやり方でやって同じ失敗をすることで、経験を積んで成長できることが出来るわけやねん。

でもそれは、投げ槍ってことと何か勘違いしてた部分もあったような気がするねん。


投げ槍ってことではなくて、自分の世界に入ってモクモクとコツコツと努力をして

今は全然届かないけど、長い年月をかけて積み上げていく

って感じなことに気づいた。


数学の問題で

解けた!

解けなかった!

って一喜一憂してヘコむんじゃなくて

解ける問題もあるけど、解けない問題もあるな、まだ解けるようにはならないけど答えを写して少しでもわかるところがあればええなってモクモクとやることやねん。


オレもコツコツと数学をやり続けるけど

それは自分が一番武器にしていて頼ってきたものであっても、別にトップやからやるわけちゃうねん。

そら自分より出来る人は一般的には少ないとしても、数学科の大学教授とかもっと凄いしな。

自分より上の人がたくさんいるけど、弱いから数学に頼ってコツコツとやって自分の世界に逃げるねん。

逃げると言っても、結局一番やらなあかんことをやれてるねんけどな。



目の前のことを上手くやって結果を出そうと言うやり方では、そら出来ないからウツになるねん。

でも、そんなん関係なしに自分のやり方でコツコツやることは出来るからな。


はるか昔はどうやってもブログの読者を増やせなかったけど

今はさすがにアクセス数がこのfc2の学校・教育ジャンルでもベスト10に入りかけてきた。

コツコツ10年以上やって達成できるもんやったと言うことやな。

そら、あれやこれやって色々やっても増やせないわ。


仕事も実績が出たからってすぐに成功させるとか出来ないことをやるんじゃなくて、そこからまだまだコツコツやるわ。

オレは人間関係も苦手やし特にお母さんの病気に時間もお金も膨大に使って孤独になってしまったけど

それも今すぐには解決できなくても、コツコツとやって自分なりにやっていくわ。


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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部を数学専攻で卒業した数学と物理講師

現在、東京で働いています。

かずスクール
で数学を教えてます。

わんこら式数学の勉強法
数学の勉強方法や仕方を説明

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kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください

勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてはわんこら式診断プログラムを参考にしてメールください
都合がつかず遅れたり返せなかったりする場合があるのは申し訳ないです

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今年、滋賀医科に合格した医学生です。

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